🕉️ वैदिक गणित — स्तर 1: आधार

मॉड्यूल 3: विशेष संख्याओं द्वारा गुणा

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"वैदिक गणित बच्चे को किसी एक ही एल्गोरिथम के कठोर दायरे में नहीं बांधता। इसके बजाय, यह प्रत्येक संख्या के अद्वितीय व्यक्तित्व को उजागर करता है, और गुणा करने की प्रक्रिया को पैटर्न को तेज़ी से पहचानने के एक कार्य में बदल देता है।" — केनेथ विलियम्स, वैदिक गणित के लेखक और शोधकर्ता

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

सूत्र 1: एकाधिकेन पूर्वेण (पिछली संख्या से एक अधिक द्वारा) | | अगला मॉड्यूल | मॉड्यूल 4: सार्वभौमिक गुणा (ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्) |

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र निम्न कार्य करने में सक्षम होंगे:

1. किसी भी बहु-अंकीय संख्या को $11, 111,$ या $1111$ से, एक-पंक्ति वाली सैंडविच विधि का उपयोग करके तुरंत गुणा करना।
2. "पड़ोसी-जोड़" (neighbor-addition) के व्यवहार को सामान्यीकृत करके, $12$ से $19$ तक की संख्याओं से तेज़ी से गुणा करना।
3. सूत्र 14 (एकन्यूनेंन पूर्वेण) को लागू करके, $9$ की श्रृंखला वाली संख्याओं ($9, 99, 999, 9999$) से बिजली की गति से गुणा करना। 4. संख्याओं को $5, 25,$ और $125$ से गुणा करने के लिए आधा करने और चौथाई करने (Halving and Quartering) वाली भिन्नात्मक रूपांतरण प्रणाली को लागू करें।
4. जटिल अंकगणितीय गुणनफलों को सरल बनाने के लिए संरचनात्मक दुगुना करने और आधा करने (Doubling and Halving) की रणनीति का उपयोग करें।
5. संख्याओं के अद्वितीय गुणों को पहचानें ताकि सबसे तेज़ मानसिक शॉर्टहैंड (संक्षिप्त विधि) का चयन किया जा सके, और मानक लंबी गुणन विधि को टाला जा सके।

भाग 1: सिद्धांत

3.1 — 11 से गुणा: "सैंडविच" या "पड़ोसी" विधि

11 से गुणा करने की पारंपरिक विधि में, छात्र को संख्याओं की दो पंक्तियाँ लिखनी पड़ती हैं, अंकों को बाईं ओर खिसकाना पड़ता है, और फिर उन्हें स्तंभों में जोड़ना पड़ता है। वैदिक गणित संख्या 11 को एक संरचनात्मक संकेत के रूप में देखता है, जिसका अर्थ है "संख्या को उसके ठीक बगल वाले पड़ोसी में जोड़ना।"

इसे पूरी तरह से त्रुटि-मुक्त बनाने के लिए, हम कल्पना करते हैं कि संख्या दो सुरक्षात्मक शून्यों के बीच "सैंडविच" की तरह फँसी हुई है: $0$ और $0$।

एक-पंक्ति संचालन नियम

1. जिस संख्या को गुणा करना है (गुण्य), उसके शुरू और अंत में एक $0$ लगाएँ।
2. दाएँ से बाएँ (या मानसिक रूप से बाएँ से दाएँ) चलते हुए, प्रत्येक अंक को उसके ठीक दाईं ओर वाले पड़ोसी में जोड़ें।
3. योग का केवल इकाई वाला अंक लिखें; दहाई वाले मान को अगले पड़ोसी के जोड़ में 'हासिल' (carry forward) के रूप में आगे बढ़ाएँ।

दो-अंकीय प्रक्रिया का विस्तृत विश्लेषण

आइए $47 \times 11$ का गुणा करें:

सुरक्षात्मक शून्य जोड़ें: $0\,4\,7\,0$ चरण 1: सबसे दाईं ओर वाले अंक $7$ और उसके दाईं ओर के पड़ोसी $0$ को देखें: $7 + 0 = \mathbf{7}$ चरण 2: बाईं ओर बढ़ें। $4$ और उसके दाईं ओर के पड़ोसी $7$ को देखें: $4 + 7 = 11$। $1$ लिखें, और $1$ को हासिल (carry over) के रूप में आगे बढ़ाएँ। चरण 3: बाईं ओर बढ़ें। सुरक्षात्मक $0$ और उसके दाईं ओर के पड़ोसी $4$ को देखें: $0 + 4 = 4$। हासिल वाले अंक को जोड़ें: $4 + 1 = \mathbf{5}$। $$\text{अंतिम एकीकृत उत्तर मैट्रिक्स} = \mathbf{517}$$

विस्तार: तीन और चार अंकों का गुणा

संख्या की लंबाई चाहे कितनी भी हो, यह संरचनात्मक नियम पूरी तरह से लागू होता है।

उदाहरण: $3,524 \times 11$

संख्या को फ्रेम करें: $0\,3\,5\,2\,4\,0$ $4 + 0 = \mathbf{4}$ $2 + 4 = \mathbf{6}$ $5 + 2 = \mathbf{7}$ $3 + 5 = \mathbf{8}$ $0 + 3 = \mathbf{3}$

$$\text{अंतिम एकल-पंक्ति उत्तर} = \mathbf{38764}$$

3.2 — 12 से 19 तक की संख्याओं से गुणा: विस्तारित पड़ोसी नियम

एक बार जब कोई छात्र $11$ से गुणा करने में महारत हासिल कर लेता है, तो वह इस तकनीक को $12$ से $19$ तक के किसी भी गुणक पर लागू कर सकता है। अंक को सीधे उसके पड़ोसी में जोड़ने के बजाय, पहले सक्रिय अंक को अपने गुणक के इकाई अंक से गुणा करें, और फिर उसमें उसका पड़ोसी जोड़ें।

$$\text{× 1N के लिए मानसिक पैटर्न}: \quad (\text{सक्रिय अंक} \times N) + \text{ठीक दाईं ओर का पड़ोसी}$$

गुणक पैरामीटर मैट्रिक्स

संक्रियात्मक प्रक्रिया: $234 \times 12$

फ्रेमिंग शून्य (zeros) लगाएं: $0\,2\,3\,4\,0$ चरण 1: सक्रिय अंक $4$ है। पड़ोसी $0$ है। फ़ॉर्मूला: $(4 \times 2) + 0 = \mathbf{8}$ चरण 2: सक्रिय अंक $3$ है। पड़ोसी $4$ है। फ़ॉर्मूला: $(3 \times 2) + 4 = 6 + 4 = 10$. $0$ लिखें, $1$ हासिल (carry) लें। चरण 3: सक्रिय अंक $2$ है। पड़ोसी $3$ है। फ़ॉर्मूला: $(2 \times 2) + 3 + 1\text{ (हासिल)} = 4 + 3 + 1 = \mathbf{8}$. चरण 4: सक्रिय अंक सीमांत $0$ है। पड़ोसी $2$ है। फ़ॉर्मूला: $(0 \times 2) + 2 = \mathbf{2}$.

$$\text{अंतिम एकीकृत गुणनफल} = \mathbf{2808}$$

3.3 — 9, 99, 999 से गुणा: सूत्र 14 (एकाधिकेन पूर्वेण)

किसी संख्या को नौ की श्रृंखला ($9, 99, 999, \dots$) से गुणा करना वैदिक गणित की सबसे प्रसिद्ध और शानदार तकनीकों में से एक है। यह सूत्र 14: एकाधिकेन पूर्वेण पर आधारित है, जिसका अर्थ है "पहले वाले से एक कम।"

हम अंतिम उत्तर को दो अलग-अलग गणितीय हिस्सों में विभाजित करते हैं: एक बायाँ भाग और एक दायाँ भाग, जिन्हें एक ऊर्ध्वाधर विभाजन रेखा ($\mid$) द्वारा अलग किया जाता है।

स्थिति 1: अंकों की संख्या, नौ की संख्या से मेल खाती है

जब किसी $N$-अंकीय संख्या को नौ के $N$-अंकीय समूह से गुणा किया जाता है:

1. बाएँ भाग का सूत्र: गुण्य (जिस संख्या को गुणा किया जा रहा है) में से ठीक $1$ घटाएँ ($N - 1$)।
2. दाएँ भाग का सूत्र: मूल गुण्य पर सीधे सूत्र 2 (सभी 9 से, अंतिम 10 से) लागू करें, ताकि उसका पूरक (complement) प्राप्त हो सके। $$\text{फ़ॉर्मूला संरचना:} \quad A \times 99\dots = (A - 1) \mid (\text{A का निखिलम पूरक})$$

उदाहरण: $76 \times 99$

बायाँ भाग: $76 - 1 = \mathbf{75}$ दायाँ भाग: 'सभी 9 से, अंतिम 10 से' नियम का उपयोग करके $76$ का पूरक $\rightarrow (9 - 7) \mid (10 - 6) = \mathbf{24}$ दोनों भागों को मिलाएँ: $75 \mid 24$

$$\text{अंतिम परिणाम} = \mathbf{7524}$$

उदाहरण: $843 \times 999$

बायाँ भाग: $843 - 1 = \mathbf{842}$ दायाँ भाग: $843$ का पूरक $\rightarrow (9 - 8) \mid (9 - 4) \mid (10 - 3) = \mathbf{157}$

$$\text{अंतिम परिणाम} = \mathbf{842157}$$

3.4 — नौ (Nines) की उन्नत संरचनाएँ: असंतुलित कॉलम क्षेत्र

स्थिति 2: गुण्य (Multiplicand) के अंकों से अधिक नौ (Nines) होने पर

यदि आप किसी छोटी संख्या को नौ (Nines) की एक लंबी शृंखला से गुणा कर रहे हैं (उदाहरण के लिए, $43 \times 999$), तो अपने गुण्य के आगे शून्य (leading zeros) जोड़कर कॉलम को संतुलित करें। #### उदाहरण: $43 \times 999 \rightarrow$ इसे इस तरह लिखें: $043 \times 999$

बायाँ हिस्सा: $043 - 1 = \mathbf{042}$ दायाँ हिस्सा: $043$ पर 'सभी 9 से, अंतिम 10 से' (All from 9, last from 10) नियम लागू करें। $9 - 0 = \mathbf{9}$ $9 - 4 = \mathbf{5}$ $10 - 3 = \mathbf{7}$

परिणामों को मिलाएँ: $042 \mid 957$

$$\text{अंतिम परिणाम} = \mathbf{42957}$$

3.5 — 5, 25, और 125 से गुणा: आधार रूपांतरण विधियाँ

बड़ी संख्याओं को सीधे $5, 25,$ या $125$ से गुणा करने का प्रयास करना एक अक्षम तरीका है। वैदिक गणित इन गुणकों को दस की घातों पर आधारित भिन्नों में बदल देता है। यह एक कठिन गुणा समस्या को एक सरल भाग (division) समस्या में बदल देता है।

भिन्नात्मक रूपांतरण मैट्रिक्स

चरण 1: $25$ के बेस कन्वर्ज़न स्केल से मेल खाने के लिए दो शून्य जोड़ें: $648 \rightarrow 64800$ चरण 2: मान को एक बार आधा करें: $64800 \div 2 = 32400$ चरण 3: मान को दूसरी बार आधा करें ताकि 4 से भाग पूरा हो जाए: $32400 \div 2 = 16200$

$$\text{अंतिम गणना किया गया गुणनफल} = \mathbf{16200}$$

3.6 — उच्च-क्रम विस्तार: 111 और 1111 से गुणा

पड़ोसी जोड़ विधि को आसानी से बढ़ाया जा सकता है ताकि यह $111$ या $1111$ जैसे गुणकों को संभाल सके। एक की संख्या "जोड़ विंडो" का आकार निर्धारित करती है।

$11$ के लिए, आप एक बार में अधिकतम 2 अंक जोड़ते हैं। $111$ के लिए, आप एक बार में अधिकतम 3 अंक जोड़ते हैं। $1111$ के लिए, आप एक बार में अधिकतम 4 अंक जोड़ते हैं।

उच्च-क्रम गुणकों के लिए सीमाएँ निर्धारित करना

गणनाओं को व्यवस्थित रखने के लिए, अपनी संख्या के प्रत्येक तरफ $M - 1$ फ्रेमिंग शून्य जोड़ें, जहाँ $M$ गुणक में अंकों की संख्या है।

$\times 111$ के लिए: प्रत्येक तरफ दो शून्य जोड़ें ($00 \dots 00$)। $\times 1111$ के लिए: प्रत्येक तरफ तीन शून्य जोड़ें ($000 \dots 000$)। ### चरण-दर-चरण सिस्टम विश्लेषण: $132 \times 111$

संख्या के दोनों ओर दो शून्य लगाएँ: $0013200$ दाईं से बाईं ओर एक 3-अंकीय जोड़ विंडो खिसकाएँ: $2 + 0 + 0 = \mathbf{2}$ $3 + 2 + 0 = \mathbf{5}$ $1 + 3 + 2 = \mathbf{6}$ $0 + 1 + 3 = \mathbf{4}$ $0 + 0 + 1 = \mathbf{1}$

$$\text{अंतिम एकल-पंक्ति गुणनफल} = \mathbf{14652}$$

3.7 — आनुपातिक संतुलन विधि: दुगुना करना और आधा करना

दुगुना करने और आधा करने की तकनीक अनुपात के सिद्धांत को लागू करती है। यह दो संख्याओं के बीच कारकों को स्थानांतरित करके गुणन को सरल बनाती है, जिससे समस्या हल करना आसान हो जाता है।

$$\text{बीजगणितीय सर्वसमिका संतुलन:} \quad X \times Y = (2X) \times \left(\frac{Y}{2}\right)$$

यह तकनीक तब अत्यंत उपयोगी होती है जब:

किसी एक संख्या के अंत में $.5$ या $5$ आता हो (इसे दुगुना करने पर दस का एक स्पष्ट आधार बन जाता है)। कोई एक संख्या सम संख्या हो जिसे दो से विभाजित करना आसान हो।

परिचालन प्रक्रिया: $35 \times 16$

मानसिक रूप से इसकी गणना करना कठिन प्रतीत होता है। आइए इसे लागू करेंआपका आनुपातिक संतुलन नियम: पहली संख्या को दोगुना करें: $35 \times 2 = 70$ दूसरी संख्या को आधा करें: $16 \div 2 = 8$

अब बदले हुए समीकरण को देखें: $70 \times 8$ इसे तुरंत हल किया जा सकता है: $7 \times 8 = 56 \rightarrow$ शून्य जोड़कर $560$ प्राप्त करें।

$$\text{अंतिम गुणनफल उत्तर} = \mathbf{560}$$

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: 11, 111, और 1111 से एक-पंक्ति गुणन

उदाहरण 1

प्रश्न: एक-पंक्ति पड़ोसी जोड़ विधि का उपयोग करके $7,849 \times 11$ की गणना करें। सभी हासिल (carries) का ध्यान रखें।

उत्तर:

1. संख्या के दोनों ओर एक-एक संरचनात्मक शून्य जोड़ें: $0\,7\,8\,4\,9\,0$
2. दाईं से बाईं ओर आसन्न अंकों के जोड़े जोड़ना शुरू करें: स्तंभ 1: $9 + 0 = \mathbf{9}$ स्तंभ 2: $4 + 9 = 13 \rightarrow$ $3$ लिखें, $1$ हासिल लें स्तंभ 3: $8 + 4 = 12 \rightarrow$ हासिल जोड़ें: $12 + 1 = 13$। $3$ लिखें, $1$ हासिल लें स्तंभ 4: $7 + 8 = 15 \rightarrow$ हासिल जोड़ें: $15 + 1 = 16$। $6$ लिखें, $1$ हासिल लें स्तंभ 5: $0 + 7 = 7 \rightarrow$ हासिल जोड़ें: $7 + 1 = \mathbf{8}$

$$\text{अंतिम गणना की गई शृंखला} = \mathbf{86339}$$

उदाहरण 2

प्रश्न: तीन-अंकीय स्लाइडिंग विंडो विधि का उपयोग करके $243 \times 111$ की गणना करें। उत्तर:

1. संख्या के दोनों ओर दो-दो शून्य लगाकर उसे फ्रेम करें: $0024300$
2. संख्या में दाईं से बाईं ओर बढ़ते हुए, 3-अंकों की विंडो (खिड़की) के अंदर के अंकों को जोड़ें: विंडो 1: $3 + 0 + 0 = \mathbf{3}$ विंडो 2: $4 + 3 + 0 = \mathbf{7}$ विंडो 3: $2 + 4 + 3 = \mathbf{9}$ विंडो 4: $0 + 2 + 4 = \mathbf{6}$ विंडो 5: $0 + 0 + 2 = \mathbf{2}$

$$\text{अंतिम एकल-पंक्ति परिणाम} = \mathbf{26973}$$

अनुभाग B: पड़ोसी गुणन (12 से 19 तक)

उदाहरण 3

प्रश्न: त्रिनिटेरियन पड़ोसी गणना नियम का उपयोग करके $316 \times 13$ को हल करें।

उत्तर:

1. फ्रेम किए गए क्षेत्र को व्यवस्थित करें: $0\,3\,1\,6\,0$। हमारा गुणक इकाई पैरामीटर $3$ है (क्योंकि हम $13$ से गुणा कर रहे हैं)।
2. प्रत्येक अंक को दाईं से बाईं ओर, चरण-दर-चरण संसाधित करें: चरण 1: सक्रिय अंक $6$। पड़ोसी $0 \rightarrow (6 \times 3) + 0 = 18$। $8$ लिखें, $1$ हासिल (carry) लें। चरण 2: सक्रिय अंक $1$। पड़ोसी $6 \rightarrow (1 \times 3) + 6 + 1\text{ (हासिल)} = 3 + 6 + 1 = 10$। $0$ लिखें, $1$ हासिल लें। चरण 3: सक्रिय अंक $3$। पड़ोसी $1 \rightarrow (3 \times 3) + 1 + 1\text{ (हासिल)} = 9 + 1 + 1 = 11$। $1$ लिखें, $1$ हासिल लें। चरण 4: सक्रिय अंक $0$। पड़ोसी $3 \rightarrow (0 \times 3) + 3 + 1\text{ (कैरी)} = 0 + 3 + 1 = \mathbf{4}$.

$$\text{अंतिम गुणनफल} = \mathbf{4108}$$

भाग C: नौ की शृंखलाओं के लिए सूत्र 14 का अनुप्रयोग

उदाहरण 4

प्रश्न: वैदिक शॉर्टकट का उपयोग करके 5 सेकंड के भीतर $6,834 \times 9,999$ का मान ज्ञात करें।

उत्तर: चूँकि अंकों की संख्या नौ की संख्या से पूरी तरह मेल खाती है, इसलिए गणना को दो हिस्सों में बाँटें:

बायाँ भाग ($A - 1$): $6834 - 1 = \mathbf{6833}$ दायाँ भाग (निखिलम पूरक): मूल संख्या $6834$ पर सीधे 'सभी 9 से, अंतिम 10 से' (All from 9, last from 10) नियम लागू करें: $9 - 6 = \mathbf{3}$ $9 - 8 = \mathbf{1}$ $9 - 3 = \mathbf{6}$ $10 - 4 = \mathbf{6}$

दोनों हिस्सों को मिलाएँ: $6833 \mid 3166$

$$\text{अंतिम गणना किया गया गुणनफल} = \mathbf{68333166}$$

उदाहरण 5

प्रश्न: असमान गुणन समस्या $82 \times 999$ को हल करें। उत्तर:

1. शुरू में एक शून्य लगाकर अंकों की संख्या को बराबर करें: $082 \times 999$

2. मिलान वाले अंकों के नियम लागू करें: बायाँ भाग: $082 - 1 = \mathbf{081}$ दायाँ भाग: संतुलित स्ट्रिंग $082$ पर 'सभी 9 से, अंतिम 10 से' (All from 9, last from 10) का नियम लागू करें: $9 - 0 = \mathbf{9}$ $9 - 8 = \mathbf{1}$ $10 - 2 = \mathbf{8}$

3. दोनों भागों को मिलाएँ: $081 \mid 918$

$$\text{अंतिम गणना किया गया गुणनफल} = \mathbf{81918}$$

अनुभाग D: आधा करना, चौथाई करना, और आनुपातिक संतुलन

उदाहरण 6

प्रश्न: भिन्नात्मक आधार रूपांतरण शॉर्टकट का उपयोग करके $1,284 \times 25$ की गणना करें।

उत्तर:

1. $25$ से गुणा करना, $\frac{100}{4}$ से गुणा करने के समान है। सबसे पहले, संख्या के अंत में दो शून्य लगाएँ: $1284 \rightarrow 128400$
2. परिणाम को दो बार आधा करके $4$ से विभाजित करें: पहला आधा करने का चरण: $128400 \div 2 = 64200$ दूसरा आधा करने का चरण: $64200 \div 2 = 32100$

$$\text{अंतिम गुणनफल योग} = \mathbf{32100}$$

उदाहरण 7

प्रश्न: आनुपातिक संतुलन विधि का उपयोग करके $45 \times 18$ की गणना मानसिक रूप से करें।

उत्तर:

1. इसे सामान्य मानसिक गणित से हल करना कठिन है। आइए, इस समस्या को आसान बनाने के लिए अपने आनुपातिक संतुलन नियमों को लागू करें: पहले गुणनखंड को दोगुना करें: $45 \times 2 = 90$ दूसरे गुणनखंड को आधा करें: $18 \div 2 = 9$

2. अब, हमारे संतुलित अंकों के साथ गुणन को फिर से लिखें: $90 \times 9$

3. इसे हल करना आसान है: $9 \times 9 = 81 \rightarrow$ शून्य जोड़कर $810$ प्राप्त करें।

$$\text{अंतिम संतुलित गुणनफल} = \mathbf{810}$$

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: स्लाइडिंग विंडो Muगुणन विधि ($×11, ×111, ×1111)

इन प्रश्नों को एक ही पंक्ति में हल करें, बीच की पंक्तियों को न लिखें।

A1. $35 × 11$ A2. $62 × 11$ A3. $84 × 11$ A4. $123 × 11$ A5. $472 × 11$ A6. $918 × 11$ A7. $2,341 × 11$ A8. $7,183 × 11$ A9. $58,214 × 11$ A10. $123 × 111$ A11. $234 × 111$ A12. $503 × 111$ A13. $1,234 × 111$ A14. $2,103 × 1111$ A15. $11,111 × 11$

अभ्यास सेट B: गुणक सीमा नियम (12 × 19)

इन गुणनों को ज्ञात करने के लिए संशोधित पड़ोसी-जोड़ नियम लागू करें।

B1. $23 × 12$ B2. $41 × 12$ B3. $134 × 12$ B4. $612 × 12$ B5. $31 × 13$ B6. $122 × 13$ B7. $213 × 14$ B8. $402 × 15$ B9. $112 × 17$ B10. $203 × 19$

अभ्यास सेट C: सूत्र 14 गुणन नियम (× 9, × 99, × 999)

बाएँ/दाएँ विभाजन और पूरक का उपयोग करके इन समीकरणों को तुरंत हल करें।

C1. 8 × 9$ C2. 43 × 99$ C3. 68 × 99$ C4. 93 × 99$ C5. 254 × 999$ C6. 716 × 999$ C7. 8,124 × 9,999$ C8. 6 × 99$ (संकेत: एक अग्रणी शून्य जोड़ें → 06 × 99) 99$) C9. $37 × 999$ C10. $842 × 9,999$

अभ्यास सेट D: आधार रूपांतरण और आधा करने की विधियाँ ($×5, × 25, × 125$)

आधार-आधारित भाग के इन रूपांतरणों को हल करने के लिए आधा करने की तकनीकों का उपयोग करें।

D1. $482 × 5$ D2. $1,264 × 5$ D3. $8,312 × 5$ D4. $64 × 25$ D5. $128 × 25$ D6. $432 × 25$ D7. $1,248 × 25$ D8. $16 × 125$ D9. $72 × 125$ D10. $848 × 125$

अभ्यास सेट E: मानसिक गणित समानुपातिक रणनीति (दोगुना और आधा करना)

दोगुना और आधा करने की शॉर्टकट विधि का उपयोग करके इन व्यंजकों को मानसिक रूप से सरल कीजिए।

E1. $15 \times 14$ E2. $25 \times 18$ E3. $35 \times 12$ E4. $45 \times 16$ E5. $55 \times 20$ E6. $125 \times 24$ E7. $65 \times 8$ E8. $4.5 \times 12$ E9. $350 \times 14$ E10. $15 \times 28$

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर:

A1. $385$
A2. $682$
A3. $924$
A4. $1353$
A5. $5192$
A6. $10098$
A7. $25751$
A8. $79013$
A9. $640354$
A10. $13653$
A11. $25974$
A12. $55833$
A13. $136974$
A14. $2336433$
A15. $122221$

सेट B के उत्तर:

B1. $276$
B2. $492$
B3. $1608$
B4. $7344$
B5. $403$
B6. $1586$
B7. $2982$
B8. $6030$
B9. $1904$
B10. $3857$

सेट C के उत्तर:

C1. $72$
C2. $4257$
C3. $6732$
C4. $9207$
C5. $253746$
C6. $715284$
C7. $81231875$
C8. $594$ ($05 \mid 94$ से)
C9. $36963$ ($036 \mid 963$ से)
C10. $8419158$

सेट D के उत्तर:

D1. $2410$
D2. $6320$
D3. $41560$
D4. $1600$
D5. $3200$
D6. $10800$
D7. $31200$
D8. $2000$
D9. $9000$
D10. $106000$

सेट E के उत्तर:

E1. $210$ ($30 \times 7$ से प्राप्त)
E2. $450$ ($50 \times 9$ से प्राप्त)
E3. $420$ ($70 \times 6$ से प्राप्त)
E4. $720$ ($90 \times 8$ से प्राप्त)
E5. $1100$ ($110 \times 10$ से प्राप्त)
E6. $3000$ ($250 \times 12 \rightarrow 500 \times 6$ से प्राप्त)
E7. $520$
E8. $54$ ($9 \times 6$ से प्राप्त)
E9. $4900$ ($700 \times 7$ से प्राप्त)
E10. $420$ ($30 \times 14$ से प्राप्त)

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका और कक्षा गतिविधियाँ

कक्षा शिक्षण सिमुलेशन

गतिविधि 1: स्लाइडिंग विंडो रेस

उद्देश्य: $11$ और $111$ से एक-लाइन में गुणा करने में महारत हासिल करना। सेटअप: एक ट्रांसपेरेंसी शीट पर स्लाइडिंग विंडो को दिखाने वाला एक क्षैतिज बॉक्स बनाएँ, या अपने स्मार्टबोर्ड पर एक डिजिटल फ़्रेम का उपयोग करें। बोर्ड पर एक लंबी संख्या लिखें (जैसे, $23,415$)। निष्पादन: विंडो बॉक्स को संख्या के ऊपर चरण-दर-चरण स्लाइड करें। छात्रों को बॉक्स के अंदर दिखाई देने वाले अंकों का योग तुरंत बताना होगा। $\times 11$ के लिए 2-अंकों वाली विंडो से शुरू करें, फिर $\times 111$ के लिए इसे 3-अंकों वाली विंडो तक बढ़ाएँ।

गतिविधि 2: आनुपातिक संतुलन द्वंद्व

उद्देश्य: यह पहचानना सीखना कि कब 'दोगुना और आधा' (doubling and halving) करने वाले शॉर्टकट को लागू करना है। सेटअप: बोर्ड पर गुणा के जोड़ों की एक सूची लिखें, जैसे $45 \times 12$, $35 \times 16$, और $125 \times 16$। निष्पादन: कक्षा को दो टीमों में विभाजित करें। प्रत्येक टीम से एक छात्र 'दोगुना और आधा' करने के नियमों का उपयोग करके समस्या को उसके सरल रूप ($90 \times 6$, $70 \times 8$, $1000 \times 2$) में फिर से लिखने की दौड़ लगाता है। जो छात्र सरल की गई समस्या को सबसे पहले हल करता है, वह अपनी टीम के लिए एक अंक जीतता है।

नैदानिक त्रुटि सुधार मैट्रिक्स

त्वरित संदर्भ कार्ड

मॉड्यूल 3 सारांश चीट शीट (प्रिंट-अनुकूल)

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║          वैदिक विशेष गुणा चीट शीट          ║
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║ 11 से गुणा (सैंडविच नियम):                      ║
║ अपनी संख्या को दो शून्य के बीच रखें: 0 + अंक + 0.       ║
║ प्रत्येक अंक को उसके ठीक दाईं ओर वाले पड़ोसी अंक में जोड़ें। ║
║ उदाहरण: 53 × 11 -> 0 5 3 0 -> 3|8|5 -> 583                ║
╠═════════════════════════════════════════════╦══════════════╣
║ 12 - 19 से गुणा                   ║ सूत्र 14     ║
║ नियम: (सक्रिय अंक × N) + दायाँ पड़ोसी  ║ 9 की श्रृंखला से गुणा करें ║
║ जहाँ N, 1N पैमाने का इकाई अंक है। ║ बायाँ भाग:   ║
║ × 12 के लिए उदाहरण:                           ║ 1 घटाएँ   ║
║ सक्रिय अंक को दोगुना करें, उसमें उसका पड़ोसी अंक जोड़ें। ║ दायाँ भाग:  ║
║ × 13 के लिए उदाहरण:                           ║ सक्रिय अंक को तिगुना करें, उसमें उसका पड़ोसी अंक जोड़ें। ║ निखिलम गणना ║
╠═════════════════════════════════════════════╩══════════════╣
║ भिन्नात्मक आधार रूपांतरण की विधि:                      ║
║ 5 से गुणा करें   -> एक 0 जोड़ें, कुल को एक बार आधा करें। ║
║ 25 से गुणा करें  -> दो 0 जोड़ें, कुल को दो बार आधा करें। ║
║ 125 से गुणा करें -> तीन 0 जोड़ें, कुल को तीन बार आधा करें।║
╠════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ आनुपातिक संतुलन (दुगुना करना और आधा करना):               ║
║ यदि किसी संख्या के अंत में 5 आता है, तो उसे दुगुना करके एक 'स्वच्छ आधार' (clean base) बनाएँ। ║
║ समीकरण को संतुलित करने के लिए, दूसरी संख्या को आधा कर दें। ║
║ उदाहरण: 45 × 16  ==  90 × 8  =  560                       ║
╚════════════════════════════════════════════════════════════╝

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