$\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{xyz}&{x - z}\\{y - x}&0&{y - z}\\{z - x}&{z - y}&0\end{array}} \right|$ is equal to…………….

We have, $\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{xyz}&{x - z}\\{y - x}&0&{y - z}\\{z - x}&{z - y}&0\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{z - x}&{xyz}&{x - z}\\{z - x}&0&{y - z}\\{z - x}&{z - y}&0\end{array}} \right|$

$= (z - x)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{xyz}&{x - z}\\1&0&{y - z}\\1&{z - v}&0\end{array}} \right|$

[taking $(z - x)$ common from column 1]
Expanding along ${R_1}$,

$= (z - x)[1 \cdot \{ - (y - z)(z - y)\} - xyz(z - y) + (x - z)(z - y)]$

$= (z - x)(z - y)( - y + z - xyz + x - z)$

$= (z - x)(z - y)(x - y - xyz)$

$= (z - x)(y - z)(y - x + xyz)$