Show that $|\vec a|\vec b + |\vec b|\vec a$ is perpendicular to $|\vec a|\vec b - |\vec b|\vec a$, for any two non-zero vectors $\vec a$ and $\vec b$.

Let $\vec c = |\vec a|\vec b + |\vec b|\vec a$ and $\vec d = |\vec a|\vec b - |\vec b|\vec a$
$\therefore$ $\vec c \cdot \vec d = (|\vec a|\vec b + |\vec b|\vec a) \cdot (\;\vec a|\vec b - |\vec b|\vec a)$

$= |\vec a{|^2}\vec b \cdot \vec b - |\vec a||\vec b|\vec b \cdot \vec a + |\vec b||\vec a|\vec a \cdot \vec b - |\vec b{|^2}\vec a \cdot \vec a$

$= |\vec a{|^2}|\vec b{|^2} - |\vec a||\vec b|\vec a \cdot \vec b + |\vec a||\vec b|\vec a \cdot \vec b - |\vec b{|^2}|\vec a{|^2} = 0$

Hence, $\vec c$ is perpendicular to $\vec d$.