🕉️ वैदिक गणित — लेवल 3: एडवांस्ड

मॉड्यूल 28: ज्यामिति — वैदिक रचनाएँ और प्रमाण

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"ज्यामिति संबंधों को देखने की कला है। सूत्र हमें पैटर्न को इतनी स्पष्टता से देखना सिखाते हैं कि प्रमाण अपने आप स्पष्ट हो जाते हैं—केवल देखने मात्र से।" — वैदिक गणित शिक्षक नियमावली

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र ये कर पाएँगे:

1. वैदिक सूत्र का उपयोग करके तुरंत पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triples) बना पाएँगे।
2. हेरॉन के सूत्र और वैदिक क्रॉस-प्रोडक्ट का उपयोग करके किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाल पाएँगे।
3. केवल देखकर (विलोकनम्) वृत्त के प्रमेयों को सिद्ध कर पाएँगे।
4. वैदिक पैटर्न पहचान का उपयोग करके शांकव परिच्छेद (conic section) के समीकरण निकाल पाएँगे।
5. 'आधार-गुणा-ऊंचाई' पैटर्न का उपयोग करके ठोस आकृतियों का आयतन निकाल पाएँगे।
6. रूपांतरण ज्यामिति (transformational geometry) की समस्याओं में 'परावर्त्य' सूत्र लागू कर पाएँगे।
7. 'व्यष्टि समष्टि' (अंश-पूर्ण) के माध्यम से ज्यामितीय गुणों को पहचान पाएँगे।
8. JEE-स्तर की ज्यामिति समस्याओं को 50% कम समय में हल कर पाएँगे।

भाग 1: सिद्धांत

1.1 — वैदिक ज्यामिति का परिचय

वैदिक ज्यामिति क्या है?

वैदिक ज्यामिति, सूत्रों के सिद्धांतों को ज्यामितीय रचनाओं, प्रमेयों और गणनाओं में लागू करती है। इसमें पैटर्न पहचानने (विलोकनम्) और समस्याओं को हिस्सों में बाँटने (व्यष्टि समष्टि) पर ज़ोर दिया जाता है।

वैदिक ज्यामिति क्यों?

1.2 — सूत्र 12: विलोकनम् (केवल देखकर)

इसका क्या अर्थ है?

यह उप-सूत्र हमें बिना किसी गणना के सीधे उत्तर देखना सिखाता है। ज्यामिति में, इसका अर्थ है:

• केवल देखकर (दृश्य निरीक्षण द्वारा) सर्वांगसम त्रिभुजों को पहचानना
• आनुपातिक संबंधों को देखना
• सममितीय गुणों की पहचान करना
• कोणों के योग के आधार पर चक्रीय चतुर्भुजों को पहचानना

1.3 — पाइथागोरस त्रिक: वैदिक सूत्र

मानक सूत्र

एक पाइथागोरस त्रिक $(a, b, c)$ समीकरण $a^2 + b^2 = c^2$ को संतुष्ट करता है। वैदिक उत्पत्ति सूत्र (सुल्बा सूत्र से):

किसी भी $m > n$ के लिए, मान लीजिए: $$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

वैदिक पैटर्न (ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम संबंध)

$(m + in)^2 = (m^2 - n^2) + i(2mn)$ की कल्पना करें। मापांक का वर्ग $m^2 + n^2$ देता है।

उदाहरण 1: $m = 2, n = 1$

$a = 4 - 1 = 3$, $b = 2×2×1 = 4$, $c = 4 + 1 = 5$ → $(3, 4, 5)$ ✓

उदाहरण 2: $m = 3, n = 1$

$a = 9 - 1 = 8$, $b = 2×3×1 = 6$, $c = 9 + 1 = 10$ → $(6, 8, 10)$ ✓

उदाहरण 3: $m = 3, n = 2$

$a = 9 - 4 = 5$, $b = 2×3×2 = 12$, $c = 9 + 4 = 13$ → $(5, 12, 13)$ ✓

उदाहरण 4: $m = 4, n = 1$

$a = 16 - 1 = 15$, $b = 2×4×1 = 8$, $c = 16 + 1 = 17$ → $(8, 15, 17)$ ✓

उदाहरण 5: $m = 4, n = 3$

$a = 16 - 9 = 7$, $b = 2×4×3 = 24$, $c = 16 + 9 = 25$ → $(7, 24, 25)$ ✓

विशेष स्थिति: जब $m$ और $n$ क्रमागत हों

• $(2,1)$ → $(3,4,5)$
• $(3,2)$ → $(5,12,13)$
• $(4,3)$ → $(7,24,25)$
• $(5,4)$ → $(9,40,41)$

पैटर्न: कर्ण $2(m^2 + n^2)$ से बढ़ता है? अवलोकन: $c = m^2 + n^2$ जिसमें $m = n+1$ हो, तो $c = (n+1)^2 + n^2 = 2n^2 + 2n + 1$ प्राप्त होता है।

1.4 — हेरोनियन त्रिभुज

हेरोनियन त्रिभुज क्या है?

एक ऐसा त्रिभुज जिसकी भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल, सभी पूर्णांक (integers) हों।

हेरोन का सूत्र

$a, b, c$ भुजाओं वाले और $s = \frac{a+b+c}{2}$ अर्ध-परिमाप वाले त्रिभुज के लिए:

$$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

वैदिक पैटर्न: क्रॉस प्रोडक्ट के रूप में क्षेत्रफल

$(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$ निर्देशांकों के लिए:

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$$

यह 'शूलेज़ सूत्र' (shoelace formula) है—जो कि पहले से ही एक वैदिक पैटर्न है!

उदाहरण: हेरोनियन त्रिभुज (3,4,5)

$s = (3+4+5)/2 = 6$ क्षेत्रफल = $\sqrt{6×3×2×1} = \sqrt{36} = 6$ ✓

उदाहरण: हेरोनियन त्रिभुज (5,5,6)

$s = (5+5+6)/2 = 8$ क्षेत्रफल = $\sqrt{8×3×3×2} = \sqrt{144} = 12$ ✓

उदाहरण: हेरोनियन त्रिभुज (5,12,13)

$s = (5+12+13)/2 = 15$ क्षेत्रफल = $\sqrt{15×10×3×2} = \sqrt{900} = 30$ ✓

1.5 — वैदिक क्रॉस-प्रोडक्ट्स का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना

व्यष्टि समष्टि(भाग और पूर्ण)

एक जटिल आकृति को सरल भागों में तोड़ें, प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल निकालें, और फिर उनका योग करें।

उदाहरण: चतुर्भुज का क्षेत्रफल

शीर्षों $A, B, C, D$ (क्रमशः) वाले चतुर्भुज के लिए:

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}|(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|$$

यह बहुभुज का 'शूलेज़ सूत्र' (shoelace formula) है।

उदाहरण: शीर्ष (0,0), (4,0), (5,3), (1,3)

सूची: (0,0), (4,0), (5,3), (1,3), वापस (0,0) पर

योग 1 = $0×0 + 4×3 + 5×3 + 1×0 = 0 + 12 + 15 + 0 = 27$ योग 2 = $0×4 + 0×5 + 3×1 + 3×0 = 0 + 0 + 3 + 0 = 3$ क्षेत्रफल = $|27 - 3|/2 = 24/2 = 12$ वर्ग इकाई ✓

1.6 — वृत्त प्रमेय: केवल अवलोकन द्वारा प्रमाण (विलोकनम्)

प्रमेय 1: अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।

अवलोकन: एक अर्धवृत्त में बने ऐसे त्रिभुज के लिए, जिसका व्यास ही उसका कर्ण हो, परिधि पर बना कोण 90° होता है।

अवलोकन द्वारा वैदिक प्रमाण: परिधि पर स्थित बिंदु तक त्रिज्या खींचें। समद्विबाहु त्रिभुजों को देखने पर पता चलता है कि कोणों का योग 90° होता है।

प्रमेय 2: एक ही जीवा द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं।

अवलोकन: एक ही चाप पर स्थित बिंदु परिधि पर बराबर कोण अंतरित करते हैं।

प्रमेय 3: जीवा और स्पर्श रेखा के बीच बना कोण, एकांतर खंड (alternate segment) में बने कोण के बराबर होता है।

अवलोकन: एकांतर खंड प्रमेय—चक्रीय चतुर्भुज के निर्माण को केवल देखकर ही इसका अवलोकन किया जा सकता है। ### प्रमेय 4: एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

अवलोकन: चूंकि अंतर्लिखित कोण ऐसे चाप बनाते हैं जिनका योग एक पूर्ण वृत्त के बराबर होता है, इसलिए उनके मापों का योग 180° होता है।

उदाहरण: $\angle ABC$ ज्ञात कीजिए, यदि $A, B, C$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त पर स्थित हैं और $AC$ उसका व्यास है।

अवलोकन द्वारा: $\angle ABC = 90°$ (अर्धवृत्त में बना कोण) ✓

1.7 — शांकव परिच्छेद (Conic Sections): वैदिक व्युत्पत्ति के शॉर्टकट

शांकव का सामान्य समीकरण

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

अवलोकन (विलोकनम्) द्वारा प्रकार का निर्धारण

परवलय (यावदूनम् संबंध)

मानक रूप: $y^2 = 4ax$ या $x^2 = 4ay$

यावदूनम् अंतर्दृष्टि: नाभि से दूरी, नियता से दूरी के बराबर होती है।

दीर्घवृत्त

मानक रूप: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b$)

मुख्य गुणधर्म: नाभियों से दूरियों का योग एक अचर राशि ($2a$) होता है।

अतिपरवलय

मानक रूप: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

मुख्य गुणधर्म: नाभियों से दूरियों का अंतर एक अचर राशि ($2a$) होता है। ---

उदाहरण: शांकव की पहचान करें: $9x^2 + 25y^2 = 225$

225 से भाग दें: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ → दीर्घवृत्त ($a=5, b=3$) ✓

उदाहरण: शांकव की पहचान करें: $y^2 = 8x$

$4a = 8$ → $a = 2$ → परवलय, दाईं ओर खुलता हुआ ✓

1.8 — ठोस ज्यामिति: आधार-गुणा-ऊंचाई के पैटर्न

सार्वभौमिक वैदिक सिद्धांत (व्यष्टि समष्टि)

किसी भी प्रिज्म या बेलन के लिए: $$\text{आयतन} = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊंचाई}$$

किसी भी पिरामिड या शंकु के लिए: $$\text{आयतन} = \frac{1}{3} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊंचाई}$$

गोले के लिए: $$\text{आयतन} = \frac{4}{3}\pi r^3$$

अवलोकन (विलोकनम्):

एक शंकु का आयतन, समान आधार और ऊंचाई वाले बेलन के आयतन का $\frac{1}{3}$ होता है। ### उदाहरण: $a$ भुजा वाला घन आधार का क्षेत्रफल = $a^2$, ऊँचाई = $a$ → आयतन = $a^3$ ✓

उदाहरण: आयताकार प्रिज्म $l \times w \times h$

आधार का क्षेत्रफल = $lw$, ऊँचाई = $h$ → आयतन = $lwh$ ✓

उदाहरण: बेलन, त्रिज्या $r$, ऊँचाई $h$

आधार का क्षेत्रफल = $\pi r^2$, ऊँचाई = $h$ → आयतन = $\pi r^2 h$ ✓

उदाहरण: शंकु, त्रिज्या $r$, ऊँचाई $h$

आयतन = $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ ✓

1.9 — रूपांतरण ज्यामिति: परावर्त्य संबंध

सूत्र 4: परावर्त्य योजयेत् (स्थानांतरित करें और लागू करें)

ज्यामिति में, यह इन पर लागू होता है:

• स्थानांतरण (Translation): $z \to z + t$ (सदिश जोड़ना)
• घूर्णन (Rotation): $z \to ze^{i\theta}$ (इकाई सम्मिश्र संख्या से गुणा करना)
• परावर्तन (Reflection): $z \to \bar{z}$ (संयुग्मी)

स्थानांतरण

किसी आकृति को सदिश $(h, k)$ द्वारा स्थानांतरित करना: $$(x, y) \to (x + h, y + k)$$

मूल बिंदु के सापेक्ष घूर्णन

कोण $\theta$ द्वारा घूर्णन: $$(x, y) \to (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$$

x-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन

$$(x, y) \to (x, -y)$$

y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन

$$(x, y) \to (-x, y)$$

रेखा $y = x$ के सापेक्ष परावर्तन

$$(x, y) \to (y, x)$$

उदाहरण: बिंदु (1, 4) पर स्थानांतरण (2, -3) लागू करें

नया बिंदु = $(1+2, 4-3) = (3, 1)$ ✓

1.10 — JEE-स्तरीय ज्यामिति अनुप्रयोग

उदाहरण 1: शीर्षों (1,2), (4,5), (6,3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

उपयोग करके Shoelace विधि:

Sum1 = $1×5 + 4×3 + 6×2 = 5 + 12 + 12 = 29$ Sum2 = $2×4 + 5×6 + 3×1 = 8 + 30 + 3 = 41$ क्षेत्रफल = $|29 - 41|/2 = 12/2 = 6$ ✓

उदाहरण 2: (0,0), (4,0), (0,3) से होकर गुजरने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए समीकरण $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ है।

(0,0) से: $F = 0$ (4,0) से: $16 + 4D = 0$ → $D = -4$ (0,3) से: $9 + 3E = 0$ → $E = -3$

समीकरण: $x^2 + y^2 - 4x - 3y = 0$

पूर्ण वर्ग बनाना: $(x-2)^2 + (y-1.5)^2 = 4 + 2.25 = 6.25 = (2.5)^2$

केंद्र $(2, 1.5)$, त्रिज्या $2.5$ ✓

उदाहरण 3: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।उन बिंदुओं से बना, जहाँ वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ अक्षों से मिलता है

वृत्त x-अक्ष से $(\pm5, 0)$ पर, और y-अक्ष से $(0, \pm5)$ पर मिलता है

$(5,0)$, $(0,5)$, $(0,0)$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$

या $(5,0)$, $(0,5)$, $(-5,0)$ चुनें — क्षेत्रफल = ?

बेहतर तरीका: शीर्षों $(5,0)$, $(0,5)$, $(-5,0)$ वाला त्रिभुज:

Sum1 = $5×5 + 0×0 + (-5)×0 = 25 + 0 + 0 = 25$ Sum2 = $0×0 + 5×(-5) + 0×5 = 0 - 25 + 0 = -25$ क्षेत्रफल = $|25 - (-25)|/2 = 50/2 = 25$ ✓

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: पाइथागोरस त्रिक

उदाहरण 1

प्रश्न: $m=5, n=2$ का उपयोग करके एक पाइथागोरस त्रिक ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$a = m^2 - n^2 = 25 - 4 = 21$ $b = 2mn = 2×5×2 = 20$ $c = m^2 + n^2 = 25 + 4 = 29$

त्रिक: $(20, 21, 29)$ ✓

जाँच: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ ✓

उदाहरण 2

प्रश्न: $m=7, n=4$ का उपयोग करके एक पाइथागोरस त्रिक ज्ञात कीजिए। उत्तर:

$a = 49 - 16 = 33$ $b = 2×7×4 = 56$ $c = 49 + 16 = 65$

ट्रिपल: $(33, 56, 65)$ ✓

जाँच: $33^2 + 56^2 = 1089 + 3136 = 4225 = 65^2$ ✓

उदाहरण 3

प्रश्न: सबसे छोटा पाइथागोरस ट्रिपल ज्ञात कीजिए जिसकी एक भुजा (leg) > 10 हो।

उत्तर:

ट्रिपल $(8, 15, 17)$ की भुजाएँ 8 और 15 हैं। अगला ट्रिपल: $(9, 40, 41)$ की भुजाएँ 9 और 40 हैं।

सबसे छोटा ट्रिपल जिसकी दोनों भुजाएँ > 10 हों, क्या $(11, 60, 61)$ हो सकता है? लेकिन 11 तो एक अभाज्य संख्या है? जाँच करें $m=6, n=5$: $a=36-25=11$, $b=60$, $c=61$ ✓

अतः $(11, 60, 61)$ ही सही उत्तर है।

अनुभाग B: क्षेत्रफल की गणना (Shoelace विधि)

उदाहरण 4

प्रश्न: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(1,1)$, $(4,2)$, $(2,5)$ हैं।

उत्तर:

सूची: (1,1), (4,2), (2,5), वापस (1,1) पर

Sum1 = $1×2 + 4×5 + 2×1 = 2 + 20 + 2 = 24$ Sum2 = $1×4 + 2×2 + 5×1 = 4 + 4 + 5 = 13$ क्षेत्रफल = $|24 - 13|/2 = 11/2 = 5.5$ ✓

उदाहरण 5

प्रश्न: उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(0,0)$, $(4,0)$, $(5,3)$, $(1,3)$ हैं। उत्तर:

सूची: (0,0), (4,0), (5,3), (1,3), वापस (0,0) पर

Sum1 = $0×0 + 4×3 + 5×3 + 1×0 = 0 + 12 + 15 + 0 = 27$ Sum2 = $0×4 + 0×5 + 3×1 + 3×0 = 0 + 0 + 3 + 0 = 3$ क्षेत्रफल = $|27 - 3|/2 = 24/2 = 12$ ✓

उदाहरण 6

प्रश्न: उस पंचभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(0,0)$, $(4,0)$, $(5,2)$, $(2,5)$, $(0,4)$ हैं।

उत्तर:

सूची: (0,0), (4,0), (5,2), (2,5), (0,4), वापस (0,0) पर

Sum1 = $0×0 + 4×2 + 5×5 + 2×4 + 0×0 = 0 + 8 + 25 + 8 + 0 = 41$ Sum2 = $0×4 + 0×5 + 2×2 + 5×0 + 4×0 = 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 4$ क्षेत्रफल = $|41 - 4|/2 = 37/2 = 18.5$ ✓

खंड C: वृत्त प्रमेय (विलोकनम्)

उदाहरण 7

प्रश्न: एक वृत्त में, जीवा AB केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। यह परिधि पर कितना कोण अंतरित करेगी?

उत्तर:

अवलोकन द्वारा: परिधि पर बना कोण = केंद्र पर बने कोण का आधा = $30°$ ✓

उदाहरण 8

प्रश्न: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, $\angle A = 70°$ है। $\angle C$ ज्ञात कीजिए। उत्तर:

अवलोकन से: सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। $\angle C = 180° - 70° = 110°$ ✓

उदाहरण 9

प्रश्न: एक वृत्त में त्रिभुज ABC अंकित है, जिसमें AC व्यास है। यदि $\angle BAC = 40°$ है, तो $\angle ABC$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

अवलोकन से: अर्धवृत्त में बना कोण = 90° → $\angle ABC = 90°$ ✓

खंड D: शांकव परिच्छेद (Conic Sections)

उदाहरण 10

प्रश्न: शांकव की पहचान कीजिए: $4x^2 + 9y^2 = 36$।

उत्तर:

36 से भाग देने पर: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ → दीर्घवृत्त (Ellipse) ✓

उदाहरण 11

प्रश्न: शांकव की पहचान कीजिए: $y^2 - 4x^2 = 4$।

उत्तर:

4 से भाग देने पर: $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{1} = 1$ → अतिपरवलय (Hyperbola) (ऊर्ध्वाधर अनुप्रस्थ अक्ष) ✓

उदाहरण 12

प्रश्न: परवलय $y^2 = 12x$ की नाभि (focus) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$4a = 12$ → $a = 3$ → नाभि $(3, 0)$ पर है। ✓

खंड E: ठोस ज्यामिति (Solid Geometry)

उदाहरण 13

प्रश्न: 5 cm त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाले एक बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

आयतन = $\pi r^2 h = \pi × 25 × 10 = 250\pi$ घन cm ✓

उदाहरण 14

प्रश्न: 3 cm त्रिज्या और 8 cm ऊँचाई वाले एक शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

आयतन = $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi × 9 × 8 = 24\pi$ घन cm ✓

उदाहरण 15

प्रश्न: 6 cm त्रिज्या वाले एक गोले का आयतन ज्ञात कीजिए। उत्तर:

आयतन = $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi × 216 = 288\pi$ घन सेमी ✓

खंड F: रूपांतरण ज्यामिति

उदाहरण 16

प्रश्न: बिंदु $(2,3)$ को मूल बिंदु के सापेक्ष $90°$ वामावर्त (counterclockwise) घुमाइए।

उत्तर:

$90°$ का घूर्णन: $(x,y) \to (-y, x)$ $(2,3) \to (-3, 2)$ ✓

उदाहरण 17

प्रश्न: बिंदु $(3,5)$ का रेखा $y = x$ के सापेक्ष परावर्तन (reflection) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$y = x$ के सापेक्ष परावर्तन: $(x,y) \to (y, x)$ $(3,5) \to (5,3)$ ✓

उदाहरण 18

प्रश्न: शीर्षों $(1,1)$, $(3,1)$, $(2,4)$ वाले त्रिभुज का सदिश $(2,-1)$ द्वारा स्थानांतरण (translation) कीजिए।

उत्तर:

नए शीर्ष: $(3,0)$, $(5,0)$, $(4,3)$ ✓

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: पाइथागोरस त्रिक (15 प्रश्न)

दिए गए $m, n$ के लिए पाइथागोरस त्रिक ज्ञात कीजिए।

A1. $m=2, n=1$ A2. $m=3, n=2$ A3. $m=4, n=3$ A4. $m=5, n=4$ A5. $m=5, n=2$ A6. $m=5, n=3$ A7. $m=6, n=5$ A8. $m=6, n=4$ A9. $m=7, n=6$ A10. $m=7, n=2$ A11. $m=8, n=3$ A12. $m=8, n=5$ A13. $m=9, n=2$ A14. $m=9, n=4$ A15. $m=10, n=7$

अभ्यास सेट B: क्षेत्रफल की गणना (Shoelace) (10 प्रश्न)

दिए गए शीर्षों वाले बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

B1. त्रिभुज: $(0,0),(5,0), (0,7)$ B2. त्रिभुज: $(1,2), (4,6), (7,3)$ B3. त्रिभुज: $(2,3), (5,8), (9,4)$ B4. चतुर्भुज: $(0,0), (4,0), (5,3), (1,4)$ B5. चतुर्भुज: $(0,0), (6,0), (5,4), (0,5)$ B6. चतुर्भुज: $(2,1), (5,1), (6,4), (1,4)$ B7. पंचभुज: $(0,0), (4,0), (5,2), (3,5), (0,4)$ B8. पंचभुज: $(1,1), (4,1), (6,3), (3,5), (0,3)$ B9. षट्भुज: $(0,0), (3,0), (4,2), (3,5), (0,5), (-1,2)$ B10. षट्भुज: $(2,2), (5,2), (7,4), (5,7), (2,7), (0,4)$

अभ्यास सेट C: वृत्त प्रमेय (10 प्रश्न)

केवल देखकर (विलोकनम्) उत्तर दें।

C1. किसी व्यास द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण ___ होता है। C2. एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग ___ होता है। C3. किसी जीवा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण, ___ खंड में बने कोण के बराबर होता है। C4. एक वृत्त में, बराबर जीवाएँ केंद्र पर ___ कोण बनाती हैं। C5. केंद्र पर बना कोण, उसी जीवा द्वारा परिधि पर बनाए गए कोण का ___ होता है। C6. अर्धवृत्त में बना त्रिभुज सदैव ___-कोणीय होता है। C7. यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° हो, तो वह ___ होता है। C8. किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, उस बिंदु पर त्रिज्या के ___ होती है। C9. एक वृत्त के एक ही खंड में बने कोण ___ होते हैं। C10. किसी बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, उनके द्वारा काटे गए चापों के अंतर के ___ होता है।

अभ्यास सेट D: शांकव परिच्छेद (10 प्रश्न)

शांकव और उसकी मुख्य विशेषताओं की पहचान करें।

D1. $x^2 + y^2 = 25$ D2. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ D3. $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ D4. $y^2 = 16x$ D5. $x^2 = -8y$ D6. $9x^2 + 4y^2 = 36$ D7. $x^2 - y^2 = 1$ D8. $4x^2 + 4y^2 = 1$ D9. $y = x^2$ D10. $xy = 1$ (आयताकार अतिपरवलय)

अभ्यास सेट E: ठोस ज्यामिति (10 प्रश्न)

आयतन और/या पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

E1. 5 cm भुजा वाला घन (आयतन) E2. आयताकार प्रिज्म $l=6, w=4, h=3$ (आयतन) E3. बेलन, त्रिज्या 4 cm, ऊँचाई 7 cm (आयतन) E4. शंकु, त्रिज्या 3 cm, ऊँचाई 10 cm (आयतन) E5. गोला, त्रिज्या 5 cm (आयतन) E6. बेलन, त्रिज्या 2 cm, ऊँचाई 10 cm (पृष्ठीय क्षेत्रफल) E7. शंकु, त्रिज्या 6 cm, ऊँचाई 8 cm (तिर्यक ऊँचाई और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) E8. गोला, त्रिज्या 7 cm (पृष्ठीय क्षेत्रफल) E9. अर्धगोला, त्रिज्या 4 cm (आयतन) E10. पिरामिड, वर्गाकार आधार की भुजा 6 cm और ऊँचाई 9 cm (आयतन)

अभ्यास सेट F: रूपांतरण ज्यामिति (10 प्रश्न)

दिए गए रूपांतरण को लागू करें।

F1. $(3,4)$ को सदिश $(2,-5)$ द्वारा स्थानांतरित करें। F2. $(2,3)$ को $90°$ वामावर्त (counterclockwise) घुमाएँ F3. $(4,1)$ को मूल बिंदु (origin) के चारों ओर $180°$ घुमाएँ F4. $(5,2)$ को $270°$ वामावर्त ($-90°$) घुमाएँ F5. $(3,7)$ का x-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन (reflection) करें F6. $(4,5)$ का y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन करें F7. $(6,2)$ का रेखा $y = x$ के सापेक्ष परावर्तन करें F8. शीर्षों $(1,1), (3,1), (2,4)$ वाले त्रिभुज को सदिश (vector) $(2,3)$ द्वारा स्थानांतरित (translate) करें F9. बिंदु $(-2,5)$ को $90°$ दक्षिणावर्त (clockwise) घुमाएँ F10. रेखा $y = -x$ के सापेक्ष परावर्तन के बाद $(a,b)$ का प्रतिबिंब (image) ज्ञात करें

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर (पाइथागोरस त्रिक):

A1. (3,4,5)
A2. (5,12,13) ​​| A3. (7,24,25)
A4. (9,40,41)
A5. (21,20,29)
A6. (16,30,34) या (8,15,17) (स्केल्ड/अनुपातित)? वास्तव में (5,3): a=25-9=16, b=30, c=34 → (16,30,34) सरल रूप (2 से भाग देने पर): (8,15,17) ✓
A7. (11,60,61)
A8. (20,48,52) → (5,12,13) ​​(स्केल्ड)
A9. (13,84,85)
A10. (45,28,53)
A11. (55,48,73)
A12. (39,80,89)
A13. (77,36,85)
A14. (65,72,97)
A15. (51,140,149)

सेट B उत्तर (क्षेत्रफल):

B1. 17.5
B2. 9.5
B3. 13.5
B4. 19? मैं गणना करता हूँ: (0,0),(4,0),(5,3),(1,4): Sum1=0+12+15+0=27, Sum2=0+0+3+4=7, क्षेत्रफल=10
B5. 20.5? (0,0),(6,0),(5,4),(0,5): Sum1=0+24+20+0=44, Sum2=0+0+20+0=20, क्षेत्रफल=12
B6. 12
B7. 17.5
B8. 16
B9. 19.5
B10. 27

सेट C उत्तर (वृत्त प्रमेय):

C1. 90°
C2. 180°
C3. एकांतर
C4. बराबर
C5. दुगुना
C6. समकोण
C7. चक्रीय
C8. लंबवत
C9. बराबर
C10. संपूरक

सेट D उत्तर (शांकव):

D1. वृत्त, केंद्र (0,0), त्रिज्या 5
D2. दीर्घवृत्त, a=4, b=3
D3. अतिपरवलय, a=5, b=3
D4. परवलय, a=4, नाभि (4,0)
D5. परवलय, a=2, नाभि (0,-2)
D6. दीर्घवृत्त, a=3, b=2
D7. अतिपरवलय, a=1, b=1
D8. वृत्त, केंद्र (0,0), त्रिज्या 1/2
D9. परवलय, शीर्ष (0,0), ऊपर की ओर खुलता हुआ
D10. आयताकार अतिपरवलय

सेट E उत्तर (ठोस ज्यामिति):

E1. 125 cm³
E2. 72 cm³
E3. 112π cm³
E4. 30π cm³
E5. 500π/3 cm³
E6. 48π cm²
E7. l=10, TSA=96π cm²
E8. 196π cm²
E9. 128π/3 cm³
E10. 108 cm³

सेट F के उत्तर (रूपांतरण):

F1. (5,-1)
F2. (-3,2)
F3. (-4,-1)
F4. (2,-5)
F5. (3,-7)
F6. (-4,5)
F7. (2,6)
F8. (3,4), (5,4), (4,7)
F9. (5,2)
F10. (-b,-a)

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका

सामान्य गलतियाँ और सुधार

याद रखने के सहायक तरीके (Memory Aids)

त्वरित संदर्भ कार्ड

╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║                     मॉड्यूल 28 — ज्यामिति: वैदिक दृष्टिकोण               ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║                                                                       ║
║  पाइथागोरस त्रिक: (m²-n², 2mn, m²+n²)                            ║
║                                                                       ║
║  क्षेत्रफल (Shoelace): ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁) - Σ(yᵢxᵢ₊₁)| ║
║                                                                       ║
║  वृत्त प्रमेय (Vilokanam):                                         ║
║  • अर्धवृत्त में बना कोण = 90°                                          ║
║  • चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण = 180°                                 ║
║  • केंद्र पर बना कोण = 2× परिधि पर बना कोणference                        ║
║                                                                       ║
║  शंकु परिच्छेद (CONIC SECTIONS):                                      ║
║  वृत्त:   x² + y² = r²                                               ║
║  दीर्घवृत्त:  x²/a² + y²/b² = 1                                          ║
║  अतिपरवलय: x²/a² - y²/b² = 1                                         ║
║  परवलय: y² = 4ax (दाएँ)                                           ║
║                                                                       ║
║  आयतन (VOLUMES):                                                             ║
║  प्रिज्म/बेलन: आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई                                   ║
║  पिरामिड/शंकु: ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई                                 ║
║  गोला: ⁴⁄₃πr³                                                       ║
║                                                                       ║
║  रूपांतरण (TRANSFORMATIONS):                                                     ║
║  90° वामावर्त (CCW): (-y, x) | 180°: (-x, -y)                                   ║
║  x-अक्ष पर परावर्तन: (x, -y) | y-अक्ष पर: (-x, y) | y=x पर: (y, x)             ║
║                                                                       ║
║  सूत्र (SUTRAS): विलोकनम् (12), व्यष्टि समष्टि (11), ऊर्ध्व (3)            ║
║                                                                       ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

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