Prove that $(\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) = |\vec a{|^2} + |\vec b{|^2}$, if and only if $\vec a,\vec b$ are perpendicular, given $\vec a \ne \vec 0,\vec b \ne \vec 0$.

$(\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) = \vec a \cdot (\vec a + \vec b) + \vec b \cdot (\vec a + \vec b)$

$= \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a{|^2} + \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec a + |\vec b{|^2}$

$= |\vec a{|^2} + |\vec b{|^2} + 2\vec a \cdot \vec b$…(i)

When $\vec a,\vec b$ are perpendicular $\Rightarrow \vec a \cdot \vec b = 0$
$\therefore$

From (i), $(\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) = |\vec a{|^2} + |\vec b{|^2}$

Conversely, $(\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) = |\vec a{|^2} + |\vec b{|^2}$
$\Rightarrow \vec a \cdot \vec b = 0 \Rightarrow \vec a,\vec b$ are perpendicular.