Integrals — Class 12 Maths Solution

Let $I = \int {{x^2}{e^2}dx}$
$= {x^2}\int {{e^x}dx} - \int {\left( {\cfrac{d}{{dx}}\left( {{x^2}} \right)\int {{e^x}} dx} \right)} dx$

$= {x^2}{e^x} - \left[ {\int {2x{e^x}dx} } \right] + C = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} + C$

$= {x^2}{e^x} - 2\left[ {x\int {{e^x}} dx - \int {\left[ {\cfrac{d}{{dx}}\left( x \right)\int {{e^x}dx} } \right]dx} } \right] + C$

$= {x^2}{e^x} - 2\left[ {x{e^x} - \int {{e^x}dx} } \right] + C = {x^2}{e^x} - 2x{e^x} + 2{e^x} + C$

$= {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C$