🕉️ वैदिक गणित — स्तर 3: उन्नत

मॉड्यूल 22: आव्यूह और सारणिक — वैदिक विधियाँ

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + हल किए गए उदाहरण + अभ्यास प्रश्न + टेस्ट बैंक

"आव्यूह संरचनाएँ और सारणिक, अलग-अलग अंकगणितीय सारणियों का संग्रह मात्र नहीं हैं। पंक्तियों और स्तंभों को एकीकृत संख्यात्मक प्रवाह के रूप में देखने पर, आव्यूह गुणन और व्युत्क्रमण (inversion) एक-पंक्ति वाली तिर्यक संक्रियाओं में सिमट जाते हैं, जिनके लिए किसी भी मध्यवर्ती कागजी कार्य की आवश्यकता नहीं होती।" — स्वामी भारती कृष्ण तीर्थजी के पुनर्निर्मित शिक्षण सिद्धांत

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, विद्यार्थी निम्न कार्य करने में सक्षम होगा:

1. तिर्यक-पैटर्न नेटवर्क का उपयोग करके $2 \times 2$ और $3 \times 3$ सारणिकों की गणना मानसिक रूप से करना।
2. सूत्र 3 (ऊर्ध्व-तिर्यक) का उपयोग करके किसी भी आकार ($n \times n$) के आव्यूहों का गुणन एक ही पंक्ति में करना।
3. ट्रांसपोज़-एडज्युगेट (transpose-adjugate) शॉर्टकट का उपयोग करके किसी भी अव्युत्क्रमणीय (non-singular) $2 \times 2$ आव्यूह का व्युत्क्रम 5 सेकंड के भीतर मानसिक रूप से ज्ञात करना।
4. रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए समानांतर संरचनात्मक सारणिकों का उपयोग करके क्रेमर नियम (Cramer’s Rule) की गणनाओं को तीव्र गति प्रदान करना। 5. अभिलक्षणिक बहुपद समीकरणों को स्थापित करें और सूत्र 9 (चलना-कलनाभ्याम) से व्युत्पन्न कलन-आधारित शॉर्टकट का उपयोग करके आइगेनमान (eigenvalues) ज्ञात करें।
5. $AX = B$ रूप के आव्यूह समीकरणों को, थकाऊ बहु-चरणीय पंक्ति-लघुकरण (row reductions) के बिना, सीधे हल करें।

भाग 1: सिद्धांत और नियम

22.1 — $2 \times 2$ और $3 \times 3$ सारणिक (Determinants) — तिर्यक-पैटर्न द्वारा

पारंपरिक रैखिक बीजगणित में, किसी सारणिक का मान निकालने में एकांतर चिह्नों का उपयोग करना और संरचनात्मक उप-सारणिकों (minors) की गणना करना शामिल होता है। वैदिक गणित इस प्रक्रिया को सूत्र 3 (ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम — ऊर्ध्वाधर और तिर्यक रूप से) लागू करके एकीकृत करता है, जिससे यह गणना एक प्रत्यक्ष और दृश्य प्रवाह में बदल जाती है।

$2 \times 2$ सारणिक: पूर्णतः तिर्यक-विधि द्वारा निष्पादन

एक मानक $2 \times 2$ आव्यूह के लिए:

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

सारणिक का मान, नीचे-दाईं ओर के विकर्ण गुणनफल (ऊर्ध्वाधर-दाईं) को लेकर, और उसमें से ऊपर-दाईं ओर के विकर्ण गुणनफल (तिर्यक-बाईं) को घटाकर निकाला जाता है:

$$\det(A) = |A| = ad - bc$$

$3 \times 3$ सारणिक (Determinants): विस्तारित सारस-वैदिक ग्रिड

एक $3 \times 3$ आव्यूह (matrix) के लिए:

$$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

आव्यूह को मैन्युअल रूप से तीन अलग-अलग $2 \times 2$ माइनर्स (minors) में तोड़ने के बजाय, वैदिक विधि संरचनात्मक तत्वों को एक निरंतर दृश्य ग्रिड में व्यवस्थित करती है, जिसके लिए आव्यूह के दाईं ओर पहले दो स्तंभों को जोड़ा जाता है:

$$\begin{matrix} a & b & c & a & b \\ d & e & f & d & e \\ g & h & i & g & h \end{matrix}$$

गणना की प्रक्रिया:

1. तीन नीचे की ओर जाने वाले विकर्णों के गुणनफलों का योग करें: $D = (aei) + (bfg) + (cdh)$
2. तीन ऊपर की ओर जाने वाले विकर्णों के गुणनफलों का योग करें: $U = (gec) + (hfa) + (idb)$
3. ऊपर की ओर वाले योग को नीचे की ओर वाले योग में से घटाएँ:

$$\det(A) = D - U$$

22.2 — सूत्र 3 (ऊर्ध्व-तिर्यक) का उपयोग करके आव्यूह गुणन

पारंपरिक आव्यूह गुणन में पंक्तियों और स्तंभों को बार-बार लिखने की आवश्यकता होती है, जिससे अक्सर छोटी-मोटी ट्रैकिंग या गणना संबंधी त्रुटियाँ हो जाती हैं। वैदिक दृष्टिकोण डेटा को मानसिक रूप से प्रवाहित करता है, और परिणामी आव्यूह के प्रत्येक तत्व की गणना एक ही चरण में करता है।

पंक्ति-प्रवाह प्रोटोकॉल (The Row-Stream Protocol)

जब एक $m \times n$ आव्यूह $A$ को एक $n \times p$ आव्यूह $B$ से गुणा किया जाता है, तो परिणामी आव्यूह में प्रत्येक सेल $C_{ij}$ की गणना, $A$ की $i$-वीं पंक्ति और $B$ के $j$-वें स्तंभ की जोड़ी बनाकर की जाती है। हम इन जोड़ियों का मूल्यांकन तिर्यक (cross-wise) रूप से करते हैं और तुरंत उनका योग कर लेते हैं। सेल C_11 के लिए विज़ुअल मैपिंग: मैट्रिक्स A (पंक्ति 1) --> [ a_1 a_2 a_3 ] │ │ │ (ऊर्ध्वाधर रूप से जोड़े बनाएँ और जोड़ें) मैट्रिक्स B (स्तंभ 1) --> [ b_1 b_2 b_3 ]

C_11 = (a_1 b_1) + (a_2 b_2) + (a_3 b_3)

इन ऊर्ध्वाधर जोड़ों का मन में ही लगातार जोड़ रखते हुए, आप गुणन मैट्रिक्स के अंतिम घटकों को बिना किसी बीच के कागज़ी काम के लिख सकते हैं।

---

## 22.3 — $2 \times 2$ मैट्रिक्स का एक-पंक्ति वाला मानसिक व्युत्क्रमण

परंपरागत रूप से $2 \times 2$ मैट्रिक्स का व्युत्क्रमण करने के लिए सारणिक (determinant) की गणना करना, उपसारणिकों (minors) का मैट्रिक्स ज्ञात करना, सहगुणनखंडों (cofactors) को प्राप्त करने के लिए एक चिह्न चार्ट लागू करना, सहखंडज (adjugate) मैट्रिक्स ज्ञात करने के लिए परिवर्त (transpose) लेना, और अंत में सारणिक से भाग देना आवश्यक होता है।

वैदिक गणित इन सभी चरणों को एक ही नियम में समेट देता है: मुख्य विकर्ण के तत्वों को आपस में बदलें, ऑफ-विकर्ण (off-diagonal) तत्वों के चिह्न बदलें, और सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा करें।

### व्युत्क्रमण सूत्र

दिया गया मैट्रिक्स $A$:


$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

यदि $\det(A) = ad - bc \neq 0$ है, तो इसका व्युत्क्रम $A^{-1}$ हो सकता हैइसे एक ही चरण में इस प्रकार लिखा जा सकता है:


$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

---

## 22.4 — वैदिक गणना द्वारा संवर्धित क्रेमर का नियम

क्रेमर का नियम सारणिकों (determinants) का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की एक शक्तिशाली विधि है। हालाँकि, बड़ी संख्याओं के साथ काम करते समय यह विधि धीमी हो सकती है।

हम सूत्र 7 (संकलन-व्यवकलनाभ्यां) को समानांतर सारणिक जाँचों के साथ मिलाकर इस प्रक्रिया को तेज़ कर सकते हैं, जिससे हम न्यूनतम चरणों में अज्ञात मानों को ज्ञात कर पाते हैं।

### प्रणाली की रूपरेखा

दिए गए समीकरणों की प्रणाली:


$$\begin{aligned}
a_1x + b_1y &= c_1 \\
a_2x + b_2y &= c_2
\end{aligned}$$

शुरू से ही तीन अलग-अलग सारणिकों की गणना हाथ से करने के बजाय, हम एक साझा 'मास्टर हर' (master denominator) निर्धारित करते हैं और एक सरल 'क्रॉस-वाइज़' (तिर्यक) शॉर्टकट का उपयोग करके उभयनिष्ठ स्तंभों के पार अंश घटकों का मूल्यांकन करते हैं:

$$D = a_1b_2 - a_2b_1$$

$$x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{D}$$

---

## 22.5 — चलन-कलनाभ्यां (सूत्र 9) के माध्यम से आइगेनमान (Eigenvalues) ज्ञात करना

किसी आव्यूह (matrix) के आइगेनमान ज्ञात करने के लिए उसके अभिलक्षणिक समीकरण (characteristic equation), $\det(A - \lambda I) = 0$ को हल करना आवश्यक होता है। एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए, इस सारणिक का पारंपरिक रूप से विस्तार करने में एक लंबी बीजगणितीय गणना शामिल होती है।

वैदिक गणित 'ट्रेस इनवेरिएंट्स' (trace invariants) और सूत्र 9 (चलन-कलनाभ्यां) से व्युत्पन्न एक कलन-आधारित शॉर्टकट का उपयोग करके इस प्रक्रिया को सरल बनाता है, जिससे हम अभिलक्षणिक बहुपद समीकरण को तत्काल लिख पाते हैं। ### $3 \times 3$ मैट्रिक्स के लिए अपरिवर्तनीय ट्रेस समीकरण

$$\lambda^3 - S_1\lambda^2 + S_2\lambda - S_3 = 0$$

जहाँ गुणांकों को निम्नलिखित मैट्रिक्स गुणों द्वारा परिभाषित किया गया है:

$S_1$ ($A$ का ट्रेस): मुख्य विकर्ण तत्वों का योग ($a_{11} + a_{22} + a_{33}$)।
$S_2$ (मुख्य माइनर्स का योग): मुख्य $2 \times 2$ माइनर्स के सारणिकों का योग:

$$S_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$$


$S_3$ ($A$ का सारणिक): मुख्य सारणिक ($|A|$), जिसकी गणना त्वरित सारस-वैदिक ग्रिड विधि का उपयोग करके की जाती है।

एक बार यह अभिलाक्षणिक बहुपद समीकरण स्थापित हो जाने पर, मॉड्यूल 21 में बताई गई त्वरित निरीक्षण तकनीकों का उपयोग करके कोई भी परिमेय आइगेनमान (eigenvalues) ज्ञात किए जा सकते हैं।

---

## 22.6 — मैट्रिक्स समीकरणों $AX = B$ के लिए प्रत्यक्ष हल

एक अज्ञात स्तंभ मैट्रिक्स $X$ के लिए मैट्रिक्स समीकरण $AX = B$ को हल करने हेतु, पारंपरिक विधियों में पूर्ण मैट्रिक्स व्युत्क्रम $A^{-1}$ की गणना करना, अथवा एक संवर्धित मैट्रिक्स पर लंबी गॉस-जॉर्डन पंक्ति-लघुकरण (row reductions) प्रक्रियाएँ करना आवश्यक होता है।

वैदिक विधि $X$ के तत्वों की प्रत्यक्ष गणना करके इन चरणों को संक्षिप्त कर देती है। हम adjugate matrix $\text{adj}(A)$ की पंक्तियों को $B$ के स्तंभ मानों के साथ एक ही क्रॉस-वाइज़ चरण में मिलाते हैं, और फिर परिणाम को master determinant से scale करते हैं:


$$X = A^{-1}B = \frac{1}{|A|} \left[ \text{adj}(A) \times B \right]$$

---

# भाग 2: हल किए गए उदाहरण

---

## अनुभाग A: Determinant निकालना

### उदाहरण 1

प्रश्न: क्रॉस-वाइज़ विधि का उपयोग करके $2 \times 2$ matrix $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}$ का determinant ज्ञात कीजिए। उत्तर:
मैट्रिक्स के तत्वों पर सीधे क्रॉस-गुणा नियम लागू करें:


$$\det(A) = (7 \times 9) - (-4 \times 3)$$

$$\det(A) = 63 - (-12) = 63 + 12 = 75$$


अंतिम उत्तर: $\det(A) = 75$

---

### उदाहरण 2

प्रश्न: नीचे दिए गए $3 \times 3$ मैट्रिक्स के सारणिक का मान, विस्तारित सारस-वैदिक स्तंभ विस्तार विधि का उपयोग करके ज्ञात करें:


$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 5 & 3 & 6 \end{pmatrix}$$

उत्तर:

#### चरण 1: ग्रिड बनाने के लिए मैट्रिक्स के दाईं ओर पहले दो स्तंभों को जोड़ें

$$\begin{matrix}
2 & -1 & 3 & 2 & -1 \\
4 & 1 & -2 & 4 & 1 \\
5 & 3 & 6 & 5 & 3
\end{matrix}$$

#### चरण 2: तीन नीचे की ओर जाने वाले विकर्णों ($D$) के गुणनफलों का योग करें

विकर्ण 1: $2 \times 1 \times 6 = 12$
विकर्ण 2: $(-1) \times (-2) \times 5 = 10$
विकर्ण 3: $3 \times 4 \times 3 = 36$

$$D = 12 + 10 + 36 = 58$$



#### चरण 3: तीन ऊपर की ओर जाने वाले विकर्णों ($U$) के गुणनफलों का योग करें

विकर्ण 1: $5 \times 1 \times 3 = 15$
विकर्ण 2: $3 \times (-2) \times 2 = -12$
विकर्ण 3: $6 \times 4 \times (-1) = -24$

$$U = 15 + (-12) + (-24) = 15 - 36 = -21$$



#### चरण 4: अंतिम सारणिक ($D - U$) की गणना करें

$$\det(A) = D - U = 58 - (-21) = 58 + 21 = 79$$


अंतिम उत्तर: $\det(A) = 79$

---

## खंड B: ऊर्ध्व-तिर्यक विधि द्वारा आव्यूह गुणन

### उदाहरण 3

प्रश्न: ऊर्ध्व-तिर्यक (Urdhva-Tiryak) तिर्यक-प्रवाह विधि का उपयोग करके, एक ही पंक्ति में गुणन आव्यूह $C = AB$ की गणना कीजिए:


$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

उत्तर:
हम परिणामी $2 \times 2$ आव्यूह के प्रत्येक अवयव $C_{ij}$ का मान, आव्यूह $A$ की पंक्तियों का आव्यूह $B$ के स्तंभों के साथ युग्मन करके ज्ञात करते हैं:

अवयव $C_{11}$ ($A$ की पंक्ति 1 $\times$ $B$ का स्तंभ 1):

$$C_{11} = (3 \times 5) + (2 \times 3) = 15 + 6 = 21$$


अवयव $C_{12}$ ($A$ की पंक्ति 1 $\times$ $B$ का स्तंभ 2):

$$C_{12} = (3 \times -2) + (2 \times 6) = -6 + 12 = 6$$


Cell $C_{21}$ ($A$ की Row 2 $\times$ $B$ का Column 1):

$$C_{21} = (1 \times 5) + (4 \times 3) = 5 + 12 = 17$$


Cell $C_{22}$ ($A$ की Row 2 $\times$ $B$ का Column 2):

$$C_{22} = (1 \times -2) + (4 \times 6) = -2 + 24 = 22$$



इन कैलकुलेट की गई वैल्यूज़ को सीधे फ़ाइनल प्रोडक्ट मैट्रिक्स में इस तरह रखें:


$$C = \begin{pmatrix} 21 & 6 \\ 17 & 22 \end{pmatrix}$$


फ़ाइनल जवाब: $C = \begin{pmatrix} 21 & 6 \\ 17 & 22 \end{pmatrix}$

---

## Section C: Mental Matrix Inversion

### Example 4

सवाल: $Matrix = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ का inverse, one-line mental inversion method का इस्तेमाल करके निकालें। उत्तर:

#### चरण 1: सारणिक (determinant) की गणना करें

$$\det = (5 \times 3) - (4 \times 2) = 15 - 8 = 7$$

#### चरण 2: मुख्य विकर्ण के तत्वों को आपस में बदलें और ऑफ-विकर्ण (off-diagonal) तत्वों के चिह्न बदलें

$$\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$

#### चरण 3: समायोजित आव्यूह (matrix) को सारणिक के व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करें

$$\text{व्युत्क्रम आव्यूह} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{7} & -\frac{4}{7} \\ -\frac{2}{7} & \frac{5}{7} \end{pmatrix}$$


अंतिम उत्तर: $\begin{pmatrix} \frac{3}{7} & -\frac{4}{7} \\ -\frac{2}{7} & \frac{5}{7} \end{pmatrix}$

---

## अनुभाग D: अपरिवर्तनीय ट्रेस (Invariant Traces) के माध्यम से आइगेनमान (Eigenvalue) निकालना

### उदाहरण 5

प्रश्न: नीचे दिए गए $3 \times 3$ आव्यूह के लिए, वैदिक अपरिवर्तनीय ट्रेस शॉर्टकट का उपयोग करके, अभिलक्षणिक बहुपद समीकरण और उसके सभी संगत आइगेनमान ज्ञात करें:


$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

उत्तर:
अभिलक्षणिक समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है: $\lambda^3 - S_1\lambda^2 + S_2\lambda - S_3 = 0$. #### चरण 1: $S_1$ की गणना करें (मैट्रिक्स का ट्रेस)

मुख्य विकर्ण के तत्वों का योग करें:


$$S_1 = 1 + 1 + 5 = 7$$

#### चरण 2: $S_2$ की गणना करें (मुख्य माइनर्स का योग)

तीन प्राथमिक $2 \times 2$ मुख्य माइनर्स के सारणिकों का मान ज्ञात करें:


$$\text{माइनर 1} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \times 1) - (2 \times 2) = 1 - 4 = -3$$

$$\text{माइनर 2} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (1 \times 5) - (0 \times 0) = 5$$

$$\text{माइनर 3} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (1 \times 5) - (0 \times 0) = 5$$

$$S_2 = (-3) + 5 + 5 = 7$$

#### चरण 3: $S_3$ की गणना करें (मैट्रिक्स का सारणिक)

गणना को आसान बनाने के लिए सारणिक का विस्तार तीसरे स्तंभ के अनुदिश करें:


$$S_3 = 5 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5 \times (1 - 4) = 5 \times (-3) = -15$$

#### चरण 4: अभिलक्षणिक समीकरण (Characteristic Equation) को निर्मित करें

$S_1$, $S_2$, और $S_3$ के मानों को हमारे अपरिवर्तनीय ट्रेस समीकरण में प्रतिस्थापित करें:


$$\lambda^3 - 7\lambda^2 + 7\lambda - (-15) = 0 \implies \lambda^3 - 7\lambda^2 + 7\lambda + 15 = 0$$

#### चरण 5: मूलों (आइगेनमानों) को ज्ञात करें

आइए, निरीक्षण विधि का उपयोग करके समीकरण के गुणांकों की जाँच करें। मॉड्यूल 21 की तकनीकें:

$\lambda = -1$ का परीक्षण करें: $(-1)^3 - 7(-1)^2 + 7(-1) + 15 = -1 - 7 - 7 + 15 = 0$.
चूँकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है, इसलिए $\lambda = -1$ एक आइगेनवैल्यू है।

$(\lambda + 1)$ को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालने पर शेष द्विघात समीकरण यह बचता है: $\lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0$.
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर प्राप्त होता है: $(\lambda - 3)(\lambda - 5) = 0$, जिससे $\lambda = 3$ और $\lambda = 5$ मान प्राप्त होते हैं।

अंतिम आइगेनवैल्यू: $\lambda = -1, 3, 5$

---

# भाग 3: अभ्यास प्रश्न

---

## अभ्यास सेट A: सारणिक गणनाएँ और आव्यूह गुणनफल

प्रत्येक समस्या को क्रॉस-पैटर्न या ऊर्ध्व-तिर्यक विधि का उपयोग करके हल करें। अपने अंतिम आव्यूहों को स्पष्ट रूप से लिखें।

A1. इस $2 \times 2$ आव्यूह के सारणिक का मान ज्ञात करें: $\begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$.

A2. इस $2 \times 2$ आव्यूह के सारणिक का मान ज्ञात करें: $\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$.

A3. Sarrus-Vedic विस्तार ग्रिड का उपयोग करके आव्यूह $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ का सारणिक ज्ञात करें।

A4. आव्यूह $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{pmatrix}$ के सारणिक का मान ज्ञात करें।

A5. इन आव्यूहों को 'ऊर्ध्व-तिर्यक' (Urdhva-Tiryak) तिर्यक विधि का उपयोग करके एक ही पंक्ति में गुणा करें:


$$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$$


A6. इन आव्यूहों को एक ही पंक्ति में गुणा करें:


$$\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$$


A7. नीचे दिए गए आव्यूह गुणनफल के लिए परिणामी स्तंभ मानों की गणना करें:


$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$$


A8. सत्य या असत्य: आव्यूह गुणनफल के मानों की गणना, किसी भी मध्यवर्ती चरण को लिखे बिना, परिणामी पंक्ति के कक्षों में सीधे बाएँ से दाएँ की जा सकती है।

A9. 'सारस-वैदिक' (Sarrus-Vedic) विधि का उपयोग करके तत्समक आव्यूह $I_3$ के सारणिक का मान ज्ञात करें।

A10. आव्यूह का वर्ग ($A \times A$) ज्ञात करें: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$nd{pmatrix}$.

---

## अभ्यास सेट B: मानसिक व्युत्क्रम और मैट्रिक्स समीकरण

प्रत्येक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करें या एक-पंक्ति वाले वैदिक शॉर्टकट का उपयोग करके अज्ञात मैट्रिक्स $X$ का मान ज्ञात करें।

B1. $2 \times 2$ मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करें: $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

B2. $2 \times 2$ मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करें: $\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$.

B3. मैट्रिक्स समीकरण $AX = B$ में अज्ञात सदिश $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ का मान ज्ञात करें, जहाँ:


$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix}$$


B4. समीकरण निकाय $AX = B$ में स्तंभ सदिश $X$ का मान ज्ञात करें, जहाँ:


$$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \end{pmatrix}$$


B5. समीकरण निकाय के लिए $x$ और $y$ के मान ज्ञात करने हेतु संवर्धित क्रेमर नियम विधि का उपयोग करें:


$$\begin{aligned}
4x + 3y &= 25 \\
x + 2y &= 10
\end{aligned}$$

---

## अभ्यास सेट C: अभिलक्षणिक बहुपद और आइगेनमान

अपरिवर्तनीय ट्रेस शॉर्टकट का उपयोग करके प्रत्येक मैट्रिक्स के लिए अभिलक्षणिक बहुपद समीकरण और सभी संगत आइगेनमान ज्ञात करें।

C1. मैट्रिक्स के आइगेनमान ज्ञात करें: $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$.

C2. मैट्रिक्स के लिए अभिलक्षणिक बहुपद समीकरण ज्ञात करें: $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$.

C3. मैट्रिक्स के आइगेनमान ज्ञात करें: $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$.

C4. $3 \times 3$ मैट्रिक्स के लिए अपरिवर्तनीय ट्रेस गुणांक $S_1$, $S_2$, और $S_3$ ज्ञात कीजिए:


$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$


C5. समस्या C4 में दिए गए मैट्रिक्स के सभी आइगेनवैल्यू ज्ञात कीजिए।

---

## अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

### सेट A के उत्तर

A1. $1$

A2. $54$

A3. $19$

A4. $53$

A5. $\begin{pmatrix} 9 & 26 \\ 7 & 28 \end{pmatrix}$

A6. $\begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 34 & 8 \end{pmatrix}$

A7. $\begin{pmatrix} 12 \\ 8 \\ 13 \end{pmatrix}$

A8. सत्य

A9. $1$

A10. $\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$

### सेट B के उत्तर

B1. $\begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix}$

B2. $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{5}{4} & \frac{7}{4} \end{pmatrix}$

B3. $X = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

B4. $X = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

B5. $x = 4, y = 3$

### सेट C के उत्तर

C1. $\lambda = 2, 7$

C2. $\lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0$

C3. $\lambda = 1, 5$

C4. $S_1 = 9, S_2 = 26, S_3 = 24$

C5. $\lambda = 2, 3, 4$

---


🧠 अपना ज्ञान परखें
किसी विकल्प पर टैप करें या अपना उत्तर लिखें — तुरंत जाँच के लिए। आपका स्कोर साथ-साथ अपडेट होता है। 26 इंटरैक्टिव प्रश्न, 4 क्विज़ में।
टेस्ट 1: उन्नत विषयों पर क्विज़
0 / 10
प्र1. मैट्रिक्स $A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ के सारणिक का मान क्या है?
14262217
प्र2. कौन सा वैदिक सूत्र पंक्तियों और स्तंभों को तिर्यक गणनाओं में मैप करके मैट्रिक्स गुणनफल की गणना का आधार बनता है?
परावर्त्य योजयेत्ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्संकलना-व्यवकलनाभ्याम्शून्यं साम्यसमुच्चये
प्र3. यदि आप मैट्रिक्स $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ का व्युत्क्रम मानसिक रूप से निकालते हैं, तो परिणामी व्युत्क्रम मैट्रिक्स में मुख्य अवयव ($C_{11}$) का मान क्या होगा?
$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$$2$$-\frac{1}{2}$
प्र4. आइगेनमान (eigenvalues) ज्ञात करने के लिए जब अपरिवर्तनीय ट्रेस समीकरण $\lambda^3 - S_1\lambda^2 + S_2\lambda - S_3 = 0$ का उपयोग किया जाता है, तो मैट्रिक्स का कौन सा गुणक $S_1$ के मान को निर्धारित करता है?
मैट्रिक्स का मुख्य सारणिकमुख्य तिर्यक-पदों का गुणनफलमैट्रिक्स का ट्रेस (मुख्य विकर्ण के अवयवों का योग)मैट्रिक्स की कोटि (Rank)
प्र5. नीचे दिए गए $3 \times 3$ मैट्रिक्स का डिटरमिनेंट, Sarrus-Vedic शॉर्टकट तरीके का इस्तेमाल करके निकालें:
$9$$7$$-3$$11$
प्र6. अगर किसी मैट्रिक्स का डिटरमिनेंट ठीक-ठीक शून्य ($\det(A) = 0$) हो, तो इसका मतलब है कि वह मैट्रिक्स:
आइडेंटिटी सिमेट्रिक हैइन्वर्ट नहीं किया जा सकता (सिंगुलर है)उसके आइगनवैल्यू पूरी तरह से काल्पनिक हैंऑर्थोगोनल है
प्र7. $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ की गणना करने पर मिलने वाला प्रोडक्ट मैट्रिक्स क्या होगा?
$\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 5 & 12 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 5 & 12 \end{pmatrix}$
प्र8. एक $3 \times 3$ मैट्रिक्स के लिए, अगर इनवेरिएंट ट्रेस कोएफिशिएंट की गणना $S_1 = 6$, $S_2 = 11$, और $S_3 = 6$ के रूप में की जाती है, तो उसका कैरेक्टरिस्टिक पॉलीनोमिअल समीकरण क्या होगा?
$\lambda^3 + 6\lambda^2 + 11\lambda + 6 = 0$$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0$$\lambda^3 - 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 = 0$$\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda - 6 = 0$
प्र9. मैट्रिक्स $\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ के लिए, ऊपर-बाएँ तत्वों वाले मुख्य $2 \times 2$ माइनर डिटरमिनेंट का मान क्या है?
$10$$12$$14$$8$
प्र10. मैट्रिक्स समीकरण हल करने की विधि $X = \frac{1}{|A|} [ \text{adj}(A) \times B ]$ मैट्रिक्स गुणन को किस मुख्य वैदिक सिद्धांत के साथ जोड़ती है?
अनुरूप्येण अनुपात स्केलिंगएकल-पंक्ति तिर्यक एकीकरणसंश्लिष्ट शेष कटौतीनौ का निष्कासन संतुलन
टेस्ट 2: कम्प्यूटेशनल दक्षता ट्रैक
0 / 3
प्र1. तिर्यक गुणन का उपयोग करके गणना की गई मैट्रिक्स $\begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ की सारणिक (determinant) _____ है।
जाँचें
उत्तर: 7
प्र2. मैट्रिक्स $\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}$ के मुख्य विकर्ण (Trace) के तत्वों का योग _____ है।
जाँचें
उत्तर: 11
प्र3. मैट्रिक्स $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ का व्युत्क्रम (inverse) पूर्णांक मानों वाला एक मैट्रिक्स है, जिसका ऊपरी-बायां तत्व ($C_{11}$) _____ के बराबर है।
जाँचें
उत्तर: 2
टेस्ट 3: व्यापक प्रदर्शन परीक्षा
0 / 10
प्र1. मैट्रिक्स $M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ का सारणिक क्या है?
$7$$13$$11$$5$
प्र2. कौन सा विकल्प मैट्रिक्स $\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ के लिए सही अभिलक्षणिक बहुपद समीकरण (characteristic polynomial equation) को दर्शाता है?
$\lambda^2 - 7\lambda + 12 = 0$$\lambda^2 + 7\lambda + 12 = 0$$\lambda^2 - 7\lambda - 12 = 0$$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
प्र3. गणना $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ का परिणामी गुणनफल सदिश (product vector) क्या है?
$\begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 11 \\ 23 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 12 \\ 34 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 15 \\ 40 \end{pmatrix}$
प्र4. एक $3 \times 3$ मैट्रिक्स के लिए अपरिवर्तनीय ट्रेस समीकरण (invariant trace equation) में, कौन सा मैट्रिक्स गुण गुणांक $S_3$ का मान निर्धारित करता है?
मुख्य विकर्ण तत्वों का योगमुख्य माइनरों (principal minors) का योगमैट्रिक्स का सारणिक ($|A|$)ट्रेस का वर्ग
प्र5. मैट्रिक्स $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ का व्युत्क्रम (inverse) क्या है?
$\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} -7 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 7 \end{pmatrix}$
प्र6. $3 \times 3$ सारणिक (determinant) का मूल्यांकन करने की वह विधि, जिसमें इसके कॉलम फ़ील्ड्स का विस्तार किया जाता है, 'Extended Sarrus-_____ grid' के नाम से जानी जाती है।
जाँचें
उत्तर: Vedic
प्र7. यदि आप किसी आव्यूह (matrix) को उसके व्युत्क्रम ($A \times A^{-1}$) से गुणा करते हैं, तो आपको _____ आव्यूह प्राप्त होता है।
जाँचें
उत्तर: Identity
प्र8. आव्यूह $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ के मुख्य $2 \times 2$ उप-सारणिकों (minor determinants) का योग _____ है।
जाँचें
उत्तर: 11
प्र9. Cramer के नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय, समीकरणों का एक अद्वितीय हल (unique solution) तब होता है, जब मुख्य हर (master denominator) सारणिक गैर-_____ हो।
जाँचें
उत्तर: शून्य
प्र10. एक $2 \times 2$ आव्यूह के लिए अभिलक्षणिक बहुपद समीकरण (characteristic polynomial equation) को उसके Trace ($T$) और सारणिक ($D$) के पदों में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\lambda^2 - T\lambda +$ _____ $= 0$.
जाँचें
उत्तर: D
Section 3: लघु उत्तरीय प्रमाण और हल
0 / 3
प्र1. अपरिवर्तनीय Trace विधि का उपयोग करके नीचे दिए गए आव्यूह के सभी आइगेन-मान (eigenvalues) ज्ञात कीजिए। अपने सभी चरण स्पष्ट रूप से दर्शाइए:
जाँचें
उत्तर: :
प्र2. आव्यूह समीकरण $AX = B$ में अज्ञात स्तंभ सदिश (column vector) $X$ का मान, प्रत्यक्ष सहखंडज गुणन विधि (direct adjugate multiplication method) का उपयोग करके ज्ञात करें:
जाँचें
उत्तर: :
प्र3. नीचे दिए गए $3 \times 3$ matrix के determinant का मान, विस्तारित Sarrus-Vedic column grid विधि का उपयोग करके ज्ञात करें:
जाँचें
उत्तर: :

# भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका और कक्षा गतिविधियाँ

---

## 22.7 — उन्नत कक्षा गतिविधियाँ

### गतिविधि 1: मैट्रिक्स गुणन रिले दौड़

उद्देश्य: ऊर्ध्व-तिर्यक (Urdhva-Tiryak) क्रॉस-वाइज़ विधि का उपयोग करके एक-पंक्ति मैट्रिक्स गुणन में महारत हासिल करना। 
प्रक्रिया: कक्षा को चार-चार छात्रों की टीमों में विभाजित करें। बोर्ड पर एक $2 \times 2$ मैट्रिक्स गुणन की समस्या लिखें। टीम का प्रत्येक छात्र परिणामी मैट्रिक्स ($C_{11}, C_{12}, C_{21}$, या $C_{22}$) के ठीक एक सेल की गणना मानसिक अंकगणित का उपयोग करके करने के लिए जिम्मेदार है। छात्र को दौड़कर जाना होगा और चाक अगले टीम-साथी को देने से पहले अपना सेल भरना होगा। जो टीम सबसे पहले पूरे मैट्रिक्स को सही ढंग से पूरा करती है, वह जीत जाती है। 
अवधि: 20 मिनट।

### गतिविधि 2: 5-सेकंड डिटरमिनेंट मुकाबला

उद्देश्य: $2 \times 2$ डिटरमिनेंट का मानसिक रूप से मूल्यांकन करते समय गति और सटीकता विकसित करना। 
प्रक्रिया: दो छात्र बोर्ड के पास आते हैं। शिक्षक चार संख्याएँ बोलते हैं जिनसे एक $2 \times 2$ मैट्रिक्स बनता है (उदाहरण के लिए, "पाँच, तीन, दो, चार!")। जो छात्र सबसे पहले मानसिक रूप से क्रॉस-वाइज़ डिटरमिनेंट ($(5 \times 4) - (3 \times 2) = 14$) की गणना करता है और उसे लिखता है, वह यह राउंड जीत जाता है। गतिविधि को तेज़ और रोचक बनाए रखने के लिए छात्रों के नए जोड़ों के साथ इसे दोहराएँ। 
अवधि: 15 मिनट।

---

## 22.8 — छात्रों की सामान्य गलतियाँ और सुधार

1. मैट्रिक्स व्युत्क्रम (Matrix Inversion) के दौरान विकर्ण चिह्नों में भ्रम
त्रुटि: छात्र अक्सर $2 \times 2$ मैट्रिक्स का व्युत्क्रम निकालते समय मुख्य और ऑफ-विकर्णों (off-diagonals) के लिए संक्रियाओं में भ्रमित हो जाते हैं (उदाहरण के लिए, तत्वों को आपस में बदलने के बजाय मुख्य विकर्ण के चिह्नों को पलट देना)। 
सुधार: एक सरल दृश्य अनुस्मारक का उपयोग करें: "मुख्य विकर्ण के तत्वों को आपस में बदलें, ऑफ-विकर्ण के चिह्नों को बदलें।" छात्रों से तब तक बदलने के लिए तीर के निशान और ऑफ-विकर्ण पदों के लिए ऋण चिह्न (minus signs) बनवाने का अभ्यास करवाएँ, जब तक कि यह आदत पक्की न हो जाए। 2. Sarrus-Vedic गणनाओं में ऊपर की ओर वाले विकर्ण के योग को घटाना भूल जाना
त्रुटि: $3 \times 3$ सारणिक (determinant) का मान निकालते समय गणना $D - U$ के बजाय $D + U$ के रूप में करना, जिससे ऊपर की ओर वाले पदों का चिह्न (sign) गलत हो जाता है।
सुधार: इस बात पर ज़ोर दें कि सारणिक संरचनात्मक क्षेत्रफल को मापता है, जिसका अर्थ है कि ऊपर की ओर वाले विकर्ण के पदों को हमेशा नीचे की ओर वाले विकर्ण के पदों में से घटाया जाना चाहिए: $\det = \text{Down} - \text{Up}$।


3. मैट्रिक्स गुणन (Matrix Multiplication) के दौरान पंक्ति-स्तंभ संरेखण (Row-Column Alignment) की त्रुटियाँ
त्रुटि: गुणन मैट्रिक्स के तत्वों (cells) की गणना करते समय पंक्तियों को पंक्तियों से या स्तंभों को स्तंभों से मिलाने की कोशिश करना, जिससे आवश्यक संरचनात्मक मिलान टूट जाता है।
सुधार: छात्रों से कहें कि वे अपने बाएँ हाथ का उपयोग करके पहले मैट्रिक्स की पंक्ति पर चलें, और अपने दाएँ हाथ का उपयोग करके दूसरे मैट्रिक्स के स्तंभ पर नीचे की ओर चलें। यह शारीरिक गतिविधि यह सुनिश्चित करने में मदद करती है कि वे तत्वों का सही ढंग से जोड़ा (pair) बनाएँ।



---

# त्वरित संदर्भ कार्ड (Quick Reference Card)

## मॉड्यूल 22 सारांश पत्रक (प्रिंट-अनुकूल)

---

*Designed By Sachin Sharma, Founder, Vidaara.org*