🕉️ वैदिक गणित — स्तर 1: आधार

मॉड्यूल 8: डिजिटल मूल (Digital Roots) और नौ का निष्कासन (Casting Out Nines)

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"सत्यापन कोई अलग कदम नहीं है—यह वैदिक गणना की बुनावट में ही गुंथा हुआ है। सूत्र स्वयं ही इसका प्रमाण देते हैं।" — वैदिक गणित शिक्षक नियमावली

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र निम्न कार्य करने में सक्षम होंगे:

1. सूत्र 15 (गुणितसमुच्चयः) को उसके अंग्रेजी अर्थ के साथ बता पाना
2. किसी भी संख्या का डिजिटल मूल (बीजांक) 5 सेकंड से भी कम समय में निकाल पाना
3. डिजिटल मूल को दृश्य रूप में समझने के लिए नौ-बिंदु वाले वृत्त (nine-point circle) का उपयोग करना
4. 'नौ का निष्कासन' विधि का उपयोग करके जोड़ के परिणामों का सत्यापन करना
5. 'नौ का निष्कासन' विधि का उपयोग करके घटाव के परिणामों का सत्यापन करना
6. 'नौ का निष्कासन' विधि का उपयोग करके गुणा के परिणामों का सत्यापन करना
7. 'नौ का निष्कासन' विधि का उपयोग करके भाग के परिणामों (भागफल और शेषफल) का सत्यापन करना
8. डिजिटल मूल सत्यापन का उपयोग करके गणनाओं में हुई त्रुटियों को तुरंत पहचानना

भाग 1: सिद्धांत

1.1 — डिजिटल मूल (बीजांक) क्या है? ### अवधारणा

डिजिटल रूट (जिसे वैदिक संस्कृत में 'बीजांक' भी कहा जाता है, जिसका अर्थ है "बीज संख्या") एक एकल-अंकीय संख्या होती है। इसे किसी संख्या के अंकों को बार-बार जोड़कर तब तक प्राप्त किया जाता है, जब तक कि केवल एक अंक शेष न रह जाए।

उदाहरण: 358

• 3 + 5 + 8 = 16
• 1 + 6 = 7
• डिजिटल रूट = 7

इसे "बीजांक" क्यों कहा जाता है?

संस्कृत में, 'बीज' का अर्थ है "बीज" और 'अंक' का अर्थ है "अंक" या "संख्या"। जिस प्रकार एक छोटे से बीज में एक विशाल वृक्ष बनने की क्षमता निहित होती है, उसी प्रकार डिजिटल रूट में किसी संख्या का अनिवार्य "बीज" — यानी उसका मूल अंकीय सार (modulo 9 के रूप में) समाहित होता है।

महत्वपूर्ण गुण

1.2 — नौ-बिंदु वाला वृत्त

डिजिटल रूट्स की कल्पना

नौ-बिंदु वाला वृत्त, 1 से 9 तक के अंकों की एक वृत्ताकार व्यवस्था है (जिसमें 9 सबसे ऊपर स्थित होता है, जो modulo 9 के संदर्भ में 9 और 0 दोनों का प्रतिनिधित्व करता है)।

9 (या 0)
/           \
8              1
/                 \
7        ●          2
\                 /
6              3
\           /
5 ——— 4

नौ-बिंदु वाले वृत्त का उपयोग कैसे करें

वृत्त के चारों ओर घूमना, प्रत्येक चरण में 1 जोड़ने के समतुल्य होता है। 9 जोड़ने पर आप वापस उसी बिंदु पर पहुँच जाते हैं, क्योंकि 9 ≡ 0 (mod 9) होता है।

1.3 — सूत्र 15: गुणितसमुच्चयः

इसका क्या अर्थ है?

इस सूत्र की दो व्याख्याएँ हैं:

1. सत्यापन अर्थ: गुणनफल का अंकीय मूल (digital root), अंकीय मूलों के गुणनफल के अंकीय मूल के बराबर होता है।

$$ \text{DR}(A \times B) = \text{DR}(\text{DR}(A) \times \text{DR}(B)) $$

2. बीजगणितीय अर्थ: गुणनखंडन (factorization) में, गुणनफल में गुणांकों का योग, गुणांकों के योग के गुणनफल के बराबर होता है।

इस मॉड्यूल में, हम सत्यापन अनुप्रयोग पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

सत्यापन सूत्र

किसी भी संक्रिया (+, -, ×, ÷) के लिए:

1.4 — नौ को हटाना (Casting Out Nines)

"नौ को हटाना" (Casting Out Nines) क्या है?

"नौ को हटाना" अंकीय मूल ज्ञात करने का एक संक्षिप्त तरीका है। सभी अंकों को अलग-अलग जोड़ने के बजाय, हम उन अंकों को हटा देते हैं (बाहर कर देते हैं) जिनका योग 9 होता है (या अंकों का कोई भी ऐसा समूह जिनका योग 9, 18, 27, आदि होता है)।

यह तकनीक

'कास्टिंग आउट' (अंकों को हटाने) का एक बेहतर उदाहरण: 5463729

• उन अंकों को ढूँढ़ें जिनका जोड़ 9 हो: 5+4=9 → हटा दें (5,4)
• बाकी: 6,3,7,2,9
• 6+3=9 → हटा दें (6,3)
• बाकी: 7,2,9
• 7+2=9 → हटा दें (7,2)
• बाकी: 9 → 9 को हटा दें
• नतीजा: 0 → डिजिटल रूट = 9 (या 0)

ज़रा रुकिए — अगर सब कुछ हटा दिया जाता है, तो डिजिटल रूट 9 होता है (0 नहीं, सिवाय तब जब संख्या असल में 0 हो)।

हटाने का नियम

• जब आप 9 जोड़ने वाले किसी ग्रुप को हटाते हैं, तो उस ग्रुप को निकाल दें
• जब सिर्फ़ 9 बाकी रहता है, तो डिजिटल रूट = 9
• जब कुछ भी बाकी नहीं रहता, तो डिजिटल रूट = 9 (शून्य-रहित संख्याओं के लिए)
• शून्य के लिए, डिजिटल रूट = 0

1.5 — डिजिटल रूट ढूँढ़ना: तीन तरीके

तरीका 1: अंकों का बार-बार जोड़

अंकों को तब तक बार-बार जोड़ें जब तक एक अंक न मिल जाए।

उदाहरण: 987654321

• 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45
• 4+5 = 9
• डिजिटल रूट = 9

तरीका 2: नौ को हटाना

उन अंकों या ग्रुप को काट दें जिनका जोड़ 9 हो।

उदाहरण: 987654321

• 9 → हटा दें
• 8+1=9 → हटा दें (8,1)
• 7+2=9 → हटा दें (7,2)
• 6+3=9 → हटा दें (6,3)
• 5+4=9 → हटा दें (5,4)
• कुछ भी बाकी नहीं → डिजिटल रूट = 9

तरीका 3: मॉड्युलो 9

डिजिटल रूट = संख्या mod 9, जिसका नतीजा यह होता है कि 9 mod 9 = 9 (0 नहीं)।

उदाहरण: 358 ÷ 9 = 39 शेष 7 → डिजिटल रूट = 7

1.6 — जोड़ का सत्यापन

नियम

जोड़ के लिए: A + B = C

$$ \text{DR}(C) = \text{DR}(\text{DR}(A) + \text{DR}(B)) $$

यदि डिजिटल रूट (digital roots) मेल नहीं खाते हैं, तो उत्तर निश्चित रूप से गलत है। यदि वे मेल खाते हैं, तो उत्तर सही होने की संभावना है (लेकिन इसकी गारंटी नहीं है — यह एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं)।

उदाहरण 1: 358 + 247 = 605 का सत्यापन करें

उदाहरण 2: 1234 + 5678 = 6912 में त्रुटि ज्ञात करें

रुकिए, यह सही है। आइए मैं एक गलती का उदाहरण बनाता हूँ:

उदाहरण 3: 1234 + 5678 = 6900 (गलत)

1.7 — घटाव का सत्यापन

नियम

घटाव के लिए: A - B = C (जहाँ A ≥ B)

$$ \text{DR}(C) = \text{DR}(\text{DR}(A) - \text{DR}(B)) $$

यदि घटाव से कोई ऋणात्मक संख्या मिलती है, तो उसमें 9 जोड़ते रहें जब तक कि वह धनात्मक न हो जाए।

उदाहरण 1: 582 - 347 = 235 का सत्यापन करें

उदाहरण 2: 800 - 123 = 677 का सत्यापन करें

उदाहरण 3: जब DR(A) < DR(B) हो

500 - 234 = 266 के लिए

1.8 — गुणन का सत्यापन

नियम

गुणन के लिए: A × B = C

$$ \text{DR}(C) = \text{DR}(\text{DR}(A) \times \text{DR}(B)) $$

उदाहरण 1: 358 × 74 = 26492 (आपके प्रॉम्प्ट से)

उदाहरण 2: 123 × 456 = 56088 का सत्यापन करें

उदाहरण 3: 123 × 456 = 56000 (गलत) में त्रुटि ज्ञात करें

| चरण | गणना | |------|-------------| | 123 का DR | 6 | | 456 का DR | 6 | | DRs का गुणनफल | 6×6=36→9 | | 56000 का DR | 5+6+0+0+0=11→2 | | मिलान? | 9 ≠ 2 → ERROR मिला! ✓ |

1.9 — भाग की जाँच

नियम

भाग के लिए: भाज्य ÷ भाजक = भागफल शेषफल

$$ \text{भाज्य} = \text{भाजक} \times \text{भागफल} + \text{शेषफल} $$

इसलिए:

$$ \text{DR}(\text{भाज्य}) = \text{DR}\big(\text{DR}(\text{भाजक}) \times \text{DR}(\text{भागफल}) + \text{DR}(\text{शेषफल})\big) $$

उदाहरण 1: जाँच करें कि 1234 ÷ 98 = 12 शेषफल 58

उदाहरण 2: जाँच करें कि 5000 ÷ 97 = 51 शेषफल 53

1.10 — 'Casting Out Nines' (नौ को हटाने की विधि) की सीमाएँ

यह कब काम करती है?

उन गलतियों के उदाहरण जिनका पता नहीं चलता

सबसे अच्छा तरीका

'Casting Out Nines' का इस्तेमाल एक त्वरित शुरुआती जाँच के तौर पर करें, न कि पक्के सबूत के तौर पर। अगर डिजिटल रूट (अंकों का योग) मेल नहीं खाते, तो जवाब निश्चित रूप से गलत है। अगर वे मेल खाते हैं, तो जवाब शायद सही है (लेकिन ज़रूरी गणनाओं की दोबारा जाँच ज़रूर करें)।

1.11 — उप-सूत्र 12: विलोकनम् (केवल देखकर)

यह उप-सूत्र हमें याद दिलाता है कि डिजिटल रूट (अंकों का योग) अक्सर बिना किसी औपचारिक गणना के, बस एक नज़र में ही पता लगाया जा सकता है। केवल अवलोकन के उदाहरण:

• 999 → DR = 9 (सभी 9 हैं)
• 100 → DR = 1
• 111111111 (नौ 1 हैं) → DR = 9
• 123456789 → DR = 9 (1+2+3+4+5+6+7+8+9=45→9)

1.12 — सत्यापन से परे अनुप्रयोग

अनुप्रयोग 1: 3 और 9 से विभाज्यता की जाँच

उदाहरण: 123456789 → DR=9 → 9 और 3 से विभाज्य है ✓

अनुप्रयोग 2: लुप्त अंकों का पता लगाना

यदि किसी गुणनफल में कोई अंक लुप्त है, तो डिजिटल रूट उसे खोजने में मदद कर सकता है।

उदाहरण: 123 × 45 = 5_35 (सैकड़े के स्थान पर अंक लुप्त है)

जाँच: 123×45 = 5535 ✓

अनुप्रयोग 3: खाता संतुलन में त्रुटि का पता लगाना

लेखाकार (Accountants) लेजर शेष की जाँच करने के लिए "कास्टिंग आउट नाइन्स" (casting out nines) नामक एक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं। यदि डेबिट और क्रेडिट के डिजिटल रूट मेल नहीं खाते हैं, तो इसका अर्थ है कि कोई त्रुटि है। ---

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: डिजिटल मूल ज्ञात करना

उदाहरण 1

प्रश्न: 1234567 का डिजिटल मूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

विधि 1 (अंकों का योग): 1+2+3+4+5+6+7 = 28 → 2+8 = 10 → 1+0 = 1 डिजिटल मूल = 1

विधि 2 (9s को हटाना): 1+2+3+4=10 (क्या 1 को हटा दें? असल में 1+2+3+4=10 होता है, 9 नहीं। चलिए, मैं इसे ठीक से दोबारा करता हूँ:)

• 1+8=9? नहीं, 8 नहीं है। रुकिए — बेहतर तरीका यह है: उन जोड़ों को हटाएँ जिनका योग 9 हो: (2,7)=9, (3,6)=9, (4,5)=9
• शेष: 1 (संख्या के पहले अंक 1 से) और 9 कहाँ से? असल में (4+5)=9 होता है, हाँ, इसे हटा दिया। - (2,7), (3,6), (4,5) को हटाने के बाद, केवल 1 बचता है → DR = 1 ✓

उदाहरण 2

प्रश्न: 999999 का डिजिटल रूट ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

सभी अंक 9 हैं। 9+9+9+9+9+9 = 54 → 5+4 = 9 डिजिटल रूट = 9

हटाने की विधि: सभी अंक 9 हैं → प्रत्येक 9 को हटा दें → कुछ नहीं बचता → DR = 9

उदाहरण 3

प्रश्न: 1000000 का डिजिटल रूट ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1+0+0+0+0+0+0 = 1 डिजिटल रूट = 1

उदाहरण 4

प्रश्न: 123456789 का डिजिटल रूट ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

योग = 45 → 4+5 = 9 डिजिटल रूट = 9

अनुभाग B: जोड़ का सत्यापन

उदाहरण 5

प्रश्न: डिजिटल रूट का उपयोग करके 12345 + 67890 = 80235 का सत्यापन कीजिए।

उत्तर:

उदाहरण 6

प्रश्न: योग 4567 + 8912 = 13479 में त्रुटि होने का संदेह है। सत्यापन कीजिए।

उत्तर:

वास्तविक: 4567+8912=13479 ✓

उदाहरण 7

प्रश्न: 999 + 888 = 1887 में गलती ढूँढें (बिना असल में गणना किए)।

उत्तर:

चलिए मैं एक गलत उदाहरण बनाता हूँ: 999+888 = 1880

अनुभाग C: घटाव का सत्यापन

उदाहरण 8

प्रश्न: 1000 - 365 = 635 का सत्यापन करें।

उत्तर:

वास्तविक: 1000-365=635 ✓

उदाहरण 9

प्रश्न: सत्यापित करें कि 5000 - 1234 = 3766 है।

उत्तर:

उदाहरण 10

प्रश्न: 800 - 357 = 443 में त्रुटि ज्ञात करें (गलत — सही 443 है? असल में 800-357=443 सही है!)

चलिए मैं एक गलत उदाहरण देता हूँ: 800 - 357 = 453

अनुभाग D: गुणन का सत्यापन

उदाहरण 11

प्रश्न: 123 × 456 = 56088 का सत्यापन करें (पिछले उदाहरण से)।

उत्तर:

उदाहरण 12

प्रश्न: 97 × 96 = 9312 का सत्यापन करें (मॉड्यूल 4 से)।

उत्तर:

उदाहरण 13

प्रश्न: 358 × 74 = 26490 (26492 के बजाय) में त्रुटि ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

उदाहरण 14

प्रश्न: 999 × 999 = 998001 को सत्यापित कीजिए।

उत्तर:

अनुभाग E: विभाजन सत्यापन

उदाहरण 15

प्रश्न: 12345 ÷ 98 = 125 शेष 95 को सत्यापित कीजिए।

उत्तर:

जाँच: 98×125=12250, +95=12345 ✓

उदाहरण 16

प्रश्न: सत्यापित करें कि 5000 ÷ 99 = 50, शेषफल 50 है।

उत्तर:

जाँच: 99×50=4950, +50=5000 ✓

अनुभाग F: त्रुटि पहचान और लुप्त अंक

उदाहरण 17

प्रश्न: एक गुणन 123 × 45 = 5_35 में एक अंक लुप्त है। उसे ज्ञात करें।

उत्तर:

उदाहरण 18

प्रश्न: क्या 123456789 × 987654321 = 121932631112635269 सही है? (जांच के लिए अंकों के वर्गमूल का प्रयोग करें।)

उत्तर:

| चरण | गणना |

|------|-------------|

| 123456789 का व्युत्पन्न | 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45→9 |

| 987654321 का व्युत्पन्न | 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45→9 |

| व्युत्पन्नों का गुणनफल | 9×9=81→9 |

| परिणाम का व्युत्पन्न | 121932631112635269 के अंकों का योग |

| त्वरित योग: 1+2+1+9+3+2+6+3+1+1+1+2+6+3+5+2+6+9 = 63 → 6+3=9 | | मिलान ✓ (संभवतः सही) |

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: अंकों के मूल ज्ञात करना (20 प्रश्न)

प्रत्येक संख्या का अंकों का मूल ज्ञात कीजिए। जहाँ आवश्यक हो, नौ को बाहर निकालने की विधि का प्रयोग करें।

A1. 45 A2. 99 A3. 100 A4. 358 A5. 777 A6. 1234 A7. 5678 A8. 9999 A9. 10000 A10. 12345 A11. 98765 A12. 111111 ए13. 121212 ए14. 12345678 ए15. 987654321 ए16. 1000000 ए17. 55555 ए18. 888888 A19. 135792468 A20. 0

अभ्यास सेट B: जोड़ का सत्यापन (15 प्रश्न)

प्रत्येक जोड़ का सत्यापन करने के लिए डिजिटल रूट्स (अंकीय मूल) का उपयोग करें। सही होने पर ✓ और गलत होने पर ✗ का निशान लगाएँ।

B1. 123 + 456 = 579 B2. 789 + 321 = 1110 B3. 999 + 111 = 1110 B4. 1234 + 5678 = 6912 B5. 9876 + 5432 = 15308 B6. 1111 + 2222 = 3333 B7. 5555 + 4444 = 9999 B8. 12345 + 67890 = 80235 B9. 54321 + 98765 = 153086 B10. 1000 + 2000 = 3000 B11. 1357 + 2468 = 3825 B12. 9876 + 1234 = 11110 B13. 45678 + 98765 = 144443 B14. 999999 + 1 = 1000000 B15. 77777 + 22222 = 100000

अभ्यास सेट C: घटाव का सत्यापन (15 प्रश्न)

प्रत्येक घटाव का सत्यापन करने के लिए डिजिटल रूट्स (अंकीय मूल) का उपयोग करें।

C1. 500 - 234 = 266 C2. 1000 - 365 = 635 C3. 800 - 357 = 443 C4. 10000 - 1234 = 8766 C5. 5000 - 1234 = 3766 C6. 100 - 1 = 99 C7. 1000 - 999 = 1 C8. 5555 - 1234 = 4321 C9. 9876 - 5432 = 4444 C10. 12345 - 6789 = 5556 C11. 100000 - 1 = 99999 C12. 9000 - 1111 = 7889 C13. 7777 - 5555 = 2222 C14. 8642 - 1357 = 7285 C15. 1000000 - 123456 = 876544

अभ्यास सेट D: गुणा का सत्यापन (20 प्रश्न)

प्रत्येक गुणा का सत्यापन करने के लिए डिजिटल रूट्स (अंकीय मूल) का उपयोग करें।

D1. 12 × 12 = 144 D2. 15 × 15 = 225 D3. 25 × 25 = 625 D4. 37 × 37 = 1369 D5. 99 × 99 = 9801 D6. 101 × 101 = 10201 D7. 123 × 45 = 5535 D8. 456 × 78 = 35568 D9. 789 × 12 = 9468 D10. 999 × 1 = 999 D11. 111 × 111 = 12321 D12. 358 × 74 = 26492 डी13. 97 × 96 = 9312 डी14. 103 × 104 = 10712 डी15. 998 × 997 = 995006 डी16. 1234 × 56 =69104 D17. 5678 × 90 = 511020 D18. 1357 × 2468 = 3349676 D19. 9876 × 5432 = 53651232 D20. 9999 × 9999 = 99980001

अभ्यास सेट E: भाग का सत्यापन (15 प्रश्न)

प्रत्येक भाग का सत्यापन करने के लिए डिजिटल रूट्स (अंकीय मूल) का उपयोग करें।

E1. 123 ÷ 9 = 13 R6 E2. 456 ÷ 8 = 57 R0 E3. 789 ÷ 7 = 112 R5 E4. 1234 ÷ 98 = 12 R58 E5. 2345 ÷ 97 = 24 R17 E6. 3456 ÷ 96 = 36 R0 E7. 4567 ÷ 95 = 48 R7 E8. 5000 ÷ 99 = 50 R50 E9. 12345 ÷ 97 = 127 R26 E10. 23456 ÷ 98 = 239 R34 E11. 123456 ÷ 998 = 123 R702 E12. 100000 ÷ 999 = 100 R100 E13. 88888 ÷ 9 = 9876 R4 E14. 77777 ÷ 8 = 9722 R1 E15. 55555 ÷ 7 = 7936 R3

अभ्यास सेट F: लुप्त अंक की समस्याएं (10 प्रश्न)

प्रत्येक समीकरण में लुप्त अंक (जिसे x से दर्शाया गया है) ज्ञात करें।

F1. 123 + 45x = 578 (x का मान ज्ञात करें) F2. 789 - 4x2 = 367 (x का मान ज्ञात करें) F3. 45 × 67 = 30x5 (x का मान ज्ञात करें) F4. 98 × 97 = 95x6 (x का मान ज्ञात करें) F5. 1234 ÷ 98 = 12 R5x (x का मान ज्ञात करें) F6. 56x × 12 = 6756 (x का मान ज्ञात करें) F7. 7890 - 345x = 4443 (x का मान ज्ञात करें) F8. 111 × 11x = 12321 (x का मान ज्ञात करें) F9. 999 ÷ 9 = 111 (कुछ छूटा है? 111? असल में 999÷9=111 है, इसलिए कुछ नहीं छूटा — चलिए मैं एक सवाल बनाता हूँ: 123x ÷ 11 = 112 R2, x का मान ज्ञात करें) F10. 5000 - x234 = 3766 (x का मान ज्ञात करें)

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर (अंकीय मूल):

A1. 9
A2. 9
A3. 1
A4. 7
A5. 3 (7+7+7=21→3)
A6. 1
A7. 8 (5+6+7+8=26→8)
A8. 9
A9. 1
A10. 6
A11. 8 (9+8+7+6+5=35→8)
A12. 6 (छह बार 1 = 6)
A13. 9 (1+2+1+2+1+2=9)
A14. 9
A15. 9
A16. 1
A17. 7 (5×5=25→7? रुकिए, 5+5+5+5+5=25→7)
A18. 3 (8×6=48→12→3)
A19. 9
A20. 0

सेट B के उत्तर (जोड़):

B1. ✓
B2. ✓ (789+321=1110)
B3. ✓
B4. ✓
B5. ✓ (9876+5432=15308)
B6. ✓
B7. ✓
B8. ✓
B9. ✓
B10. ✓
B11. ✓ (1357+2468=3825)
B12. ✓
B13. ✓
B14. ✓
B15. ✗ (77777+22222=99999, 100000 नहीं)

सेट C के उत्तर (घटाव):

C1. ✓
C2. ✓
C3. ✓
C4. ✓
C5. ✓
C6. ✓
C7. ✓
C8. ✓
C9. ✓
C10. ✓ (12345-6789=5556)
C11. ✓
C12. ✓
C13. ✓
C14. ✓
C15. ✓

सेट D के उत्तर (गुणा):

D1. ✓
D2. ✓
D3. ✓
D4. ✓
D5. ✓
D6. ✓
D7. ✓
D8. ✓
D9. ✓
D10. ✓
D11. ✓
D12. ✓
D13. ✓
D14. ✓
D15. ✓
D16. ✓
D17. ✓
D18. ✓
D19. ✓
D20. ✓

सेट E के उत्तर (भाग):

E1. ✓
E2. ✓
E3. ✓
E4. ✓
E5. ✓
E6. ✓
E7. ✓
E8. ✓
E9. ✓
E10. ✓
E11. ✓
E12. ✓
E13. ✓
E14. ✓
E15. ✓

सेट F के उत्तर (लुप्त अंक):

F1. x=5 (123 + 45x = 578 → 45x = 455)
F2. x=2 (789−422=367)
F3. x=1 (45×67=3015)
F4. x=0 (98×97=9506)
F5. x=8 (12×98=1176, 1234−1176=58)
F6. x=3 (563×12=6756)
F7. x=4 (7890−3447=4443)
F8. x=1 (111×111=12321)
F9. x=4 (1234÷11=112 शेष 2)
F10. x=1 (5000−1234=3766)

त्वरित संदर्भ कार्ड

मॉड्यूल 8 सारांश पत्रक (प्रिंट करने योग्य)

╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║           डिजिटल रूट और 'कास्टिंग आउट नाइन्स' — चीट शीट             ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ सूत्र 15:  गुणितसमुच्चयः — "योग का गुणनफल बराबर होता है          ║
║            गुणनफलों के योग के"                                   ║
║ उप-सूत्र 12: विलोकनम् — "केवल देखकर (निरीक्षण द्वारा)"                       ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║                                                                       ║
║  डिजिटल रूट (बीजांक) — अंकों को बार-बार तब तक जोड़ें जब तक 1 अंक न आ जाए। ║
║  ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐          ║
║  │ 358 → 3+5+8=16 → 1+6=7                                  │          ║
║  │ 9s को हटाना: 9s और जिन जोड़ों का योग 9 हो, उन्हें काट दें     │          ║
║  └─────────────────────────────────────────────────────────┘          ║
║                                                                       ║
║  सत्यापन सूत्र:                                              ║
║  ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐          ║
║  │ जोड़:   DR(A+B)   = DR(DR(A) + DR(B))               │          ║
║  │ घटाव: DR(A-B)   = DR(DR(A) - DR(B)) [अगर - आए तो 9 जोड़ें] │          ║
║  │ गुणा:   DR(A×B)   = DR(DR(A) × DR(B))               │          ║
║  │ भाग:   DR(भाज्य) = DR(DR(भाजक)×DR(भागफल) + DR(शेषफल))      │          ║
║  └─────────────────────────────────────────────────────────┘          ║
║                                                                       ║
║  नौ-बिंदु वृत्त (अंक, डिजिटल मूल mod 9 के अनुसार):                    ║
║                                                                       ║
║                    9 (या 0)                                           ║
║                  /        \                                           ║
║                8            1                                         ║
║               /              \                                        ║
║              7                2                                       ║
║              |       ●        |                                       ║
║              6                3                                       ║
║                             /                                         ║
║                5            4                                         ║
║                          /                                            ║
║       (फिर यही क्रम दोहराता है: 9, 1, 2, ... , 8, वापस 9)             ║
║                                                                       ║
║  सीमाएँ:                                                         ║
║  ✗ ट्रांसपोज़िशन की ग़लतियों का पता नहीं लगाता (123 बनाम 132)                 ║
║  ✗ 9 के अंतर वाली ग़लतियों का पता नहीं लगाता (9 जोड़ना या घटाना)         ║
║  ✓ पहली जाँच जल्दी हो जाती है — अगर DRs मेल नहीं खाते, तो जवाब पक्का ग़लत है║
║                                                                       ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

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