🕉️ वैदिक गणित — लेवल 3: एडवांस्ड

मॉड्यूल 24: कैलकुलस — वैदिक समाकलन गणित

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"समाकलन (Integration) वह कला है जिसके द्वारा हम किसी संपूर्ण वस्तु को उसके अत्यंत सूक्ष्म भागों के माध्यम से देख पाते हैं। 'पूरणापूरणाभ्यां' सूत्र हमें यह सिखाता है कि जो अंश अधूरा या लुप्त है, उसे पूर्ण करके हम किसी भी विषय का संपूर्ण चित्र स्पष्ट रूप से देख सकते हैं।" — वैदिक गणित शिक्षक नियमावली

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के आखिर तक, छात्र ये कर पाएँगे:

1. द्विघात हरों को इंटीग्रेट करने के लिए Puranapuranabhyam (पूरा करना) का इस्तेमाल करना
2. वैदिक ILATE क्रम का इस्तेमाल करके 'integration by parts' करना
3. समरूपता और Lopana-Sthapanabhyam का इस्तेमाल करके निश्चित समाकलों (definite integrals) का मान निकालना
4. वैदिक 'cross-multiplication' का इस्तेमाल करके आंशिक भिन्नों (partial fractions) को अलग-अलग करना
5. वैदिक जोड़ के पैटर्न का इस्तेमाल करके वक्रों के नीचे का क्षेत्रफल निकालना
6. सूत्र 9 (Chalana-Kalanabhyam) का इस्तेमाल करके 'reduction formulae' निकालना
7. 'Cartesian product' के नज़रिए से बुनियादी 'double integrals' हल करना
8. पारंपरिक तरीकों के मुकाबले 50% कम समय में 'integration' के सवाल हल करना

भाग 1: सिद्धांत

1.1 — वैदिक Integral Calculus का परिचय

Integral Calculus क्या है?

Integral calculus जमा होने का अध्ययन है — इसके बहुत छोटे-छोटे हिस्सों से पूरे का पता लगाना। यह 'differentiation' का उल्टा है।

वैदिक दृष्टिकोण

1.2 — सूत्र 8: Puranapuranabhyam

इसका क्या मतलब है?

यह सूत्र हमें सिखाता है कि:

• जो चीज़ अधूरी है, उसे पूरा करें (एक 'term' जोड़कर उसे एक 'perfect square' बनाएँ)
• जो जोड़ा था, उसे घटाकर उसे अधूरा करें

Integral calculus में, यह उन व्यंजकों को इंटीग्रेट करने के लिए सबसे ज़्यादा असरदार है जिनमें द्विघात हर (quadratic denominators) होते हैं। ### अनुप्रयोग: वर्ग पूरा करना

इस रूप के समाकलन के लिए:

$$\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c}$$

हम वर्ग पूरा करते हैं:

$$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right]$$

फिर $\int \frac{dx}{x^2 + k^2}$ या $\int \frac{dx}{x^2 - k^2}$ के लिए मानक सूत्रों का उपयोग करते हैं। ---

उदाहरण 1: $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$

चरण 1: वर्ग पूरा करें $x^2 + 4x + 13 = (x^2 + 4x + 4) + 9 = (x + 2)^2 + 3^2$

चरण 2: सूत्र पहचानें $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}$

$$\int \frac{dx}{(x+2)^2 + 3^2} = \frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{x+2}{3} + C$$ ✓

उदाहरण 2: $\int \frac{dx}{x^2 + 6x + 25}$

वर्ग पूरा करें: $x^2 + 6x + 25 = (x+3)^2 + 16 = (x+3)^2 + 4^2$

$$\int \frac{dx}{(x+3)^2 + 4^2} = \frac{1}{4}\tan^{-1}\frac{x+3}{4} + C$$ ✓

उदाहरण 3: $\int \frac{dx}{4x^2 + 4x + 2}$

सबसे पहले 4 को उभयनिष्ठ (factor out) लें: $4x^2 + 4x + 2 = 4\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)$

अंदर वर्ग पूरा करें: $x^2 + x + \frac{1}{2} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}$

अतः समाकलन = $\frac{1}{4} \int \frac{dx}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{1/2} \tan^{-1}\frac{x+1/2}{1/2} = $\frac{1}{2}\tan^{-1}(2x+1) + C$ ✓

उदाहरण 4: $\int \frac{dx}{\sqrt{9 - (x-2)^2}}$

यह पहले से ही $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}\frac{u}{a}$ के रूप में है।

$$\int \frac{dx}{\sqrt{9 - (x-2)^2}} = \sin^{-1}\frac{x-2}{3} + C$$ ✓

1.3 — रैखिक/द्विघात का समाकलन: Puranapuranabhyam का विस्तार

$\int \frac{px + q}{ax^2 + bx + c} dx$ के रूप वाले समाकलनों के लिए, हम इसे दो भागों में बाँटते हैं:

$$\int \frac{px + q}{ax^2 + bx + c} dx = \int \frac{\frac{p}{2a}(2ax + b) + \left(q - \frac{pb}{2a}\right)}{ax^2 + bx + c} dx$$

पहले भाग का समाकलन $\frac{p}{2a} \ln|ax^2 + bx + c|$ होता है।

दूसरे भाग में 'वर्ग पूरा करने' (Puranapuranabhyam) की विधि का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण: $\int \frac{x + 3}{x^2 + 4x + 13} dx$

चरण 1: अंश को हर के अवकलज के पदों में लिखें। $d/dx(x^2+4x+13) = 2x+4$

$x + 3 = \frac{1}{2}(2x+4) + 1$

चरण 2: समाकलन को विभाजित करें। $$\int \frac{x+3}{x^2+4x+13} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+4}{x^2+4x+13} dx+ \int \frac{dx}{x^2+4x+13}$$

चरण 3: पहला भाग = $\frac{1}{2} \ln|x^2+4x+13|$

चरण 4: दूसरा भाग: पूर्ण वर्ग $(x+2)^2 + 3^2$ → $\frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{x+2}{3}$

चरण 5: मिलाएं: $\frac{1}{2}\ln|x^2+4x+13| + \frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{x+2}{3} + C$ ✓

1.4 — खंडशः समाकलन (Integration by Parts): वैदिक ILATE क्रम

सूत्र 11: व्यष्टि समष्टि (भाग और पूर्ण)

खंडशः समाकलन में, हम गुणनफल को भागों में तोड़ते हैं और फिर उन्हें मिलाते हैं।

ILATE नियम (वैदिक क्रम)

नियम: पहले फलन (u) के रूप में उस फलन को चुनें जिसकी ILATE क्रम में प्राथमिकता अधिक हो। $$\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \, dx \right) dx$$

उदाहरण 1: $\int x \cdot e^x dx$

यहाँ: x (बीजगणितीय — प्राथमिकता A), e^x (घातीय — प्राथमिकता E) A, E से पहले आता है, इसलिए u = x, v = e^x

$$\int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$ ✓

उदाहरण 2: $\int x \sin x \, dx$

u = x (बीजगणितीय), v = sin x (त्रिकोणमितीय)

$$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int 1 \cdot (-\cos x) dx = -x\cos x + \sin x + C$$ ✓

उदाहरण 3: $\int \ln x \, dx$

इसे $\int 1 \cdot \ln x \, dx$ के रूप में लिखें u = ln x (लघुगणकीय — प्राथमिकता L), v = 1 (बीजगणितीय — प्राथमिकता A) L > A, इसलिए u = ln x

$$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$$ ✓

उदाहरण 4: $\int x^2 e^x dx$

u = x², v = e^x

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2\left[x e^x - e^x\right] + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$ ✓

उदाहरण 5: $\int e^x \sin x \, dx$ (चक्रीय)

यहाँ दोनों फलनों (घातीय और त्रिकोणमितीय) की प्राथमिकता समान है। चक्रीय विधि का उपयोग करें:

मान लीजिए I = $\int e^x \sin x \, dx$ u = sin x, v = e^x

I = $e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$

अब $\int e^x \cos x \, dx$ का समाकलन करें: = $e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx = e^x \cos x + I$

मान वापस रखें: I = $e^x \sin x - [e^x \cos x + I] = e^x \sin x - e^x \cos x - I$

2I = $e^x(\sin x - \cos x)$

I = $\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$ ✓

1.5 — निश्चित समाकलन: लोपन-स्थापनाभ्याम्

उप-सूत्र 11: लोपन-स्थापनाभ्याम्

निश्चित समाकलनों पर अनुप्रयोग

यह सूत्र समरूपता का उपयोग करके कुछ पदों को हटाने (लोपन) और दूसरों को बनाए रखने (स्थापना) का सुझाव देता है।

गुण 1: सम और विषम फलन

$x^3$ एक विषम फलन है → समाकलन = 0 ✓

उदाहरण 2: $\int_{-1}^{1} (x^4 + x^2) dx$

दोनों ही सम फलन हैं: = $2\int_{0}^{1} (x^4 + x^2) dx = 2\left[\frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\right) = 2\left(\frac{3+5}{15}\right) = \frac{16}{15}$ ✓

गुणधर्म 2: $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$

इसे 'किंग्स रूल' (King's rule) कहा जाता है — यह 'लोपन-स्थापनभ्याम' (Lopana-Sthapanabhyam) पर आधारित एक वैदिक अंतर्दृष्टि है। ### उदाहरण 3: $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$

मान लीजिए I = $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$

$x \to \pi/2 - x$ का उपयोग करने पर: I = $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx$

दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: 2I = $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$

I = $\pi/4$ ✓

उदाहरण 4: $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + \tan x}$

I = $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + \tan x}$

$x \to \pi/2 - x$ का उपयोग करने पर, $\tan(\pi/2 - x) = \cot x$:

I = $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + \cot x} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\tan x}{1 + \tan x} dx$

जोड़ने पर: 2I = $\int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \tan x}{1 + \tan x} dx = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$

I = $\pi/4$ ✓

1.6 — आंशिक भिन्न: वैदिक वियोजन (ऊर्ध्व)

सूत्र 3: ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्

परिमेय फलनों $\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)}$ के लिए, आंशिक भिन्नों के गुणांक तिर्यक-गुणा (cross-multiplication) द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं। ### अलग-अलग रैखिक गुणनखंडों के लिए सूत्र

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c}$$

जहाँ: $A = \frac{P(a)}{(a-b)(a-c)}$, $B = \frac{P(b)}{(b-a)(b-c)}$, $C = \frac{P(c)}{(c-a)(c-b)}$

यह वैदिक तिर्यक-गुणन का सीधा परिणाम है!

उदाहरण 1: $\frac{x+3}{(x-1)(x-2)}$

A = $\frac{1+3}{(1-2)} = \frac{4}{-1} = -4$ B = $\frac{2+3}{(2-1)} = \frac{5}{1} = 5$

इसलिए $\frac{x+3}{(x-1)(x-2)} = \frac{-4}{x-1} + \frac{5}{x-2}$ ✓

जाँच: $(-4)(x-2) + 5(x-1) = -4x+8+5x-5 = x+3$ ✓

उदाहरण 2: $\frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}$

A = $\frac{2(1)+1}{(1+2)} = \frac{3}{3} = 1$ B = $\frac{2(-2)+1}{(-2-1)} = \frac{-4+1}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$

इसलिए = $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2}$ ✓

उदाहरण 3: $\int \frac{dx}{x^2 - 4}$

पहला गुणनखंड: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

आंशिक भिन्न: $\frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$

A = $\frac{1}{(2+2)} = \frac{1}{4}$, B = $\frac{1}{(-2-2)} = -\frac{1}{4}$

तो = $\frac{1}{4(x-2)} - \frac{1}{4(x+2)}$

समाकलन: $\frac{1}{4} \ln|x-2| - \frac{1}{4} \ln|x+2| + C = \frac{1}{4} \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C$ ✓

1.7 — वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल: वैदिक गणना

मूल अवधारणा

वक्र y = f(x) के अंतर्गत, x = a से x = b तक का क्षेत्रफल:

$$A = \int_a^b f(x) dx$$

वैदिक समरूपता के शॉर्टकट

सममित अंतरालों पर सममित फलनों के लिए:

सम फलन: $2\int_0^2 x^2 dx = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 2 \times \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$ ✓

उदाहरण 2: वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ का क्षेत्रफल

$y = \sqrt{a^2 - x^2}$ (ऊपरी आधा भाग)

वृत्त का क्षेत्रफल = $4 \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx$

प्रतिस्थापन $x = a\sin\theta$, $dx = a\cos\theta d\theta$ का उपयोग करने पर:

= $4 \int_0^{\pi/2} a\cos\theta \cdot a\cos\theta d\theta = 4a^2 \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta$

= $4a^2 \times \frac{\pi}{4} = \pi a^2$ ✓

1.8 — लघूकरण सूत्र: सूत्र 9 के पैटर्न

सूत्र 9: चलनकलंभ्याम (अंतर)

यह सूत्र क्रमिक पदों के बीच के अंतर की जाँच करके पैटर्न खोजने का सुझाव देता है। ### $\int \sin^n x \, dx$ के लिए रिडक्शन फ़ॉर्मूला

मान लीजिए $I_n = \int \sin^n x \, dx$

$I_n = -\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x + \frac{n-1}{n} I_{n-2}$

Chalana-Kalanabhyam पैटर्न का उपयोग करके व्युत्पत्ति

उदाहरण: $\int \sin^3 x \, dx$

n=3 के साथ रिडक्शन फ़ॉर्मूला का उपयोग करने पर: $I_3 = -\frac{1}{3} \sin^2 x \cos x + \frac{2}{3} I_1$ $I_1 = -\cos x$

$I_3 = -\frac{1}{3} \sin^2 x \cos x - \frac{2}{3} \cos x + C$ = $-\frac{\cos x}{3}(\sin^2 x + 2) + C = -\frac{\cos x}{3}(3 - \cos^2 x) + C$ ✓

$\int \tan^n x \, dx$ के लिए रिडक्शन फ़ॉर्मूला

$I_n = \int \tan^n x \, dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$

उदाहरण: $\int \tan^3 x \, dx$

$I_3 = \frac{\tan^2 x}{2} - I_1$ $I_1 = \int \tan x \, dx = -\ln|\cos x|$

इसलिए $I_3 = \frac{\tan^2 x}{2} + \ln|\cos x|$ + C$ ✓

1.9 — डबल इंटीग्रल्स: प्रारंभिक वैदिक दृष्टिकोण

कार्टेशियन प्रोडक्ट की अवधारणा

एक आयत पर डबल इंटीग्रल:

$$\iint_R f(x,y) \, dA = \int_{x=a}^{b} \int_{y=c}^{d} f(x,y) \, dy \, dx$$

वैदिक अंतर्दृष्टि: चरों का पृथक्करण

यदि $f(x,y) = g(x) \cdot h(y)$, तो:

$$\iint_R g(x)h(y) \, dA = \left(\int_a^b g(x) dx\right) \left(\int_c^d h(y) dy\right)$$

उदाहरण 1: $\iint_R xy \, dA$, जहाँ R है: x=[0,2], y=[0,3]

= $\left(\int_0^2 x dx\right) \left(\int_0^3 y dy\right) = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 \times \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^3 = \left(\frac{4}{2}\right) \times \left(\frac{9}{2}\right) = 2 \times \frac{9}{2} = 9$ ✓

उदाहरण 2: $\iint_R x^2 y^3 \, dA$, जहाँ R है: x=[1,2], y=[0,1]

= $\left(\int_1^2 x^2 dx\right) \left(\int_0^1 y^3 dy\right) = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 \times \left[\frac{y^4}{4}\right]_0^1 = \left(\frac{8-1}{3}\right) \times \frac{1}{4} = \frac{7}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$ ✓

1.10 — सारांश: इंटीग्रल कैलकुलस में सूत्रों के अनुप्रयोग

| सूत्र | अनुप्रयोग | |-------|----|| | सूत्र 8 - पुराणपुराणभ्यम् | द्विघात हर के लिए वर्ग पूरा करना | | सूत्र 11 - व्यष्टि समष्टि | भागों द्वारा एकीकरण के लिए ILATE अनुक्रम | | उपसूत्र 11 - लोपना-स्थापनाभ्यम् | निश्चित अभिन्नों में समरूपता | | सूत्र 3 - ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यम् | आंशिक भिन्न गुणांक | | सूत्र 9 - चलन-कलानाभ्यम | न्यूनीकरण सूत्र पैटर्न |

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: पूर्ण वर्ग बनाकर समाकलन (Puranapuranabhyam)

उदाहरण 1

प्रश्न: $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 10}$

उत्तर:

पूर्ण वर्ग बनाना: $x^2 + 2x + 10 = (x+1)^2 + 9 = (x+1)^2 + 3^2$

$$\int \frac{dx}{(x+1)^2 + 3^2} = \frac{1}{3} \tan^{-1} \frac{x+1}{3} + C$$ ✓

उदाहरण 2

प्रश्न: $\int \frac{dx}{4x^2 - 8x + 5}$

उत्तर:

4 को उभयनिष्ठ लेना: $4\left(x^2 - 2x + \frac{5}{4}\right) = 4\left[(x-1)^2 + \frac{1}{4}\right] = 4\left[(x-1)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right]$

$$\int \frac{dx}{4[(x-1)^2 + (1/2)^2]} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{1/2} \tan^{-1} \frac{x-1}{1/2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2x-2) + C$$ ✓

उदाहरण 3

प्रश्न: $\int \frac{dx}{\sqrt{5 - 4x - x^2}}$

उत्तर:

वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाना: $5 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x - 5) = -[(x+2)^2 - 9] = 9 - (x+2)^2$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} = \sin^{-1} \frac{x+2}{3} + C$$ ✓

अनुभाग B: रैखिक/द्विघात व्यंजकों का समाकलन (Puranapuranabhyam)

उदाहरण 4

प्रश्न: $\int \frac{2x+1}{x^2 + 4x + 5} dx$

उत्तर:

हर का अवकलज: $2x+4$

$2x+1 = (2x+4) - 3$

$$\int \frac{2x+1}{x^2+4x+5} dx = \int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx - 3\int \frac{dx}{x^2+4x+5}$$

पहला भाग = $\ln|x^2+4x+5|$

दूसरे भाग के लिए पूर्ण वर्ग: $x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1$

तो दूसरा भाग = $3 \tan^{-1}(x+2)$

उत्तर = $\ln|x^2+4x+5| - 3\tan^{-1}(x+2) + C$ ✓

उदाहरण 5

प्रश्न: $\int \frac{3x+5}{x^2 + 2x + 10} dx$

उत्तर:

हर का अवकलज: $2x+2$

$3x+5 = \frac{3}{2}(2x+2) + 2$ (क्योंकि $\frac{3}{2} \times 2 = 3$, $\frac{3}{2} \times 2 = 3$, तो $5 - 3 = 2$)

$$\int \frac{3x+5}{x^2+2x+10} dx = \frac{3}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+10} dx + 2\int \frac{dx}{x^2+2x+10}$$

पहला भाग = $\frac{3}{2} \ln|x^2+2x+10|$

दूसरा: $x^2+2x+10 = (x+1)^2 + 3^2$ → $2 \times \frac{1}{3} \tan^{-1}\frac{x+1}{3} = \frac{2}{3} \tan^{-1}\frac{x+1}{3}$

उत्तर = $\frac{3}{2} \ln|x^2+2x+10| + $\frac{2}{3} \tan^{-1}\frac{x+1}{3} + C$ ✓

Section C: खंडशः समाकलन (ILATE क्रम)

उदाहरण 6

प्रश्न: $\int x \cos x \, dx$

उत्तर:

u = x (बीजगणितीय), v = cos x (त्रिकोणमितीय)

$$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$$ ✓

उदाहरण 7

प्रश्न: $\int x^2 e^{3x} dx$

उत्तर:

u = x², v = e^{3x} $\int x^2 e^{3x} dx = x^2 \cdot \frac{e^{3x}}{3} - \int 2x \cdot \frac{e^{3x}}{3} dx = \frac{x^2 e^{3x}}{3} - \frac{2}{3} \int x e^{3x} dx$

अब $\int x e^{3x} dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3} dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9}$

मान वापस रखने पर: = $\frac{x^2 e^{3x}}{3} - \frac{2}{3} \left( \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} \right) = \frac{x^2 e^{3x}}{3} - \frac{2x e^{3x}}{9} + \frac{2e^{3x}}{27} + C$

= $e^{3x} \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} \right) + C$ ✓

उदाहरण 8

प्रश्न: $\int e^{2x} \cos 3x \, dx$ (चक्रीय)

उत्तर:

माना I = $\int e^{2x} \cos 3x \, dx$

खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: I = $e^{2x} \cdot \frac{\sin 3x}{3} - \int 2e^{2x} \cdot \frac{\sin 3x}{3} dx = \frac{e^{2x} \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \int e^{2x} \sin 3x dx$

अब J = $\int e^{2x} \sin 3x dx = e^{2x} \cdot \frac{-\cos 3x}{3} - \int 2e^{2x} \cdot \frac{-\cos 3x}{3} dx = -\frac{e^{2x} \cos 3x}{3} + \frac{2}{3} I$

मान रखने पर: I = $\frac{e^{2x} \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \left( -\frac{e^{2x} \cos 3x}{3} + \frac{2}{3} I \right)$

I = $\frac{e^{2x} \sin 3x}{3} + \frac{2e^{2x} \cos 3x}{9} - \frac{4}{9} I$

$I + \frac{4}{9}I = \frac{13}{9}I = \frac{e^{2x}}{9}(3\sin 3x + 2\cos 3x)$

I = $\frac{e^{2x}}{13}(3\sin 3x + 2\cos 3x) + C$ ✓

खंड D: निश्चित समाकलन — समरूपता (लोपन-स्थापन विधि)

उदाहरण 9

प्रश्न: $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x \, dx$

उत्तर:

$\sin^3 x$ एक विषम फलन है (क्योंकि $\sin(-x) = -\sin x$, और घन करने पर विषम प्रकृति बनी रहती है)

सममित अंतराल पर समाकलन का मान = 0 ✓

उदाहरण 10

प्रश्न: $\int_{-2}^{2} (x^5 + x^3 + x) dx$

उत्तर:

सभी पद विषम फलन हैं → समाकलन = 0 ✓

उदाहरण 11

प्रश्न: $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

उत्तर:

गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का प्रयोग करें।

माना I = $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

x को π−x से प्रतिस्थापित करने पर: I = $\int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1 + \cos^2(\pi-x)} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

जोड़ने पर: 2I = $\int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

माना u = cos x, du = −sin x dx, सीमाएँ: x=0 → u=1, x=π → u=-1

2I = $\pi \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \pi \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = \pi \left[\tan^{-1}u\right]_{-1}^{1} = \pi \left(\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \pi \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$

I = $\frac{\pi^2}{4}$ ✓

खंड E: आंशिक भिन्न

उदाहरण 12

प्रश्न: $\int \frac{5x+1}{(x-2)(x+3)} dx$

उत्तर:

A और B ज्ञात करें: $\frac{5x+1}{(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3}$

A = $\frac{5(2)+1}{2+3} = \frac{11}{5}$ B = $\frac{5(-3)+1}{-3-2} = \frac{-15+1}{-5} = \frac{-14}{-5} = \frac{14}{5}$

अतः = $\frac{11}{5(x-2)} + \frac{14}{5(x+3)}$

समाकलन करें: $\frac{11}{5} \ln|x-2| + \frac{14}{5} \ln|x+3| + C$ ✓

उदाहरण 13

प्रश्न: $\int \frac{dx}{x^2 - 9}$

उत्तर:

$\frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}$

A = $\frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$, B = $\frac{1}{-3-3} = -\frac{1}{6}$

= $\frac{1}{6} \ln|x-3| - \frac{1}{6} \ln|x+3| + C = \frac{1}{6} \ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|$ + C$ ✓

खंड F: न्यूनीकरण सूत्र

उदाहरण 14

प्रश्न: $I_n = \int \cos^n x \, dx$ के लिए न्यूनीकरण सूत्र ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$I_n = \int \cos^{n-1} x \cdot \cos x \, dx$

खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: u = cos^{n-1}x, v = cos x

$I_n = \cos^{n-1}x \sin x - \int (n-1)\cos^{n-2}x (-\sin x) \sin x \, dx$

$= \cos^{n-1}x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2}x \sin^2 x \, dx$

$= \cos^{n-1}x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2}x (1 - \cos^2 x) dx$

$= \cos^{n-1}x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$

$I_n + (n-1)I_n = \cos^{n-1}x \sin x + (n-1) I_{n-2}$

$n I_n = \cos^{n-1}x \sin x + (n-1) I_{n-2}$

$I_n = \frac{\cos^{n-1}x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ ✓

उदाहरण 15

प्रश्न: न्यूनीकरण सूत्र का उपयोग करके $\int \cos^4 x \, dx$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$I_n = \frac{\cos^{n-1}x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ का उपयोग करने पर

$I_4 = \frac{\cos^3 x \$\frac{\sin x}{4} + \frac{3}{4} I_2$

$I_2 = \frac{\cos x \sin x}{2} + \frac{1}{2} I_0 = \frac{\cos x \sin x}{2} + \frac{x}{2}$

तो $I_4 = \frac{\cos^3 x \sin x}{4} + \frac{3}{4} \left( \frac{\cos x \sin x}{2} + \frac{x}{2} \right)$

$= \frac{\cos^3 x \sin x}{4} + \frac{3 \cos x \sin x}{8} + \frac{3x}{8} + C$ ✓

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: वर्ग पूरा करके समाकलन (15 प्रश्न)

'पूरणापूरणाभ्याम' विधि का उपयोग करके समाकलन करें।

A1. $\int \frac{dx}{x^2 + 6x + 10}$ A2. $\int \frac{dx}{x^2 - 8x + 25}$ A3. $\int \frac{dx}{2x^2 + 4x + 3}$ A4. $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}$ A5. $\int \frac{dx}{4x^2 - 12x + 10}$ A6. $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x-1)^2}}$ A7. $\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2 + 4x}}$ A8. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}$ A9. $\int \frac{x+1}{x^2 + 2x + 5} dx$ A10. $\int \frac{2x+3}{x^2 + 4x + 13} dx$ A11. $\int \frac{3x-1}{x^2 + 6x + 10} dx$ A12. $\int \frac{x}{x^2 + 2x + 2} dx$ A13. $\int \frac{2x+5}{x^2 + 4x + 8} dx$ A14. $\int \frac{dx}{(x-1)^2 + 4}$ A15. $\int \frac{dx}{\sqrt{25 - (x+2)^2}}$

अभ्यास सेट B: खंडशः समाकलन (10 प्रश्न)

ILATE क्रम का उपयोग करें।

B1. $\int x e^x dx$ B2. $\int x \sin 2x dx$ B3. $\int x^2 \ln x dx$ B4. $\int \ln x dx$ B5. $\int x \tan^{-1} x dx$ B6. $\int e^x \cos x dx$ B7. $\int \sin^{-1} x dx$ B8. $\int x^3 e^x dx$ B9. $\int e^{ax} \sin bx dx$ B10. $\int x^n \ln x dx$

अभ्यास सेट C: निश्चित समाकलन — समरूपता (10 प्रश्न)

Lopana-Sthapanabhyam का उपयोग करें।

C1. $\int_{-3}^{3} x^5 dx$ C2. $\int_{-2}^{2} (x^4 + x^2) dx$ C3. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx$ C4. $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^5 x dx$ C5. $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx$ C6. $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + \tan^3 x}$ C7. $\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1 + \sin x} dx$ C8. $\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin x) dx$ C9. $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx$ C10. $\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx$ (अर्धवृत्त का क्षेत्रफल)

अभ्यास सेट D: आंशिक भिन्न (10 प्रश्न)

आंशिक भिन्नों में वियोजित करें और समाकलन करें।

D1. $\int \frac{dx}{(x-1)(x-2)}$ D2. $\int \frac{x+2}{(x-3)(x+1)} dx$ D3. $\int \frac{2x+5}{(x-1)(x+2)} dx$ D4. $\int \frac{3x-2}{(x-4)(x+5)} dx$ D5. $\int \frac{x^2}{(x-1)(x-2)} dx$ (नोट: पहले विषम भिन्न में बदलें) D6. $\int \frac{dx}{x^2 - 1}$ D7. $\int \frac{dx}{x^2 - 4}$ D8. $\int \frac{dx}{x^2 + x - 2}$ D9. $\int \frac{dx}{2x^2 - 3x - 2}$ D10. $\int \frac{x^2 + 1}{(x-1)(x+2)} dx$

अभ्यास सेट E: लघूकरण सूत्र (5 प्रश्न)

E1. $I_n = \int \tan^n x dx$ के लिए लघूकरण सूत्र व्युत्पन्न करें। E2. $\int \tan^4 x dx$ ज्ञात करें। E3. $\int \sin^4 x dx$ ज्ञात करें। E4. $\int \sec^3 x dx$ ज्ञात करें (इसके लिए IBP की आवश्यकता है)। E5. $\int \sin^6 x dx$ ज्ञात करें।

अभ्यास सेट F: द्विसमाकलन (5 प्रश्न)

F1. $\iint_R xy^2 dA$ R पर: x=[0,2], y=[0,3] F2. $\iint_R x^2 y dA$ R पर: x=[1,3], y=[0,2] F3. $\iint_R e^{x+y} dA$ R पर: x=[0,1], y=[0,1] F4. $\iint_R \cos x \sin y dA$ R पर: x=[0,π/2], y=[0,π/2] F5. $\iint_R (x+y) dA$ R पर: x=[0,1], y=[0,1]

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर:

A1. $\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x+3}{2}+C$
A2. $\frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{x-4}{3}+C$
A3. $\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\frac{2x+2}{\sqrt{2}}+C$
A4. $\tan^{-1}(x+1)+C$
A5. $\frac{1}{2}\tan^{-1}(2x-3)+C$
A6. $\sin^{-1}\frac{x-1}{2}+C$
A7. $\sin^{-1}\frac{x-2}{3}+C$
A8. $\sinh^{-1}\frac{x+1}{2}+C$
A9. $\frac{1}{2}\ln|x^2+2x+5| + C$
A10. $\ln|x^2+4x+13| + \frac{3}{2}\tan^{-1}\frac{x+2}{3}+C$
A11. $\frac{3}{2}\ln|x^2+6x+10| - \frac{10}{2}\tan^{-1}(x+3)+C$
A12. $\frac{1}{2}\ln|x^2+2x+2| - $\tan^{-1}(x+1)+C$
A13. $\ln|x^2+4x+8| + \frac{3}{2}\tan^{-1}\frac{x+2}{2}+C$
A14. $\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x-1}{2}+C$
A15. $\sin^{-1}\frac{x+2}{5}+C$

Set B के उत्तर:

B1. $e^x(x-1)+C$
B2. $-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$
B3. $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9}+C$
B4. $x\ln x - x + C$
B5. $\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\tan^{-1}x + C$
B6. $\frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x)+C$
B7. $x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}+C$
B8. $e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)+C$
B9. $\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx - b\cos bx)+C$
B10. $\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+C$

Set C के उत्तर:

C1. 0
C2. $\frac{272}{15}$
C3. 2
C4. 0
C5. $\frac{\pi}{4}$
C6. $\frac{\pi}{4}$
C7. $\pi$
C8. $-\frac{\pi}{2}\ln 2$
C9. $\frac{\pi}{4}$
C10. $\frac{\pi a^2}{2}$

सेट D के उत्तर:

D1. $\ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C$
D2. $\frac{5}{4}\ln|x-3| - \frac{1}{4}\ln|x+1|+C$
D3. $\frac{7}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{3}\ln|x+2|+C$
D4. $\frac{10}{9}\ln|x-4| + \frac{17}{9}\ln|x+5|+C$
D5. $x + 2\ln|x-1| + \frac{4}{3}\ln|x-2|+C$
D6. $\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$
D7. $\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C$
D8. $\frac{1}{3}\ln\left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C$
D9. $\frac{1}{5}\ln\left|\frac{2x+1}{x-2}\right|+C$
D10. $x - \frac{2}{3}\ln|x-1| + \frac{5}{3}\ln|x+2|+C$

सेट E के उत्तर:

E1. $I_n = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - I_{n-2}$
E2. $\frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$
E3. $\frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$
E4. $\frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$
E5. $\frac{5x}{16} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{64} + \frac{\sin^3 2x}{48} + C$

सेट F के उत्तर:

F1. 9
F2. $\frac{32}{3}$
F3. $(e-1)^2$
F4. 1
F5. 1

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका

सामान्य त्रुटियाँ एवं उनका सुधार

Calculus के लिए सूत्र सारांश

त्वरित संदर्भ कार्ड

╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║                 MODULE 24 — CALCULUS: वैदिक समाकलन गणित          ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║                                                                       ║
║  PURANAPURANABHYAM (पूर्णता):                                      ║
║  ∫ dx/(ax²+bx+c) → वर्ग पूरा करेंre → arctan या log रूप               ║
║                                                                       ║
║  ILATE क्रम (खंडशः समाकलन):                               ║
║  I > L > A > T > E (u को उच्च प्राथमिकता के रूप में चुनें)                      ║
║                                                                       ║
║  LOPANA-STHAPANABHYAM (समरूपता):                                     ║
║  • [-a,a] पर विषम फलन → 0                                       ║
║  • [-a,a] पर सम फलन → 2∫₀ᵃ                                    ║
║  • ∫₀ᵃ f(x)dx = ∫₀ᵃ f(a-x)dx                                        ║
║                                                                       ║
║  आंशिक भिन्न (Urdhva):                                          ║
║  (x-a)(x-b) के लिए, A = P(a)/(a-b), B = P(b)/(a-b)                       ║
║                                                                       ║
║  लघुकरण सूत्र (Chalana-Kalanabhyam):                            ║
║  Iₙ = ∫ sinⁿ x dx = -1/n sinⁿ⁻¹x cos x + (n-1)/n Iₙ₋₂                 ║
║                                                                       ║
║  द्विसमाकलन (पृथक्करण):                                       ║
║  यदि f(x,y)=g(x)h(y), ∬ = ∫g(x)dx × ∫h(y)dy                           ║
║                                                                       ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

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