🕉️ वैदिक गणित — स्तर 1: आधार

मॉड्यूल 7: वर्ग और वर्गमूल — भाग 1

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"वैदिक प्रणाली में वर्ग निकालना, बार-बार कई पंक्तियों में गुणा करने की थकाऊ प्रक्रिया से बदलकर, एक ही पंक्ति में होने वाली ज्यामितीय रचना बन जाता है; इसमें संरचनात्मक कमियों और द्विक (duplex) संतुलनों का उपयोग किया जाता है।" — केनेथ विलियम्स, वैदिक गणित के लेखक और शोधकर्ता

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

उप-सूत्र 7: यावदूनिकृत्य वर्गं च योजयेत् (कमी को घटाएँ और कमी का वर्ग जोड़ें)

सूत्र 1: एकाधिकेन पूर्वेण (पहले वाले से एक अधिक द्वारा) | | अगला मॉड्यूल | मॉड्यूल 8: वर्ग और वर्गमूल — भाग 2 (सामान्य द्विक और पूर्ण वर्गमूल) |

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, विद्यार्थी निम्न कार्य करने में सक्षम होगा:

1. सूत्र 1 (एकाधिकेन पूर्वेण) का उपयोग करके, $5$ पर समाप्त होने वाली किसी भी बहु-अंकीय संख्या का वर्ग 2 सेकंड के भीतर निकालना।
2. सूत्र 10 (यावदूनम्) और उप-सूत्र 7 का उपयोग करके, संक्रियात्मक आधारों ($10, 100, 1000$) के निकट की संख्याओं के वर्ग की गणना मानसिक रूप से करना। 3. $40$–$49$ और $50$–$59$ की रेंज में किसी भी संख्या का वर्ग करने के लिए, एक निश्चित ऑपरेशनल मध्य-बिंदु आधार ($25$) का उपयोग करते हुए विशेष शॉर्टकट का इस्तेमाल करें।
3. एक-अंकीय और दो-अंकीय संख्याओं का डुप्लेक्स ($D$) एक बुनियादी गणितीय उपकरण के रूप में निकालें।
4. किसी भी दो-अंकीय संख्या का वर्ग एक ही लाइन में करने के लिए, सामान्य दो-अंकीय डुप्लेक्स विधि लागू करें।
5. वैदिक वर्ग करने के अंकगणितीय चरणों को बीजगणितीय विस्तार सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ से जोड़ें।
6. वैदिक वर्गमूल की मूल अवधारणा को, दृश्य वर्ग करने की प्रक्रिया के विपरीत (उल्टा) रूप में समझें।

भाग 1: सिद्धांत

7.1 — 5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग: एकाधिकेन पूर्वेण

अंक $5$ पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या का वर्ग करने के लिए सूत्र 1: एकाधिकेन पूर्वेण का उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है "पहले वाले से एक अधिक"।

$5$ पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या को $X5$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $X$ सभी पिछले अंकों को दर्शाता है। इस संख्या का वर्ग हमेशा दो हिस्सों में बँट जाता है, जिन्हें एक ऊर्ध्वाधर रेखा ($\mid$) द्वारा अलग किया जाता है:

बायाँ भाग: अंकों के पिछले समूह ($X$) को "स्वयं से एक अधिक" संख्या से गुणा करें $\rightarrow X \times (X + 1)$। दायाँ भाग: यह हमेशा अंतिम अंक $5$ का निश्चित वर्ग होता है, जो कि $25$ है।

$$\text{सार्वभौमिक विश्लेषणात्मक सूत्र:} \quad (X5)^2 = [X \times (X + 1)] \mid 25$$

ऑपरेशनल प्रक्रिया: $75^2$

घटक भागों की पहचान करें: यहाँ, $X = 7$ है। बाएँ भाग की गणना: $X$ को $(X + 1)$ से गुणा करें $\rightarrow 7 \times (7 + 1) = 7 \times 8 = \mathbf{56}$। दाएँ भाग की गणना: निश्चित प्रत्यय मान = $\mathbf{25}$। दोनों हिस्सों को मिलाएँ: $56 \mid 25$

$$\text{अंतिम संयुक्त गुणनफल} = \mathbf{5625}$$

3-अंकीय संख्याओं तक विस्तार: $115^2$

घटकों की पहचान करें: यहाँ, $X = 11$ है। बाएँ हिस्से की गणना: $11 \times (11 + 1) = 11 \times 12 = \mathbf{132}$। दाएँ हिस्से की गणना: निश्चित प्रत्यय मान = $\mathbf{25}$। दोनों हिस्सों को मिलाएँ: $132 \mid 25$

$$\text{अंतिम संयुक्त गुणनफल} = \mathbf{13225}$$

7.2 — आधार के निकट की संख्याओं का वर्ग करना: यावदूनम् विधि

उन संख्याओं का वर्ग करने के लिए जो किसी मुख्य आधार ($10, 100, 1000$) के निकट होती हैं, वैदिक गणित सूत्र 10: यावदूनम् का उपयोग करता है, साथ ही उप-सूत्र 7: यावदूनिकृत्य वर्गं च योजयेत् का भी। इसका अर्थ है: "जितनी उसकी कमी है, उसे उतनी ही और कम करें और उस कमी का वर्ग जोड़ दें।"

उत्तर को एक बाएँ हिस्से और एक दाएँ हिस्से में विभाजित किया जाता है:

बायाँ हिस्सा: संख्या में उसका आधिक्य ($+$) जोड़कर या उसकी कमी ($-$) घटाकर संख्या को बदलें। दायाँ हिस्सा: कमी या आधिक्य मान का वर्ग करें।

$$\text{संरचनात्मक मैट्रिक्स सूत्र:} \quad (\text{आधार} \pm d)^2 = (\text{संख्या} \pm d) \mid d^2$$

⚠️ महत्वपूर्ण फ़ॉर्मेटिंग शर्त: दाएँ हिस्से वाले कॉलम में ठीक उतने ही अंकों के स्थान होने चाहिए जितने आपके चुने हुए संदर्भ आधार में शून्य हैं। यदि मान बहुत छोटा है, तो आगे (leading) शून्य (placeholder zeros) का उपयोग करें।

स्थिति 1: आधार से कम संख्याएँ (कमी की स्थिति)

आइए $97^2$ की गणना करें:

संदर्भ आधार: $100$ (इसमें 2 शून्य हैं $\rightarrow$ दाएँ हाथ वाले कॉलम में 2 अंक होने चाहिए)। कमी ($d$): $100 - 97 = \mathbf{3}$ (इसे $-3$ के रूप में लिखा जाता है)। बाएँ भाग की गणना: मूल संख्या को उसकी कमी की मात्रा से घटाएँ $\rightarrow 97 - 3 = \mathbf{94}$। दाएँ भाग की गणना: कमी का वर्ग करें $\rightarrow (-3)^2 = 9 \rightarrow$ इसे $\mathbf{09}$ के रूप में लिखें ताकि 2-अंकीय कॉलम स्थान की आवश्यकता पूरी हो सके। दोनों भागों को मिलाएँ: $94 \mid 09$

$$\text{अंतिम एकल-पंक्ति गुणनफल} = \mathbf{9409}$$

$$\text{स्थिति 2: आधार से अधिक संख्याएँ (अधिशेष प्रोफ़ाइल)}$$

आइए $104^2$ की गणना करें:

संदर्भबेस: $100$ (इसके लिए दाईं ओर 2 अंकों का कॉलम चाहिए)। सरप्लस ($d$): $104 - 100 = \mathbf{4}$ (इसे $+4$ के रूप में लिखा जाता है)। बाएँ हिस्से की गणना: मूल संख्या में उसका सरप्लस मान जोड़ें $\rightarrow 104 + 4 = \mathbf{108}$। दाएँ हिस्से की गणना: सरप्लस का वर्ग करें $\rightarrow 4^2 = \mathbf{16}$ (यह 2 अंकों की जगह को पूरी तरह से भर देता है)। दोनों हिस्सों को मिलाएँ: $108 \mid 16$

$$\text{अंतिम एक-पंक्ति गुणनफल} = \mathbf{10816}$$

7.3 — विशेष रेंज: 50–59 और 40–49 के बीच की संख्याओं का वर्ग करना

जब संख्याएँ $50$ के सब-बेस (उप-आधार) के करीब होती हैं, तो हम 'यावदूनम्' तकनीक को थोड़ा बदलकर एक बहुत ही कुशल मानसिक शॉर्टकट बना सकते हैं। हम $25$ ($50^2 \div 100$) को एक निश्चित परिचालन संदर्भ मध्य-बिंदु के रूप में उपयोग करते हैं।

रेंज 1: 50 और 59 के बीच की संख्याओं का वर्ग करना

किसी भी संख्या के लिए जिसे $(50 + d)$ के रूप में व्यक्त किया गया हो, जहाँ $d$ एक अंक का सरप्लस (अतिरिक्त मान) है:

बायाँ हिस्सा: सरप्लस अंक ($d$) को सीधे निश्चित संदर्भ मान $25$ में जोड़ें $\rightarrow (25 + d)$। दायाँ हिस्सा: सरप्लस अंक का वर्ग करें $\rightarrow d^2$ (इसे 2 अंकों वाले क्षेत्र के रूप में लिखा जाता है)।

$$\text{50s रेंज के लिए सूत्र:} \quad (50 + d)^2 = (25 + d) \mid d^2$$

उदाहरण: $53^2$

$50$ से अधिक सरप्लस $d = 3$ है। बायाँ भाग: $25 + 3 = \mathbf{28}$ दायाँ भाग: $3^2 = 9 \rightarrow \mathbf{09}$ दोनों भागों को मिलाएँ: $28 \mid 09 = \mathbf{2809}$

रेंज 2: 40 और 49 के बीच की संख्याओं का वर्ग करना

किसी भी संख्या के लिए जिसे $(50 - d)$ के रूप में व्यक्त किया गया हो, जहाँ $d$ 50 से कमी (deficiency) है:

बायाँ भाग: कमी ($d$) को सीधे निश्चित संदर्भ मान $25$ से घटाएँ $\rightarrow (25 - d)$। दायाँ भाग: कमी वाले अंक का वर्ग करें $\rightarrow d^2$ (इसे 2-अंकों वाले क्षेत्र के रूप में लिखें)।

$$\text{40s रेंज के लिए सूत्र:} \quad (50 - d)^2 = (25 - d) \mid d^2$$

उदाहरण: $46^2$

50 से कमी $d = 4$ है (क्योंकि $50 - 46 = 4$)। बायाँ भाग: $25 - 4 = \mathbf{21}$ दायाँ भाग: $4^2 = \mathbf{16}$ दोनों भागों को मिलाएँ: $21 \mid 16 = \mathbf{2116}$

7.4 — द्वंद्व विधि (Duplex Method) का परिचय (द्वंद्व योग)

द्वंद्व विधि, जिसे संस्कृत में 'द्वंद्व योग' (संयोजन मिश्रण) के नाम से जाना जाता है, वैदिक गणित में सामान्य वर्ग और वर्गमूल संक्रियाओं के लिए उपयोग किया जाने वाला एक मूलभूत उपकरण है। किसी व्यंजक के द्वंद्व मान को समझना एक-पंक्ति संक्रियाओं (single-line operations) के लिए अनिवार्य है।

द्वंद्व ($D$) के लिए परिभाषा नियम

नियम 1: किसी एकल पृथक अंक ($a$) के लिए द्वंद्व (Duplex) बस उस अंक का वर्ग होता है।

$$D(a) = a^2$$

उदाहरण: $D(4) = 4^2 = 16$ उदाहरण: $D(7) = 7^2 = 49$

नियम 2: दो-अंकों की जोड़ी ($ab$) के लिए द्वंद्व उन अंकों के गुणनफल का दोगुना होता है। $$D(ab) = 2 \times a \times b$$

उदाहरण: $D(23) = 2 \times 2 \times 3 = 12$ उदाहरण: $D(64) = 2 \times 6 \times 4 = 48$

7.5 — डुप्लेक्स बैलेंस का इस्तेमाल करके किसी भी 2-अंकों वाली संख्या का वर्ग निकालना

किसी भी आम 2-अंकों वाली संख्या ($ab$) का वर्ग निकालने के लिए, बिना किसी आधार पैटर्न या खास आखिरी अंकों पर निर्भर हुए, हम संख्या के डुप्लेक्स मानों की गणना बाएं से दाएं क्रम में करते हैं।

गणना का यह पैटर्न 3 संरचनात्मक कॉलम में साफ-साफ बंट जाता है:

$$\text{डुप्लेक्स वर्ग निकालने का ढांचा:} \quad (ab)^2 = D(a) \mid D(ab) \mid D(b)$$

इनकी जगह हमारे बीजगणितीय सूत्र रखने पर हमें यह मिलता है:

$$(ab)^2 = a^2 \mid 2ab \mid b^2$$

काम करने का तरीका: $34^2$

अंकों को सेट करें: $a = 3, b = 4$. कॉलम 1 (बाएं): $D(3) = 3^2 = \mathbf{9}$ कॉलम 2 (बीच में): $D(34) = 2 \times 3 \times 4 = \mathbf{2 4}$ कॉलम 3 (दाएं): $D(4) = 4^2 = \mathbf{16}$

कॉलम को मिलाएं और हासिल (carryovers) को एडजस्ट करें:

मानों को हमारे संरचनात्मक ढांचे के अंदर इस तरह रखें:

$$9 \mid 24 \mid 16$$

हर एक कॉलम की जगह में सिर्फ एक ही अंक आ सकता है। बाकी बचे मानों को सीधे बाईं ओर भेज दें। इकाई कॉलम: $6$ को वहीं रहने दें, $1$ को बीच वाले कॉलम में हासिल के तौर पर भेज दें $\rightarrow 24 + 1 = 25$. दहाई कॉलम: $5$ को वहीं रहने दें, $2$ को बाईं ओर वाले कॉलम में हासिल के तौर पर भेज दें $\rightarrow 9 + 2 = 11$. सैकड़ा कॉलम: आखिरी कुल योग $11$ को लिख दें। $$\text{अंतिम संसाधित उत्पाद} = \mathbf{1156}$$

7.6 — बीजीय सर्वसमिका का संबंध

एक-पंक्ति वाली डुप्लेक्स वर्ग विधि कोई चाल (trick) नहीं है। यह एक क्लासिक बीजीय सर्वसमिका का सीधा अंकगणितीय अनुप्रयोग है:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

जब हम $34^2$ जैसे किसी समीकरण का विस्तार करते हैं, तो हम $(30 + 4)^2$ का मान निकाल रहे होते हैं:

$$(30+4)^2 = 30^2 + 2(30 \times 4) + 4^2$$

$$= 900 + 240 + 16 = 1156$$

वैदिक विधि इन समान बीजीय घटकों को संरचनात्मक स्थानीय-मान स्तंभों ($a^2 \mid 2ab \mid b^2$) में व्यवस्थित करती है। यह गणना को दृश्य रूप से व्यवस्थित करती है, जिससे एक बहु-चरणीय बीजीय विस्तार एक स्वच्छ, एक-पंक्ति वाली अंकगणितीय संक्रिया में बदल जाता है।

7.7 — वैदिक वर्गमूल अवधारणा का परिचय

अब जब हम यह समझ गए हैं कि डुप्लेक्स विधि ($a^2 \mid 2ab \mid b^2$) के माध्यम से वर्ग कैसे उत्पन्न होते हैं, तो वर्गमूल ज्ञात करना बस इस प्रक्रिया को चरण-दर-चरण उलटने का मामला है।

वर्गमूल ज्ञात करने में एक अंतिम संयुक्त संख्या-श्रृंखला को लेना और उसे वापस उसके मूल घटकों में तोड़ना शामिल है। हम व्यवस्थित रूप से सबसे बाईं ओर के वर्ग ($a^2$) को अलग करते हैं, मध्य क्रॉस-गुणन समायोजन ($2ab$) की गणना करते हैं, और अपने काम की जाँच करते हैं।बाकी बचे अंतिम डुप्लेक्स मानों ($b^2$) के विरुद्ध।

पहला चरण: अंकों का समूहीकरण

वर्गमूल निकालने से पहले, संख्या के अंकों को दाईं से बाईं ओर जोड़ों में बाँट लें। अंकों के समूहों की संख्या आपको ठीक-ठीक बता देगी कि आपके अंतिम वर्गमूल उत्तर में कितने अंक होंगे।

$5625$ के समूह बनते हैं: $56 \mid 25 \rightarrow$ 2 अंकों के समूह $\rightarrow$ वर्गमूल एक 2-अंकीय संख्या होगी। $13225$ के समूह बनते हैं: $1 \mid 32 \mid 25 \rightarrow$ 3 अंकों के समूह $\rightarrow$ वर्गमूल एक 3-अंकीय संख्या होगी।

हम मॉड्यूल 8 में वर्गमूलों के लिए चरण-दर-चरण, एक-पंक्ति वाली विभाजन विधि में पूरी तरह से महारत हासिल करेंगे।

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: 5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग करना

उदाहरण 1

प्रश्न: एकाधिकेन पूर्वेण सूत्र का उपयोग करके $85^2$ की गणना करें। सभी संरचनात्मक चरण दिखाएँ।

उत्तर:

1. आधार घटक की पहचान करें: यहाँ, अंकों का अग्रणी समूह $X = 8$ है।
2. बायाँ भाग: $X$ को $(X + 1)$ से गुणा करें $\rightarrow 8 \times (8 + 1) = 8 \times 9 = \mathbf{72}$।
3. दायाँ भाग: अंतिम अंक 5 का वर्ग हमेशा एक निश्चित मान $\mathbf{25}$ होता है।
4. दोनों भागों को मिलाएँ: $72 \mid 25$

$$\text{अंतिम प्राप्त पूर्णांक} = \mathbf{7225}$$

उदाहरण 2

प्रश्न: वैदिक विभाजन गुणन शॉर्टकट का उपयोग करके $205^2$ का मान ज्ञात करें।

उत्तर:

1. घटकों की पहचान करें: यहाँ, अंकों का अग्रणी समूह $X = 20$ है।
2. बायाँ भाग: $X$ को $(X + 1)$ से गुणा करें $\rightarrow 20 \times (20 + 1) = 20 \times 21 = \mathbf{420}$। 3. दायाँ भाग: निश्चित सफ़िक्स मान = $\mathbf{25}$.
3. दोनों भागों को मिलाएँ: $420 \mid 25$

$$\text{अंतिम संसाधित पूर्णांक} = \mathbf{42025}$$

अनुभाग B: आधार के निकट वर्ग करना (यावदूनम्)

उदाहरण 3

प्रश्न: यावदूनम् आधार न्यूनता विधि का उपयोग करके $994^2$ की गणना करें।

उत्तर:

1. संदर्भ आधार: $1000$ (इसमें 3 शून्य हैं $\rightarrow$ दाएँ कॉलम में ठीक 3 अंक होने चाहिए)।
2. न्यूनता ($d$): $1000 - 994 = \mathbf{6}$ (इसे $-6$ के रूप में लिखा जाता है)।
3. बायाँ भाग: मूल संख्या में से न्यूनता घटाएँ $\rightarrow 994 - 6 = \mathbf{988}$.
4. दायाँ भाग: न्यूनता मान का वर्ग करें $\rightarrow (-6)^2 = 36 \rightarrow$ 3-अंकीय कॉलम स्थान की आवश्यकता को पूरा करने के लिए इसे $\mathbf{036}$ के रूप में लिखें।
5. दोनों भागों को मिलाएँ: $988 \mid 036$

$$\text{अंतिम संसाधित पूर्णांक} = \mathbf{988036}$$

उदाहरण 4

प्रश्न: आधार अधिशेष विधि का उपयोग करके $1012^2$ की गणना करें।

उत्तर:

1. संदर्भ आधार: $1000$ (इसके लिए 3-अंकीय दाएँ हाथ के कॉलम की आवश्यकता होती है)।
2. अधिशेष ($d$): $1012 - 1000 = \mathbf{12}$ (इसे $+12$ के रूप में लिखा जाता है)।
3. बायाँ भाग: मूल संख्या में अधिशेष जोड़ें $\rightarrow 1012 + 12 = \mathbf{1024}$.
4. दायाँ भाग: अधिशेष मान का वर्ग करें $\rightarrow 12^2 = 144$ (यह 3-अंकीय स्थान को पूरी तरह से भर देता है)। 5. दोनों हिस्सों को मिलाएँ: $1024 \mid 144$

$$\text{अंतिम संसाधित पूर्णांक} = \mathbf{1024144}$$

अनुभाग C: उप-आधार 50 संदर्भ ब्लॉकों के भीतर वर्ग करना

उदाहरण 5

प्रश्न: निश्चित मध्यबिंदु संदर्भ विधि का उपयोग करके संख्या $57$ का वर्ग करें।

उत्तर:

1. यह संख्या 50 की श्रेणी में है, जिसमें 50 से $d = 7$ की अधिकता (surplus) है।
2. बायाँ भाग: अधिकता को सीधे हमारे निश्चित मध्यबिंदु मान ($25$) में जोड़ें $\rightarrow 25 + 7 = \mathbf{32}$।
3. दायाँ भाग: अधिकता वाले अंक का वर्ग करें $\rightarrow 7^2 = \mathbf{4 9}$।
4. दोनों हिस्सों को मिलाएँ: $32 \mid 49$

$$\text{अंतिम संसाधित पूर्णांक} = \mathbf{3249}$$

उदाहरण 6

प्रश्न: निश्चित उप-आधार कटौती नियम का उपयोग करके संख्या $42$ का वर्ग करें।

उत्तर:

1. यह संख्या 40 की श्रेणी में है, जिसमें 50 से $d = 8$ की कमी (deficiency) है ($50 - 42 = 8$)।
2. बायाँ भाग: कमी को सीधे हमारे निश्चित मध्यबिंदु मान ($25$) से घटाएँ $\rightarrow 25 - 8 = \mathbf{17}$।
3. दायाँ भाग: कमी वाले मान का वर्ग करें $\rightarrow 8^2 = \mathbf{64}$।
4. दोनों हिस्सों को मिलाएँ: $17 \mid 64$

$$\text{अंतिम संसाधित पूर्णांक} = \mathbf{1764}$$

अनुभाग D: 2-अंकीय संख्याओं के लिए सामान्य डुप्लेक्स वर्ग विधि

उदाहरण 7

प्रश्न: सामान्य एकल-पंक्ति डुप्लेक्स विधि का उपयोग करके $73^2$ की गणना करें। उत्तर: $a=7$ और $b=3$ के लिए 3-चरणों वाले डुप्लेक्स गणना कॉलम सेट करें:

$$(73)^2 = D(7) \mid D(73) \mid D(3)$$

कॉलम 1 (बाएँ): $7^2 = \mathbf{49}$ कॉलम 2 (बीच में): $2 \times 7 \times 3 = \mathbf{42}$ कॉलम 3 (दाएँ): $3^2 = \mathbf{9}$

कॉलमों को मिलाएँ और हासिल (carry) को प्रोसेस करें:

हमारे संरचनात्मक टेम्पलेट के अंदर मानों को व्यवस्थित करें:

$$49 \mid 42 \mid 9$$

इकाई कॉलम: $9$ को रखें। कोई हासिल नहीं है। दहाई कॉलम ($42$): $2$ को रखें, $4$ को बाएँ कॉलम में हासिल के तौर पर ले जाएँ $\rightarrow 49 + 4 = 53$। सैकड़ा कॉलम: अंतिम कुल योग $53$ को लिखें।

$$\text{अंतिम प्रोसेस्ड गुणनफल} = \mathbf{5329}$$

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: 5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग करना

इन वर्गों की गणना मानसिक रूप से एक ही पंक्ति में करें और अंतिम परिणाम लिखें।

A1. $15^2$ A2. $25^2$ A3. $35^2$ A4. $45^2$ A5. $55^2$ A6. $65^2$ A7. $95^2$ A8. $105^2$ A9. $125^2$ A10. $305^2$

अभ्यास सेट B: आधार वर्ग (यावदूनम विधि)

सही संदर्भ आधार (reference base) की पहचान करें, आधिक्य (surpluses) याकमियाँ, और अंतिम वर्ग ज्ञात करें।

B1. $99^2$ B2. $98^2$ B3. $94^2$ B4. $91^2$ B5. $101^2$ B6. $107^2$ B7. $112^2$ B8. $995^2$ B9. $991^2$ B10. $1006^2$

अभ्यास सेट C: उप-आधार 50 श्रेणी के अभ्यास (40–49 और 50–59)

इन वर्गों को मानसिक रूप से ज्ञात करने के लिए निश्चित मध्यबिंदु संदर्भ विधि ($25 \pm d$) का प्रयोग करें।

C1. $51^2$ C2. $52^2$ C3. $54^2$ C4. $56^2$ C5. $59^2$ C6. $49^2$ C7. $48^2$ C8. $45^2$ (इसकी जाँच '5 पर समाप्त होने वाले अंकों के नियम' का प्रयोग करके भी करें!) C9. $44^2$ C10. $41^2$

अभ्यास सेट D: द्विक मानों की गणना और 2-अंकीय संख्याओं का वर्ग करना

इन संख्याओं के लिए द्विक ($D$) मान की गणना करें: D1. $D(3)$ D2. $D(6)$ D3. $D(24)$ D4. $D(51)$ D5. $D(78)$

सामान्य द्विक विस्तार विधि ($a^2 \mid 2ab \mid b^2$) का प्रयोग करके इन 2-अंकीय संख्याओं का वर्ग करें: D6. $21^2$ D7. $32^2$ D8. $63^2$ D9. $74^2$ D10. $82^2$

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर:

A1. $225$
A2. $625$
A3. $1225$
A4. $2025$
A5. $3025$
A6. $4225$
A7. $9025$
A8. $11025$
A9. $15625$
A10. $93025$

सेट B के उत्तर:

B1. $9801$ (कमी $-1$, आधार $100$)
B2. $9604$ (कमी $-2$, आधार $100$)
B3. $8836$
B4. $8281$
B5. $10201$ (अधिशेष $+1$, आधार $100$)
B6. $11449$
B7. $12544$ (अधिशेष $+12$, दायाँ भाग $= 144 \rightarrow$ $1$ बाईं ओर हासिल)
B8. $990025$ (कमी $-5$, आधार $1000$)
B9. $982081$
B10. $1012036$

सेट C के उत्तर:

C1. $2601$
C2. $2704$
C3. $2916$
C4. $3136$
C5. $3481$
C6. $2401$
C7. $2304$
C8. $2025$
C9. $1936$
C10. $1681$

सेट D के उत्तर:

D1. $9$
D2. $36$
D3. $16$ (क्योंकि $2 \times 2 \times 4 = 16$)
D4. $10$
D5. $112$
D6. $441$
D7. $1024$
D8. $3969$
D9. $5476$
D10. $6724$

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका और कक्षा गतिविधियाँ

कक्षा शिक्षण सिमुलेशन

गतिविधि 1: आधार वर्ग लक्ष्य मिलान

उद्देश्य: आधार की कमी और अधिकता की गणना मानसिक रूप से करने में महारत हासिल करना। व्यवस्था: कक्षा को दो प्रतिस्पर्धी टीमों में बाँटें। बोर्ड पर एक परिचालन संदर्भ आधार लिखें (उदाहरण के लिए, "आधार 100")। निष्पादन: शिक्षक वर्ग करने के लिए एक लक्ष्य संख्या बोलते हैं (उदाहरण के लिए, $93$)। जो पहला छात्र दौड़कर बोर्ड तक पहुँचता है और बाईं ओर की कटौती तथा दाईं ओर के वर्ग पैडिंग को सही ढंग से लिखता है ($93 - 7 = 86$ और $7^2 = 49 \rightarrow 8649$), वह अपनी टीम के लिए एक अंक जीतता है।

गतिविधि 2: डुप्लेक्स लाइव असेंबली लाइन

उद्देश्य: यह समझना कि सामान्य डुप्लेक्स वर्ग करते समय स्थानीय मान के स्तंभ कैसे व्यवस्थित होते हैं। व्यवस्था: कक्षा के सामने तीन छात्रों को एक-दूसरे के बगल में खड़े होने के लिए कहें। उन्हें "बायाँ स्तंभ ($a^2$)," "मध्य स्तंभ ($2ab$)," और "दायाँ स्तंभ ($b^2$)" के रूप में लेबल करें। निष्पादन: शिक्षक वर्ग करने के लिए 2-अंकों की एक संख्या देते हैं, जैसे $43$। प्रत्येक छात्र को अपनी निर्धारित स्थिति के लिए मान की शीघ्रता से गणना करनी चाहिए ($16$, $24$, और $9$)। फिर वे एक साथ आगे बढ़ते हैं और अंतिम संयुक्त संख्या स्ट्रिंग ($1849$) को जोड़ने के लिए स्तंभों के हासिल (carries) को दाईं से बाईं ओर भौतिक रूप से पास करते हैं।

नैदानिक ​​त्रुटि सुधार मैट्रिक्स

त्वरित संदर्भ कार्ड

मॉड्यूल 7 सारांश चीट शीट (प्रिंट-अनुकूल)

╔════════════════════════════════════════════════════════════╗
║             वैदिक वर्ग और वर्गमूल भाग 1            ║
╠════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ सूत्र 1 अंतिम 5 नियम:                                   ║
║ 5 पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या का वर्ग करने के लिए: (X5)² = X × (X+1) | 25    ║
║ उदाहरण: 85² -> (8 × 9) | 25 -> 7225                       ║
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║ सूत्र 10 आधार वर्ग                      ║ सामान्य      ║
║ सूत्र: (आधार ± d)² = (संख्या ± d) | d²     ║ डुप्लेक्स       ║
║  दाएँ हाथ के कॉलम में अंकों की जगहें, ║ वर्ग:    ║
║   आधार में मौजूद ज़ीरो की संख्या से मेल खानी चाहिए। ║ फ़ॉर्मूला:     ║
║ उदाहरण: 96² (आधार 100, d = -4)             ║ (ab)² =      ║
║   (96 - 4) | 04² -> 9216                    ║ a² | 2ab | b²║
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║ उप-आधार 50 मानसिक रेंज के शॉर्टकट:                        ║
║  संख्याएँ 50-59 (अधिशेष d):  (25 + d) | d²                ║
║   उदाहरण: 54² -> (25 + 4) | 4² -> 2916                    ║
║  संख्याएँ 40-49 (कमी d): (25 - d) | d²              ║
║   उदाहरण: 47² -> (25 - 3) | 3² -> 2209║
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║ वर्गमूल समूहीकरण सिद्धांत:                            ║
║ हमेशा अंकों के समूह दाईं से बाईं ओर बनाते हैं। ║
║ अंकों के समूहों की संख्या, वर्गमूल के अंतिम उत्तर में      ║
║ अंकों की संख्या के बराबर होती है। ║
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