🕉️ वैदिक गणित — स्तर 1: आधार (Foundation)

मॉड्यूल 4: निखिलम विधि — आधार के निकट गुणन

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"निखिलम एक प्रवेश द्वार सूत्र है। इस पर महारत हासिल कर लें, और आप फिर कभी गुणन को पहले जैसी नज़र से नहीं देखेंगे।" — वैदिक गणित शिक्षक नियमावली (Teacher's Manual)

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र ये कर पाएँगे:

1. सूत्र 2 और उप-सूत्र 6 को उनके अंग्रेज़ी अर्थों के साथ बता पाएँगे।
2. Base 10 के आस-पास की किन्हीं भी दो संख्याओं को 3 सेकंड से भी कम समय में मन ही मन गुणा कर पाएँगे।
3. Base 100 के आस-पास की किन्हीं भी दो संख्याओं को 5 सेकंड से भी कम समय में मन ही मन गुणा कर पाएँगे।
4. Base 1000 के आस-पास की किन्हीं भी दो संख्याओं को 10 सेकंड से भी कम समय में मन ही मन गुणा कर पाएँगे।
5. Base से नीचे (both-below-base) वाले दोनों मामलों के लिए क्रॉस-घटाव (cross-subtraction) का सही ढंग से इस्तेमाल कर पाएँगे।
6. Base से ऊपर (both-above-base) वाले दोनों मामलों के लिए क्रॉस-जोड़ (cross-addition) का सही ढंग से इस्तेमाल कर पाएँगे।
7. मिश्रित मामलों (एक Base से नीचे, एक Base से ऊपर) को चिह्नों (signs) का ध्यान रखते हुए हल कर पाएँगे।
8. Sub-bases (20, 30, 50, 200, 500) को पहचान पाएँगे और उनका सही विभाजन के साथ इस्तेमाल कर पाएँगे।
9. Base के आधार पर, दाईं ओर के हिस्से (right part) के लिए अंकों की सही संख्या तय कर पाएँगे।
10. Complement check का इस्तेमाल करके गुणा के परिणामों की जाँच कर पाएँगे।

भाग 1: सिद्धांत

1.1 — सूत्र 2: निखिलं नवतश्चरमं दशतः

सूत्र और उसका अर्थ

इस सूत्र का क्या अर्थ है?

मॉड्यूल 1 में, हमने इस सूत्र का इस्तेमाल 10 की घातों (powers of 10) से घटाव करने के लिए किया था। अब हम इसका इस्तेमाल गुणा करने के लिए करेंगे — और यहीं पर इसकी असली ताकत सामने आती है।

इस सूत्र की दो व्याख्याएँ हैं:

जब दो संख्याएँ एक ही आधार (Base) के करीब हों (जैसे 100), तो उन्हें सीधे गुणा करने के बजाय, हम ये करते हैं:

1. पता लगाते हैं कि प्रत्येक संख्या आधार से कितनी दूर है (कमी या अधिकता)
2. एक सरल क्रॉस-ऑपरेशन (तिर्यक संक्रिया) करते हैं
3. कमियों/अधिकताओं को आपस में गुणा करते हैं
4. परिणामों को मिला देते हैं

परिणाम: एक जटिल गुणा दो सरल संक्रियाओं में बदल जाता है।

1.2 — उप-सूत्र 6: यावदूनं तावदूनम्

इस उप-सूत्र का क्या अर्थ है?

यह उप-सूत्र निखिलम गुणा के लिए परिचालन निर्देश है। यह हमें बताता है:

"संख्या की आधार से कमी (deficiency) लें, और दूसरी संख्या को उसी कमी के बराबर कम कर दें।"

उदाहरण: 97 × 96 के लिए (आधार 100 के साथ):

• 97 की कमी = 3
• 96 की कमी = 4
• यावदूनं तावदूनम् का पालन करते हुए: 97 को 4 से कम करें → 93 (या 96 को 3 से कम करें → 93)

इससे हमें उत्तर का बायाँ भाग प्राप्त होता है।

1.3 — बीजगणितीय प्रमाण (यह विधि काम क्यों करती है)

दोनों संख्याएँ आधार से कम होने पर

मान लीजिए आधार (Base) = $B$ है (जहाँ $B = 10^n$ है, जैसे 10, 100, 1000)

मान लीजिए दो संख्याएँ $(B - a)$ और $(B - b)$ हैं, जहाँ $a$ और $b$ आधार $B$ से उनकी कमियाँ (deficiencies) हैं। गुणा: $$(B - a)(B - b) = B^2 - B(a + b) + ab$$

पुनर्व्यवस्थित करने पर: $$= B(B - a - b) + ab$$

लेकिन $(B - a - b) = (B - a) - b =$ पहली संख्या - दूसरी संख्या की कमी

तो:

• बायाँ भाग = $B - a - b$ (या सीधे $\text{संख्या}_1 - b$)
• दायाँ भाग = $a \times b$

अंतिम उत्तर: बायाँ भाग × B + दायाँ भाग

दोनों संख्याएँ आधार से अधिक होने पर

मान लीजिए दो संख्याएँ $(B + a)$ और $(B + b)$ हैं, जहाँ $a$ और $b$ उनकी अधिकताएँ हैं।

$$(B + a)(B + b) = B^2 + B(a + b) + ab$$ $$= B(B + a + b) + ab$$

• बायाँ भाग = $B + a + b$ (या सीधे $\text{संख्या}_1 + b$)
• दायाँ भाग = $a \times b$

मिश्रित स्थिति (एक आधार से कम, एक आधार से अधिक)

मान लीजिए संख्याएँ $(B - a)$ और $(B + b)$ हैं:

$$(B - a)(B + b) = B^2 + B(b - a) - ab$$ $$= B(B + b - a) - ab$$

• बायाँ भाग = $B + b - a$ (या $\text{संख्या}_1 + b$ अथवा $\text{संख्या}_2 - a$)
• दायाँ भाग = $-(a \times b)$ → इसका अर्थ है कि हम बाएँ भाग से $ab$ घटाते हैं।

यही कारण है कि मिश्रित स्थितियों के लिए विशेष प्रक्रिया की आवश्यकता होती है (अनुभाग 1.8 देखें)।

1.4 — 3-चरण वाली निखिलम विधि

चरण-दर-चरण प्रक्रिया (दोनों संख्याएँ आधार से कम होने पर)

महत्वपूर्ण: दाएँ भाग के अंकों का नियम

नियम: दाएँ भाग में हमेशा उतने ही अंक होने चाहिए जितने आधार में शून्य होते हैं। यदि $d_1 \times d_2$ में अंकों की संख्या कम है, तो आगे (शुरू में) शून्य लगाकर उन्हें पूरा करें।

उदाहरण: 98 × 97 (आधार 100)

• कमियाँ: 2, 3
• बायाँ भाग: 98 − 3 = 95
• दायाँ भाग: 2 × 3 = 06 (6 नहीं!) → 95|06 = 9506 ✓

1.5 — स्थिति 1: आधार 10 गुणा

आधार 10 का उपयोग 6 से 14 तक की संख्याओं (जो 10 के करीब होती हैं) के लिए किया जाता है। ### उदाहरण

उदाहरण 1: 8 × 7 (आधार 10)

जाँच: 8 × 7 = 56 ✓

उदाहरण 2: 9 × 8 (आधार 10)

उदाहरण 3: 12 × 13 (दोनों आधार 10 से अधिक)

जब दोनों संख्याएँ आधार से अधिक होती हैं, तो हम क्रॉस-घटाव के बजाय क्रॉस-जोड़ का उपयोग करते हैं।

जाँच: 12 × 13 = 156 ✓

उदाहरण 4: 11 × 14 (आधार 10)

Base 10 त्वरित संदर्भ

1.6 — स्थिति 2: Base 100 गुणन

निखिलम गुणन में Base 100 सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला आधार है। 85 से 115 तक की संख्याएँ इसके लिए अच्छी तरह काम करती हैं।

उदाहरण 1: दोनों आधार से कम — 96 × 94

जाँच: 96 × 94 = (100−4)(100−6) = 10000 − 1000 + 24 = 9024 ✓

उदाहरण 2: दोनों आधार से कम — 98 × 97

उदाहरण 3: दोनों आधार से ऊपर — 103 × 104

जाँच: 103 × 104 = 10712 ✓

उदाहरण 4: दोनों आधार से ऊपर — 108 × 109

उदाहरण 5: दोनों आधार से नीचे — 92 × 91

उदाहरण 6: दोनों आधार से नीचे — 88 × 85

जाँच: 88 × 85 = 7480 ✓

आधार 100 नियमों का सारांश

1.7 — स्थिति 3: आधार 1000 गुणा

वही सिद्धांत लागू होते हैं। दाएँ हिस्से में 3 अंक होने चाहिए।

उदाहरण 1: 998 × 997 (दोनों नीचे)

उदाहरण 2: 1004 × 1003 (दोनों आधार से अधिक)

उदाहरण 3: 992 × 989 (दोनों आधार से कम, ओवरफ़्लो के साथ)

उदाहरण 4: 985 × 978 (ओवरफ़्लो का मामला)

जाँच: आइए इसे वेरिफ़ाई करें: 985 × 978 = (1000−15)(1000−22) = 1,000,000 − 37,000 + 330 = 963,330 ✓

1.8 — केस 4: मिश्रित केस (एक बेस से नीचे, एक बेस से ऊपर)

यह सबसे मुश्किल केस है। जब एक संख्या बेस से नीचे होती है और दूसरी बेस से ऊपर, तो उनकी कमी/बढ़त के चिह्न विपरीत होते हैं।

फ़ॉर्मूला

संख्याओं $(B - a)$ और $(B + b)$ के लिए:

$$(B - a)(B + b) = B(B + b - a) - ab$$

इसका मतलब है:

• बायाँ हिस्सा = $N_1 + b$ (या $N_2 - a$)
• फिर बाएँ हिस्से से $a \times b$ घटाएँ
• दाएँ हिस्से का मान ऋणात्मक होता है, इसलिए हम इसे उधार लेकर हल करते हैं

चरण-दर-चरण विधि

बेहतर तरीका:

चरण 1: आधार (Base) ज्ञात करें और दोनों संख्याओं को विचलन (deviations) के रूप में लिखें: $N_1 = B - d$, $N_2 = B + s$

चरण 2: आधार उत्तर ज्ञात करें = $\text{बायाँ} = N_1 + s$ (या $N_2 - d$)

चरण 3: गुणनफल ज्ञात करें = $d \times s$

चरण 4: वास्तविक उत्तर = $\text{बायाँ} \times B - \text{गुणनफल}$

लेकिन क्योंकि हम उत्तर को 'बायाँ | दायाँ' (Left | Right) के रूप में लिखते हैं, इसलिए हमें दाएँ भाग में घटाव (subtraction) को संभालना होगा।

व्यावहारिक तरीका:

जाँच: 97 × 103 = 97 × 100 + 97 × 3 = 9700 + 291 = 9991 ✓

मिश्रित स्थिति के कुछ और उदाहरण

उदाहरण 2: 96 × 105 (आधार 100)

सही तरीका:

व्यवस्थित मिश्रित स्थिति सूत्र:

मान लीजिए $L = N_1 + s$ (या $N_2 - d$) मान लीजिए $P = d \times s$

तो उत्तर = $(L - 1) \mid (B - P)$ जब $P > 0$

वास्तव में, स्पष्ट सूत्र यह है:

$(B - d) \times (B + s)$ के लिए:

उत्तर = $(N_1 + s - 1) \mid (B - (d \times s))$ जब $d \times s < B$

चलिए 96 × 105 से इसकी जाँच करते हैं:

उदाहरण 3: 92 × 108 (आधार 100)

जाँच: 92 × 108 = (100−8)(100+8) = 10000 − 64 = 9936 ✓ ✓ ✓ (यह $(B-d)(B+d) = B^2 - d^2$ है!)

मिश्रित स्थिति का शॉर्टकट

जब संख्याएँ आधार से समान दूरी पर होती हैं ($d = s$), तो यह वर्गों के अंतर का सूत्र बन जाता है:

$$(B-d)(B+d) = B^2 - d^2$$

उदाहरण: 97 × 103 = 10000 − 9 = 9991 ✓

1.9 — स्थिति 5: उप-आधार गुणन

कभी-कभी संख्याएँ 10, 100, या 1000 के करीब नहीं होतीं, बल्कि किसी उप-आधार (sub-base) जैसे 20, 30, 50, 200, 500, आदि के करीब होती हैं।

उप-आधार क्या है?

एक उप-आधार वह संख्या है जो किसी मुख्य आधार (10, 100, 1000) का गुणनखंड या गुणज होती है।

सब-बेस विधि (दो-चरण)

चरण 1: सब-बेस को वर्किंग बेस (कार्यकारी आधार) मानें और उससे कमी/बढ़ोतरी का पता लगाएँ।

चरण 2: बायाँ भाग ज्ञात करने के बाद, उसे सब-बेस फैक्टर (गुणक) से विभाजित करें (सब-बेस और मुख्य बेस 10/100/1000 के बीच का अनुपात)।

उदाहरण 1: बेस 50 (100 का सब-बेस, फैक्टर = 2)

समस्या: 48 × 47

सही सब-बेस प्रक्रिया:

सही उप-आधार सूत्र:

मान लीजिए $B$ = मुख्य आधार (100), $S$ = उप-आधार (50), $F = B/S = 2$

संख्याओं $N_1 = S - d$, $N_2 = S - e$ के लिए:

$$N_1 \times N_2 = \left( \frac{(S - d - e)}{F} \right) \times B + (d \times e)$$

लेकिन इससे भी सरल तरीका: उप-आधार के साथ गणना करें, फिर समायोजित करें।

व्यावहारिक विधि:

$S$ (सब-बेस) के आस-पास गुणा करने के लिए, जहाँ $S = B/k$ (B मुख्य बेस 100 है, k कोई फैक्टर जैसे 2, 4, 5 है):

1. मान लीजिए $d_1 = S - N_1$, $d_2 = S - N_2$ (सब-बेस से ऊपर होने पर यह ऋणात्मक भी हो सकता है)
2. बायाँ भाग (कच्चा) = $N_1 - d_2$ (या $N_2 - d_1$)
3. अंतिम उत्तर के लिए बायाँ भाग = $\lfloor \frac{\text{बायाँ(कच्चा)}}{k} \rfloor$
4. दायाँ भाग = $d_1 \times d_2 + (\text{भाग देने से बचा शेषफल} \times B)$
5. दाएँ भाग में $n$ अंक होने चाहिए, जहाँ $B = 10^n$

आइए, मैं एक स्पष्ट उदाहरण से इसे समझाता हूँ:

उदाहरण 1 (स्पष्ट): 48 × 47, सब-बेस 50 और फैक्टर 2 के साथ

रुकिए — इससे 2306 आता है, लेकिन हम जानते हैं कि 48 × 47 = 2256 होता है! कुछ तो गड़बड़ है।

आइए, मैं इसे सच्ची और परखी हुई वैदिक उप-आधार विधि से ठीक करता हूँ:

सही उप-आधार विधि (प्रामाणिक वैदिक ग्रंथों से)

उन संख्याओं के लिए जो किसी उप-आधार $S$ के करीब हों, जहाँ $S = B/k$ हो:

दरअसल, सबसे आसान तरीका यह है: इसे कार्यकारी आधार = S में बदलें, फिर सूत्र लागू करें, और अंत में उचित रूप से k से गुणा करें।

बेहतर तरीका — अनुरूप्येण (उप-सूत्र 1) का उपयोग करें:

विधि: $S$ को आधार मानें और कमी (deficiencies) ज्ञात करें। फिर:

• बायाँ भाग = $(N_1 - d_2) \div k$ (या k से गुणा करें — आइए, मैं इसे व्युत्पन्न करके दिखाता हूँ)

आइए, मैं आपको सीधे सिद्ध और कारगर विधि ही बता देता हूँ:

48 × 47 के लिए, उप-आधार 50 के साथ (यहाँ k=2 है, क्योंकि 100/50=2):

यह तरीका काम करता है!

एक और उदाहरण: 52 × 49 (उप-आधार 50)

शुरुआती लोगों के लिए आसान उप-आधार विधि

उन संख्याओं के लिए जो किसी उप-आधार से दोनों ही नीचे हैं, और वह उप-आधार 10 का गुणज (20, 30, 40, 50, 60, आदि) है:

नियम: उप-आधार का उपयोग करके सामान्य रूप से गुणा करें (जैसे कि वह आधार 10 हो), और फिर अंत में परिणाम को उस गुणक (factor) से गुणा करें? नहीं — ऐसा करना गलत होगा।

Sआसान तरीका: बस दशमलव को खिसकाकर या स्केल करके Base 100 तरीके का इस्तेमाल करें।

असल में, ज़्यादातर प्रैक्टिकल सवालों के लिए, इस तरीके का इस्तेमाल करें:

48 × 47 के लिए:

• 48 × 47 = (50−2)(50−3) = 2500 − 250 + 6 = 2256

तो हम बस मन ही मन बीजगणित का इस्तेमाल कर सकते हैं। लेकिन वैदिक गति पाने के लिए, आधा करने के तरीके का अभ्यास करें।

48 × 47 के लिए (सही आधा करने का तरीका इस्तेमाल करके):

मुझे एहसास है कि असली तरीके में ज़्यादा सावधानी से काम करने की ज़रूरत होती है। इस बुनियादी मॉड्यूल के मकसद के लिए, हम मुख्य बेस (10, 100, 1000) पर ध्यान देंगे और सब-बेस को आसान तरीके से समझेंगे:

आसान सब-बेस तरीका (मॉड्यूल 4 के लिए प्रैक्टिकल):

जब संख्याएँ 50 जैसे किसी सब-बेस के करीब हों, तो संख्याओं को दोगुना करके, गुणा करके, और आखिर में 4 से भाग देकर सवाल को बेस 100 में बदल लें। उदाहरण: 48 × 47

• हर संख्या को दोगुना करें: 96 × 94
• Base 100 के साथ 96 × 94 = 9024
• 4 से भाग दें: 9024 ÷ 4 = 2256 ✓

शुरुआत करने वालों के लिए यह तरीका बहुत आसान है!

दोगुना/आधा करने की विधि द्वारा Sub-Base Method (सुझाई गई)

उदाहरण 2: 23 × 22 (Base 25 के करीब, 25×4=100)

उदाहरण 3: 53 × 52 (Base 50 के करीब)

उदाहरण 4: 197 × 193 (आधार 200 के करीब, आधार 100 तक आधा करें)

आधार 200 के लिए: गुणक = 2 ​​(क्योंकि 200 = 2×100) विधि: 200 से विचलन ज्ञात करें, फिर बाएँ भाग को 2 से भाग दें।

197 × 193:

• विचलन: 200−197=3, 200−193=7
• बायाँ (कच्चा) = 197 − 7 = 190
• बायाँ (अंतिम) = 190 ÷ 2 = 95
• दायाँ = 3 × 7 = 21
• उत्तर = 95 | 21 = 9521 ✓

जाँच: 197×193 = (200−3)(200−7) = 40000 − 2000 + 21 = 38021? रुकिए, यह गलत है! मैं फिर से गणना करता हूँ।

$(200-3)(200-7) = 40000 - 2000 + 21 = 38021$, न कि 9521। तो 2 से मेरा भाग देना गलत था।

सही आधार 200 विधि: जब आधार 200 हो (जो कि 2×100 है), तो बाएँ भाग को 2 से गुणा किया जाना चाहिए, न कि भाग। मुझे इसे ठीक करने दें:

बेस $B = k \times 100$ के लिए (k=2, 200 के लिए; 3, 300 के लिए; आदि):

$$(k \times 100 - a)(k \times 100 - b) = k \times 100 \times (k \times 100 - a - b) + ab$$ $$= 100 \times [k(k \times 100 - a - b)] + ab$$

तो बायाँ हिस्सा = $k \times (k \times 100 - a - b)$

197 × 193 के लिए, k=2, a=3, b=7: बायाँ = $2 \times (200 - 3 - 7) = 2 \times 190 = 380$ दायाँ = 3 × 7 = 21 उत्तर = 380 | 21 = 38021 ✓

हाँ! यह सही है।

सब-बेस फ़ॉर्मूला का सारांश

बेस से ज़्यादा वाले मामलों के लिए, घटाने के बजाय जोड़ें।

इस मॉड्यूल के लिए, हम बेस 10, 100, 1000 पर ध्यान केंद्रित करेंगे और दोगुना/आधा करने की विधि के माध्यम से सब-बेस 200 और 50 का परिचय देंगे।

1.10 — सही बेस चुनना

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: आधार 10 गुणा

उदाहरण 1

प्रश्न: आधार 10 वाली निखिलम विधि का उपयोग करके 9 × 8 का गुणा करें।

उत्तर:

उदाहरण 2

प्रश्न: निखिलम विधि का उपयोग करके 12 × 13 का गुणा करें (दोनों आधार से ऊपर)।

उत्तर:

उदाहरण 3

प्रश्न: निखिलम विधि का उपयोग करके 6 × 7 का गुणा करें।

उत्तर:

अनुभाग B: आधार 100 गुणा

उदाहरण 4

प्रश्न: निखिलम विधि का उपयोग करके 95 × 93 की गुणा करें।

उत्तर:

उदाहरण 5

प्रश्न: निखिलम विधि का उपयोग करके 88 × 86 की गुणा करें (अधिशेष स्थिति)।

उत्तर:

जाँच: 88 × 86 = 7568 ✓

उदाहरण 6

प्रश्न: 106 × 108 की गुणा करें (दोनों आधार से अधिक)।

उत्तर:

उदाहरण 7

प्रश्न: 112 × 109 की गुणा करें (दोनों आधार से अधिक)।

उत्तर:

खंड C: आधार 1000 गुणा

उदाहरण 8

प्रश्न: निखिलम विधि का उपयोग करके 994 × 992 का गुणा करें।

उत्तर:

उदाहरण 9

प्रश्न: 1007 × 1004 का गुणा करें (दोनों आधार से अधिक)।

उत्तर:

उदाहरण 10

प्रश्न: 995 × 988 का गुणा करें (ओवरफ़्लो स्थिति)।

उत्तर:

खंड D: मिश्रित स्थितियाँ (एक ऊपर, एक नीचे)

उदाहरण 11

प्रश्न: 96 × 105 का गुणा करें (मिश्रित स्थिति, आधार 100)।

उत्तर:

जाँच: 96 × 105 = 10080 ✓

उदाहरण 12

प्रश्न: 97 × 104 का गुणा करें (मिश्रित स्थिति)।

उत्तर:

उदाहरण 13

प्रश्न: 92 × 108 का गुणा करें (मिश्रित स्थिति, समदूरस्थ)।

उत्तर:

यह $100^2 - 8^2 = 10000 - 64 = 9936$ है ✓

अनुभाग E: उप-आधार गुणन

उदाहरण 14

प्रश्न: दोहरीकरण विधि का उपयोग करके 48 × 47 का गुणा करें (उप-आधार 50)।

उत्तर:

उदाहरण 15

प्रश्न: ×4 विधि (उप-आधार 25) का उपयोग करके 23 × 22 को गुणा करें।

उत्तर:

उदाहरण 16

प्रश्न: 197 × 193 को गुणा करें (आधार 200, k=2)।

उत्तर:

उदाहरण 17

प्रश्न: उप-आधार 30 विधि (आधार 30, आधार 100 में समायोजित करें?) का उपयोग करके 29 × 28 को गुणा करें।

उत्तर: सीधे आधार 30 का उपयोग करना अधिक सरल है:

दरअसल, आधार 30 के लिए, हम Left|Right नोटेशन का सीधे इस्तेमाल नहीं कर सकते। बीजगणितीय विधि का उपयोग करें:

$29 × 28 = (30−1)(30−2) = 900 − 90 + 2 = 812$

तो उत्तर = 812

वैदिक गति के लिए, × विधि के माध्यम से आधार 100 का उपयोग करें या बस ऊर्ध्व-तिर्यक (मॉड्यूल 5) का उपयोग करें। मॉड्यूल 4 के लिए, हम उन आधारों पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो 10 की घात होते हैं।

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: आधार 10 गुणा (15 प्रश्न)

आधार 10 के साथ निखिलम विधि का उपयोग करें। बाएँ और दाएँ दोनों भागों के चरण लिखें।

A1. 7 × 8 A2. 9 × 6 A3. 8 × 9 A4. 7 × 9 A5. 6 × 6 A6. 11 × 12 (दोनों ऊपर) A7. 12 × 14 (दोनों ऊपर) A8. 13 × 11 (दोनों ऊपर) A9. 14 × 13 (दोनों ऊपर) A10. 6 × 14 (मिश्रित — उधार लेने की विधि का उपयोग करें) A11. 7 × 13 (मिश्रित) A12. 8 × 12 (मिश्रित) A13. 9 × 11 (मिश्रित) A14. 5 × 15 (मिश्रित — सावधान रहें!) A15. 4 × 16 (मिश्रित)

अभ्यास सेट B: आधार 100 गुणा (20 प्रश्न)

B1. 98 × 97 B2.99 × 95 B3. 96 × 94 B4. 97 × 92 B5. 95 × 94 B6. 93 × 91 B7. 88 × 87 (ओवरफ़्लो की उम्मीद) B8. 89 × 85 (ओवरफ़्लो) B9. 86 × 84 (ओवरफ़्लो) B10. 92 × 89 B11. 102 × 105 (दोनों ऊपर) B12. 104 × 107 (दोनों ऊपर) B13. 108 × 103 (दोनों ऊपर) B14. 109 × 106 (दोनों ऊपर) B15. 112 × 108 (दोनों ऊपर, ओवरफ़्लो) B16. 115 × 112 (दोनों ऊपर, ओवरफ़्लो) B17. 95 × 106 (मिश्रित) B18. 92 × 109 (मिश्रित) B19. 88 × 115 (मिश्रित) B20. 93 × 108 (मिश्रित, समान दूरी पर)

अभ्यास सेट C: आधार 1000 गुणा (15 प्रश्न)

C1. 998 × 997 C2. 999 × 995 C3. 996 × 994 C4. 995 × 992 C5. 997 × 993 C6. 989 × 988 (ओवरफ़्लो) C7. 985 × 982 (ओवरफ़्लो) C8. 992 × 991 C9. 1004 × 1006 (दोनों ऊपर) C10. 1008 × 1005 (दोनों ऊपर) C11. 1012 × 1009 (दोनों ऊपर, ओवरफ़्लो) C12. 1005 × 1010 (दोनों ऊपर) C13. 995 × 1006 (मिश्रित) C14. 992 × 1011 (मिश्रित) C15. 998 × 1004 (मिश्रित, समान दूरी पर)

अभ्यास सेट D: मिश्रित स्थितियाँ — एक ऊपर, एक नीचे (10 प्रश्न)

D1. 96 × 104 D2. 95 × 106 D3. 97 × 105 D4. 94 × 107 D5. 93 × 109 D6. 92 × 108 D7. 91 × 110 D8. 89 × 112 D9. 88 × 115 D10. 85 × 118

अभ्यास सेट E: उप-आधार गुणन (10 प्रश्न)

दुगुना/आधा करने या स्केलिंग विधि का उपयोग करें।

E1. 48 × 46 (उप-आधार 50) E2. 49 × 47 (उप-आधार 50) E3. 52 × 51 (उप-आधार 50, दोनों ऊपर) E4. 53 × 49 (50 के निकट मिश्रित) E5. 24 × 23 (उप-आधार 25) E6. 26 × 24 (उप-आधार 25) E7. 197 × 195 (आधार 200) E8. 203 × 202 (आधार 200, दोनों ऊपर) E9. 198 × 196 (आधार 200) E10. 21 × 19 (उप-आधार 20)

अभ्यास सेट F: दाएँ भाग के अंकों का अभ्यास (10 प्रश्न)

प्रत्येक के लिए, गुणा करने के बाद दाएँ भाग के सही अंकों का पता लगाएँ, जिसमें शुरू के शून्य भी शामिल हों।

F1. आधार 100, कमियों का गुणनफल = 7 F2. आधार 100, गुणनफल = 12 F3. आधार 100, गुणनफल = 3 F4. आधार 100, गुणनफल = 45 F5. आधार 1000, गुणनफल = 8 F6. आधार 1000, गुणनफल = 56 F7. आधार 1000, गुणनफल = 120 F8. आधार 10, गुणनफल = 12 (आप क्या करेंगे?) F9. आधार 100, गुणनफल = 100 F10. आधार 1000, गुणनफल = 999

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर:

A1. 56
A2. 54
A3. 72
A4. 63
A5. 36
A6. 132
A7. 168
A8. 143
A9. 182
A10. 84
A11. 91
A12. 96
A13. 99
A14. 75
A15. 64

सेट B के उत्तर:

B1. 9506
B2. 9405
B3. 9024
B4. 8924
B5. 8930
B6. 8463
B7. 7656
B8. 7565
B9. 7224
B10. 8188
B11. 10710
B12. 11128
B13. 11124
B14. 11554
B15. 12096
B16. 12880
B17. 10070
B18. 10028
B19. 10120
B20. 10044

सेट C के उत्तर:

C1. 995006
C2. 994005
C3. 990024
C4. 987040
C5. 990021
C6. 977132
C7. 966870
C8. 984072
C9. 1010024
C10. 1013040
C11. 1021108
C12. 1015050
C13. 1000970
C14. 1002912
C15. 1001992

सेट D के उत्तर:

D1. 9984
D2. 10070
D3. 10185
D4. 10058
D5. 10137
D6. 9936
D7. 10010
D8. 9968
D9. 10120
D10. 10030

सेट E के उत्तर:

E1. 2208
E2. 2303
E3. 2652
E4. 2597
E5. 552
E6. 624
E7. 38415
E8. 41006
E9. 38808
E10. 399

सेट F के उत्तर:

F1. 07
F2. 12
F3. 03
F4. 45
F5. 008
F6. 056
F7. 120
F8. 12 → 1 को बाईं ओर ले जाएं, 2 को वहीं रखें
F9. 00 1 को बाईं ओर ले जाएं
F10. 999

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका और मूल्यांकन रूब्रिक

कक्षा गतिविधियाँ

गतिविधि 1: निखिलम दौड़ (जोड़ियों में)

उद्देश्य: आधार 100 गुणन के लिए गति का अभ्यास सामग्री: समस्याओं वाले 20 फ्लैश कार्ड (88×86, 97×96, आदि) नियम: जोड़ियाँ समस्याओं को हल करने के लिए दौड़ लगाती हैं। पहला सही उत्तर देने वाली जोड़ी को एक अंक मिलता है। अवधि: 15 मिनट

गतिविधि 2: दायाँ हिस्सा बिंगो

उद्देश्य: अग्रणी शून्य (leading zeros) और अंकों के नियमों में महारत हासिल करना प्रक्रिया: शिक्षक (आधार, गुणनफल) को बोलकर बताते हैं। छात्र बिंगो कार्ड को सही 'दाएँ भाग' के फ़ॉर्मेट से भरते हैं (जैसे, "आधार 100, गुणनफल=7" → "07") अवधि: 10 मिनट

गतिविधि 3: मिश्रित केस चुनौती उद्देश्य: 'एक ऊपर-एक नीचे' वाले मामलों को हल करना सामग्री: 10 मिश्रित सवालों वाली एक वर्कशीट अवधि: 15 मिनट

गतिविधि 4: उप-आधार जासूस उद्देश्य: दी गई संख्याओं के लिए सबसे उपयुक्त उप-आधार पहचानना प्रक्रिया: 48×47, 23×22, 197×195 जैसी संख्याएँ दें। छात्र सबसे उपयुक्त तरीका चुनते हैं। अवधि: 10 मिनट

ग्रेडिंग रूब्रिक

ग्रेड पैमाना:

• 135–150: उत्कृष्ट (A+)
• 120–134: बहुत बढ़िया (A)
• 105–119: बहुत अच्छा (B+)
• 90–104: अच्छा (B)
• 75–89: संतोषजनक (C)
• 75 से कम: सुधार की आवश्यकता है

टिप्पणियाँगलतियाँ और उन्हें कैसे सुधारें

QUICK REFERENCE CARD

Module 4 Summary Sheet (Print-Friendly)

╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║              NIKHILAM METHOD — CHEAT SHEET (Module 4)                 ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ SUTRA 2: Nikhilam Navatashcaramam Dashatah                            ║
║          "सभी 9 में से और आखिरी 10 में से"                            ║
║ SUB-SUTRA 6: Yavadunam Tavadunam — "जितनी कमी हो,                     ║
║              उसे और कम कर दें"                                       ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║                                                                       ║
║  दोनों Base से नीचे (B - a)(B - b):                                   ║
║  ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐          ║
║  │ बायाँ = N₁ - d₂    │    दायाँ = d₁ × d₂ (ज़ीरो लगाकर पूरा करें) │          ║
║  └─────────────────────────────────────────────────────────┘          ║
║  उदाहरण: 97×96 (B=100, d₁=3, d₂=4) → 97-4=93 | 12 = 9312            ║
║                                                                       ║
║  दोनों आधार से ऊपर (B + a)(B + b):                                      ║
║  ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐          ║
║  │ बायाँ = N₁ + s₂    │    दायाँ = s₁ × s₂ (शून्य लगाकर पूरा करें) │          ║
║  └─────────────────────────────────────────────────────────┘          ║
║  उदाहरण: 103×104 (B=100, s₁=3, s₂=4) → 103+4=107 | 12 = 10712       ║
║                                                                       ║
║  मिश्रित स्थिति (B - d)(B + s):                                          ║
║  ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐          ║
║  │ बायाँ = N₁ + s - 1    │    दायाँ = 100 - (d × s)          │          ║
║  └─────────────────────────────────────────────────────────┘          ║
║  उदाहरण: 96×105 → d=4, s=5 → 96+5-1=100 | 100-20=80 → 10080         ║
║                                                                       ║
║  दाएँ भाग के अंक:                                                  ║
║  आधार 10 → 1 अंक    आधार 100 → 2 अंक    आधार 1000 → 3 अंक    ║
║                                                                       ║
║  उप-आधार की युक्तियाँ:                                                    ║
║  48×47 → दुगुना → 96×94 → 9024 ÷ 4 = 2256                            ║
║  23×22 → ×4 → 92×88 → 8096 ÷ 16 = 506                                ║
║  197×193 → आधार 200 → k=2 → बायाँ भाग = 2×(200-3-7)=380 → 38021             ║
║                                                                       ║
║  अतिप्रवाह (Overflow): सबसे दाएँ वाले n अंकों को रखें, बाकी को बाएँ ले जाएँ               ║
║                                                                       ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

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