🕉️ वैदिक गणित — लेवल 2: इंटरमीडिएट

मॉड्यूल 11: उन्नत गुणा — ऊर्ध्व विस्तारित

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यां की सुंदरता इसकी सार्वभौमिकता में निहित है। चाहे 2 अंक हों या 20 अंक, सिद्धांत वही रहता है: ऊर्ध्व (सीधा) और तिर्यक (तिरछा)।" — वैदिक गणित शिक्षक नियमावली

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र ये कर पाएँगे:

1. 4-अंकों × 4-अंकों वाली संख्याओं को मन ही मन गुणा करने के लिए 'ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्' विधि का विस्तार करना
2. पैटर्न विधि का उपयोग करके 5-अंकों × 5-अंकों वाली संख्याओं को गुणा करना
3. उसी 'ऊर्ध्व' सिद्धांत का उपयोग करके बहुपदों (polynomials) को गुणा करना
4. अलग-अलग अंकों वाली संख्याओं (जैसे, 3-अंकों × 2-अंकों) को हल करना
5. जटिल गुणाओं को सरल बनाने के लिए 'विंकुलम' (बार संख्याएँ) का उपयोग करना
6. अलग-अलग आधार (references) वाली संख्याओं के लिए 'मिश्रित आधार गुणा' का उपयोग करना
7. अनुकूलित वैदिक विधियों का उपयोग करके दशमलव संख्याओं को गुणा करना
8. किसी भी दी गई गुणा समस्या के लिए सबसे उपयुक्त विधि का चयन करना

भाग 1: सिद्धांत

1.1 — ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्: सार्वभौमिक सूत्र

सिद्धांत की समीक्षा

सूत्र 3: 'ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्' का अर्थ है "ऊर्ध्वाधर (सीधे) और तिर्यक (तिरछे)।"

यह गुणा का सबसे सार्वभौमिक सूत्र है, क्योंकि:

• यह किन्हीं भी दो संख्याओं और किसी भी अंकों की लंबाई के लिए काम करता है
• यह बहुपदों, आव्यूहों (matrices), और यहाँ तक कि कलन (calculus) के लिए भी काम करता है
• यह एक ऐसा एकल पैटर्न है जिसका विस्तार अनंत तक किया जा सकता है

किसी भी अंकों की लंबाई के लिए पैटर्न

n-अंकों × n-अंकों वाली गुणा के लिए, चरणों (steps) की संख्या = (2n − 1) स्तंभ (columns) होती है।

मान लीजिए कि दो संख्याओं को इस प्रकार दर्शाया गया है:

• संख्या A: $a_{n-1} a_{n-2} ... a_1 a_0$ (अंक)
• संख्या B: $b_{n-1} b_{n-2} ... b_1 b_0$ (अंक)

परिणाम में प्रत्येक कॉलम, अंकों के उन जोड़ों के गुणनफलों का योग होता है, जिनके स्थिति सूचकांकों (position indices) का योग उस कॉलम की संख्या के बराबर होता है। ---

1.2 — 4-अंकों × 4-अंकों के लिए ऊर्ध्व विधि

व्यवस्था

मान लीजिए संख्याएँ हैं:

• $A = a_3 a_2 a_1 a_0$ (हजार, सैकड़ा, दहाई, इकाई)
• $B = b_3 b_2 b_1 b_0$ (हजार, सैकड़ा, दहाई, इकाई)

7 कॉलम (चरण)

चरण 1 (इकाई कॉलम):    a₀ × b₀
चरण 2 (दहाई कॉलम):     a₁×b₀ + a₀×b₁
चरण 3 (सैकड़ा):        a₂×b₀ + a₁×b₁ + a₀×b₂
चरण 4 (हजार):       a₃×b₀ + a₂×b₁ + a₁×b₂ + a₀×b₃
चरण 5 (दस हजार):   a₃×b₁ + a₂×b₂ + a₁×b₃
चरण 6 (लाख): a₃×b₂ + a₂×b₃
चरण 7 (दस लाख):        a₃×b₃

दृश्य पैटर्न (फोल्ड विधि)

चरण 1:        a₀ × b₀
चरण 2:      a₁×b₀ + a₀×b₁
चरण 3:    a₂×b₀ + a₁×b₁ + a₀×b₂
चरण 4:  a₃×b₀ + a₂×b₁ + a₁×b₂ + a₀×b₃
चरण 5:    a₃×b₁ + a₂×b₂ + a₁×b₃
चरण 6:      a₃×b₂ + a₂×b₃
चरण 7:        a₃×b₃

उदाहरण 1: 1234 × 5678

आइए इसे चरण-दर-चरण हल करें:

A = 1234 → a₃=1, a₂=2, a₁=3, a₀=4 B = 5678 → b₃=5, b₂=6, b₁=7, b₀=8

नीचे से ऊपर की ओर पढ़ने पर: 7,0,0,6,6,5,2

उत्तर = 7006652

जाँच: 1234 × 5678 = 7,006,652 ✓

उदाहरण 2: 4321 × 9876

A = 4321 → a₃=4, a₂=3, a₁=2, a₀=1 B = 9876 → b₃=9, b₂=8, b₁=7, b₀=6

नीचे से ऊपर की ओर पढ़ने पर: 42,6,7,4,1,9,6

उत्तर = 42,674,196

जाँच: 4321 × 9876 = 42,674,196 ✓

1.3 — 5-अंकों × 5-अंकों के लिए ऊर्ध्व

पैटर्न (9 कॉलम)

संख्याओं $a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$ और $b$ के लिए_4 b_3 b_2 b_1 b_0$:

| उदाहरण: 12345 × 67891

A = 12345 → अंक: 1,2,3,4,5 B = 67891 → अंक: 6,7,8,9,1

आइए, मैं इसे क्रमबद्ध तरीके से हल करता हूँ:

नीचे से पढ़ने पर: 8,3,8,1,1,4,3,9,5

उत्तर = 838,114,395

जाँच: 12345 × 67891 = 838,114,395 ✓

1.4 — अलग-अलग अंकों वाली संख्याओं का गुणा

सिद्धांत

जब संख्याओं में अंकों की संख्या अलग-अलग हो, तो छोटी संख्या के आगे (शुरू में) मानसिक रूप से शून्य लगाकर उसे पूरा करें, और फिर 'ऊर्ध्व' (Urdhva) पैटर्न लागू करें।

उदाहरण 1: 123 × 45 (3-अंक × 2-अंक)

45 को मानसिक रूप से 045 लिखें:

A = 1 2 3 B = 0 4 5

उत्तर = 5535 ✓

उदाहरण 2: 12345 × 67 (5-अंक × 2-अंक)

67 को मन ही मन 00067 लिखें:

A = 1 2 3 4 5 B = 0 0 0 6 7

जाँच: 12345 × 67 = 827,115 ✓

अलग-अलग अंकों की संख्या के लिए सामान्य नियम

मान लीजिए संख्याओं में m और n अंक हैं (m ≥ n)। परिणाम में (m + n) या (m + n − 1) अंक होते हैं।

प्रक्रिया:

1. छोटी संख्या के आगे शून्य लगाकर उसे m अंकों का बना लें।
2. m × m के लिए 'ऊर्ध्व' पैटर्न लागू करें।
3. पहले (m − n) चरणों में, जोड़ी गई संख्या के शून्य शामिल होंगे।

1.5 — सूत्र 11: व्यष्टि समष्टि (अंश और पूर्ण)

इसका क्या अर्थ है?

यह सूत्र हमें सिखाता है कि किसी समस्या को अलग-अलग हिस्सों में बाँटें और फिर उन्हें मिलाकर एक पूर्ण इकाई बना लें। गुणा की प्रक्रिया में, यह हमें निम्नलिखित कार्य करने में सक्षम बनाता है:

• किसी बड़ी संख्या को छोटे और आसान हिस्सों में बाँटना।
• प्रत्येक हिस्से का अलग-अलग गुणा करना।
• प्राप्त परिणामों को उचित रूप से संयोजित करना।

अनुप्रयोग: गुणा को आसान बनाने के लिए संख्याओं को विभाजित करना

999 × 999 का सीधा गुणा करने के बजाय, इसे (1000−1) × (1000−1) के रूप में विभाजित करें = 1,000,000 − 2000 + 1 = 998,001।

यह विधि 'निखिलम' विधि के समान ही है, परंतु इसे "अंश और पूर्ण" की सोच के दृष्टिकोण से देखा जाता है।

व्यष्टि समष्टि का उपयोग करके बहुपदों का गुणा

बहुपदों (Polynomials) के लिए, उनकी घात (degree) के आधार पर उन्हें अलग-अलग हिस्सों में बाँटें। उदाहरण: $(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 4x + 5)$

इसे इस तरह ग्रुप करें: $(A + 3)(B + 5)$, जहाँ $A = x^2 + 2x$, $B = x^2 + 4x$

लेकिन यह तो बस बहुपदों पर लागू किया गया 'ऊर्ध्व-तिर्यक' तरीका है।

1.6 — ऊर्ध्व विधि से बहुपदों का गुणा

सिद्धांत

ऊर्ध्व पैटर्न बहुपदों के लिए भी ठीक वैसे ही काम करता है, जैसे यह संख्याओं के लिए करता है। हर पद के गुणांक को एक "अंक" (digit) और $x$ की घात को "स्थानीय मान" (place value) मानें।

उदाहरण 1: $(2x + 3)(4x + 5)$

यह बहुपद रूप में 2-अंकीय × 2-अंकीय गुणा है:

उत्तर = $8x^2 + 22x + 15$

उदाहरण 2: $(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 4x + 5)$

आइए, मैं 3×3 ऊर्ध्व पैटर्न का इस्तेमाल करूँ:

A: a₂=1, a₁=2, a₀=3 B: b₂=1, b₁=4, b₀=5

उत्तर = $x^4 + 6x^3 + 16x^2 + 22x + 15$

उदाहरण 3: $(3x^3 + 2x^2 + x + 4)(2x^2 + 5x + 1)$

सबसे पहले, दूसरे बहुपद को 4 अंकों तक पैड करें: $(0x^3 + 2x^2 + 5x + 1)$

A: a₃=3, a₂=2, a₁=1, a₀=4 B: b₃=0, b₂=2, b₁=5, b₀=1

उत्तर = $6x^5 + 19x^4 + 15x^3 + 15x^2 + 21x + 4$

1.7 — विन्कुलम गुणन

विन्कुलम (बार संख्याएँ) की समीक्षा

विन्कुलम या बार संख्या एक ऐसा अंक होता है जिसके ऊपर एक बार (रेखा) लगी होती है (जैसे, $\bar{3}$), जिसका अर्थ ऋणात्मक (-3) होता है।

विन्कुलम की सहायता से हम बड़े अंकों वाली संख्याओं को छोटे अंकों वाली संख्याओं में बदल सकते हैं, जिससे गुणन करना आसान हो जाता है।

विन्कुलम में बदलना

उदाहरण: 98 = 100 − 2 = $1\bar{2}$ (लेकिन सही स्थानीय मान के साथ)

असल में, 98 = 9|8. बदलने के लिए:

• 8 ठीक है
• 9 = 10 − 1 → दहाई के स्थान पर $1\bar{1}$ बन जाता है
• तो 98 = $1\bar{1}8$? इसका मतलब है 100 − 10 + 8? नहीं — मुझे व्यवस्थित तरीके से करने दें।

सही विंकुलम रूपांतरण:

98 जैसी संख्या में अंक (9,8) होते हैं। क्योंकि 9, 10 के करीब है, इसलिए लिखें: $98 = 10\bar{2}$? मुझे याद करने दें:

98 = 100 − 2. 3-अंकीय रूप में: 0,9,8 → 1,0,−2 → $10\bar{2}$ (मतलब 100 − 2)

मानक विधि का उपयोग करना बेहतर है: किसी भी अंक > 5 के लिए, d को d-10 से बदलें और बाईं ओर के पड़ोसी अंक में 1 जोड़ें।

98 के लिए:

• 8 ≤ 5? नहीं, 8>5 → 8-10 = −2 (बार 2), दहाई के स्थान पर 1 हासिल (carry) लें।
• 9 + 1 (हासिल) = 10 → 10-10=0 (बार 0? असल में 10, 0 बन जाता है और सैकड़े के स्थान पर 1 हासिल चला जाता है)।
• तो 98 = $10\bar{2}$ ✓

विन्कुलम गुणा का उदाहरण

उदाहरण: विन्कुलम का उपयोग करके 98 × 97

विन्कुलम में बदलें:

• 98 = $10\bar{2}$ (मतलब 100 − 2)
• 97 = $10\bar{3}$ (मतलब 100 − 3)

अब निखिलम विधि का उपयोग करके गुणा करें (जो पहले से ही इस अवधारणा का उपयोग करती है):

(100 − 2)(100 − 3) = 10000 − 500 + 6 = 9506 ✓

विन्कुलम रूप बस कमी (deficiency) को स्पष्ट कर देता है।

अधिक जटिल विन्कुलम उदाहरण

उदाहरण: 123 × 98

सबसे पहले, अगर मददगार हो तो 123 को विन्कुलम में बदलें? 123 ठीक है।

98 = $10\bar{2}$

अब गुणा करें: 123 × (100 − 2) = 12300 − 246 = 12054

लेकिन विन्कुलम अंकों के साथ ऊर्ध्व विधि का उपयोग करते समय ऋणात्मक अंकों को सावधानी से संभालना पड़ता है।

व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, बार अंकों (bar digits) के साथ सीधे गुणा करने के बजाय, मानक वैदिक विधियों को लागू करने से पहले संख्याओं को सरल बनाने के लिए विन्कुलम का उपयोग करें।

1.8 — मिश्रित आधार (Mixed Base) गुणा

अवधारणा

कभी-कभी दो संख्याएँ अलग-अलग आधारों (bases) के करीब होती हैं। उदाहरण के लिए:

• 98, 100 के करीब है
• 7, 10 के करीब है

हमें एक ऐसी विधि की आवश्यकता है जो अलग-अलग संदर्भ आधारों (reference bases) को संभाल सके।

विधि: एक आधार चुनें, दूसरे को समायोजित करें

मान लीजिए Base₁ = 100, Base₂ = 10 है। दोनों को एक सामान्य आधार (आमतौर पर बड़े आधार) में बदलें। उदाहरण: 98 × 7

तरीका 1: 98 के लिए आधार 100 का इस्तेमाल करें, 7 को उसी अनुपात में समायोजित करें:

• 98 = 100 − 2
• 7 = 7 (100 के सापेक्ष? 7 = 0.07×100)
• यह सीधा-सीधा नहीं है।

बेहतर तरीका: छोटे आधार को ही काम करने वाले आधार के रूप में इस्तेमाल करें।

उदाहरण: 98 × 7 (आधार 10)

98 को (100 − 2) के रूप में लिखें। लेकिन 7, 10 के करीब है।

वैकल्पिक रूप से, 7 के लिए आधार 10 के साथ निखिलम विधि का इस्तेमाल करें और 98 को समायोजित करें:

98 × 7 = 98 × (10 − 3) = 980 − 294 = 686

यह केवल वितरण गुण (distributive property) है।

मानक मिश्रित आधार सूत्र

जब $N_1$ (आधार $B_1$ के करीब) और $N_2$ (आधार $B_2$ के करीब) का गुणा किया जाता है:

मान लीजिए $d_1 = B_1 − N_1$, $d_2 = B_2 − N_2$

तो $N_1 \times N_2 = (B_1 − d_1)(B_2 − d_2) = B_1B_2 − B_1d_2 − B_2d_1 + d_1d_2$

उदाहरण: 98 × 7

$B_1=100, d_1=2; $B_2=10, d_2=3$

$= 100×10 − 100×3 − 10×2 + 2×3$ $= 1000 − 300 − 20 + 6 = 686$ ✓

उदाहरण: 103 × 12

$B_1=100, d_1=−3$ (अधिशेष, इसलिए ऋणात्मक कमी) $B_2=10, d_2=−2$

$= 100×10 − 100×(−2) − 10×(−3) + (−3)×(−2)$ $= 1000 + 200 + 30 + 6 = 1236$ ✓

जाँच: 103 × 12 = 1236 ✓

1.9 — वैदिक विधियों का उपयोग करके दशमलव का गुणन

रणनीति 1: दशमलव को नज़रअंदाज़ करें, फिर उसे वापस लगाएँ

पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा करें, फिर 10 की उचित घात से भाग दें।

उदाहरण: 1.23 × 4.5

• 123 × 45 = 5535
• 1.23 में 2 दशमलव स्थान हैं, 4.5 में 1 दशमलव स्थान है → कुल 3 दशमलव स्थान
• उत्तर = 5.535

रणनीति 2: दशमलव स्थानों के साथ सीधे 'ऊर्ध्व' विधि का उपयोग करें

दशमलव स्थानों को ऋणात्मक सूचकांक वाले स्थानों के रूप में मानें।

उदाहरण: 1.23 × 4.5

इस तरह लिखें: 1.23 = 1 + 0.2 + 0.03, 4.5 = 4 + 0.5

'ऊर्ध्व' पैटर्न लागू करें:

जोड़: 4 + 1.3 = 5.3, +0.22 = 5.52, +0.015 = 5.535 ✓

रणनीति 3: भिन्नों में बदलें

$1.23 × 4.5 = \frac{123}{100} × \frac{45}{10} = \frac{5535}{1000} = 5.535$

यह अक्सर सबसे आसान तरीका होता है।

उदाहरण: 0.97 × 0.96

आधार 1 के साथ निखिलम का उपयोग करके:

• 0.97 = 1 − 0.03, 0.96 = 1 − 0.04
• (1−0.03)(1−0.04) = 1 − 0.07 + 0.0012 = 0.9312 ✓

1.10 — सबसे सही तरीका चुनना

| समस्या का प्रकार | सबसे| तरीका | क्यों | |--------------|-------------|-----| | दोनों एक ही आधार (10, 100, 1000) के पास हों | निखिलम | सबसे तेज़ (3 चरण) | | एक संख्या में कई 9 हों | एकन्यून | सीधा फ़ॉर्मूला | | जिन संख्याओं के अंत में 5 हो | एकाधिक | केवल वर्ग करने के लिए | | सामान्य 2-3 अंकों की संख्याएँ | ऊर्ध्व | सार्वभौमिक | | बड़ी संख्याएँ (4+ अंक) | ऊर्ध्व + विंकुलम | व्यवस्थित | | अंकों की संख्या अलग-अलग हो | शून्य के साथ ऊर्ध्व | हमेशा काम करता है | | अलग-अलग आधार हों | मिश्रित आधार फ़ॉर्मूला | सभी स्थितियों को संभालता है | | दशमलव वाली संख्याएँ | दशमलव को नज़रअंदाज़ करें → वैदिक विधि → दशमलव को वापस लगाएँ | सबसे सरल |

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: 4-अंक × 4-अंक ऊर्ध्व विधि

उदाहरण 1

प्रश्न: ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम विधि का उपयोग करके 2345 × 6789 का गुणनफल ज्ञात करें।

उत्तर:

A = 2,3,4,5 | B = 6,7,8,9

नीचे से पढ़ने पर: 15,9,2,0,2,0,5 = 15,920,205

जाँच: 2345 × 6789 = 15,920,205 ✓

उदाहरण 2

प्रश्न: 4321 × 1234 का गुणा करें।

उत्तर:

A = 4,3,2,1 | B = 1,2,3,4

खंड B: 5-अंक × 5-अंक ऊर्ध्व

उदाहरण 3

प्रश्न: 11111 × 11111 का गुणा करें।

उत्तर:

A = 1,1,1,1,1 | B = 1,1,1,1,1

क्योंकि सभी अंक 1 हैं, इसलिए प्रत्येक चरण उस चरण पर उत्पादों की संख्या ही होता है।

उत्तर = 123,454,321? रुकिए: 1,2,3,4,5,4,3,2,1 = 123,454,321

जाँच: 11111² = 123,454,321 ✓

उदाहरण 4

प्रश्न: 12345 × 12345 (वर्ग) का गुणा करें।

उत्तर:

A = 1,2,3,4,5 | B = 1,2,3,4,5

उत्तर = 152,399,025? रुकिए: 1,5,2,3,9,9,0,2,5 = 152,399,025

जाँच: 12345² = 152,399,025 ✓

भाग C: अलग-अलग अंकों की संख्याएँ

उदाहरण 5

प्रश्न: 12345 × 89 का गुणा करें।

उत्तर:

89 को 00089 (5 अंक) के रूप में लिखें

A = 1,2,3,4,5 B = 0,0,0,8,9

उत्तर = 1,098,705? पढ़ना: 1,0,9,8,7,0,5 = 1,098,705

जाँच: 12345 × 89 = 1,098,705 ✓

उदाहरण 6

प्रश्न: 999 × 12 का गुणा करें (3-अंक × 2-अंक)।

उत्तर:

विधि 1: 999 × 12 = 999 × (10 + 2) = 9990 + 1998 = 11,988

विधि 2 (पैडिंग के साथ ऊर्ध्व):

A = 9,9,9; B = 0,1,2

उत्तर = 11,988 ✓

खंड D: बहुपद का गुणन

उदाहरण 7

प्रश्न: $(2x^2 + 3x + 4)(x^2 + 5x + 6)$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

A: a₂=2, a₁=3, a₀=4 B: b₂=1, b₁=5, b₀=6

उत्तर = $2x^4 + 13x^3 + 31x^2 + 38x + 24$

उदाहरण 8

प्रश्न: $(3x + 2)(4x^2 + 5x + 6)$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए। उत्तर:

पहले बहुपद को पैड करें: $(0x^2 + 3x + 2)$

A: a₂=0, a₁=3, a₀=2 B: b₂=4, b₁=5, b₀=6

उत्तर = $12x^3 + 23x^2 + 28x + 12$

खंड E: मिश्रित आधार गुणन

उदाहरण 9

प्रश्न: मिश्रित आधार सूत्र का उपयोग करके 98 × 15 का गुणन करें।

उत्तर:

आधार₁ = 100 (98 के लिए), d₁ = 2 आधार₂ = 10 (15 के लिए), d₂ = −5 (क्योंकि 15 = 10 + 5, इसलिए कमी ऋणात्मक है)

सूत्र: $B_1B_2 − B_1d_2 − B_2d_1 + d_1d_2$

$= 100×10 − 100×(−5) − 10×2 + (2×(−5))$ $= 1000 + 500 − 20 − 10 = 1470$ ✓

जाँच: 98 × 15 = 1470 ✓

उदाहरण 10

प्रश्न: मिश्रित आधार का उपयोग करके 103 × 98 का ​​गुणन करें।

उत्तर:

आधार₁ = 100, d₁ = −3 (103 = 100 + 3) आधार₂ = 100, d₂ = 2 (98 = 100 − 2)

लेकिन दोनों आधार 100 हैं! यह मानक निखिलम विधि है। $= 100×100 − 100×2 − 100×(−3) + (−3)×2$ $= 10000 − 200 + 300 − 6 = 10094$ ✓

जाँच: 103 × 98 = 10,094 ✓

खंड F: दशमलव गुणा

उदाहरण 11

प्रश्न: 1.23 × 4.5 का गुणा करें।

उत्तर: (सिद्धांत भाग में पहले ही किया जा चुका है)

$1.23 × 4.5 = \frac{123}{100} × \frac{45}{10} = \frac{5535}{1000} = 5.535$

उदाहरण 12

प्रश्न: 0.97 × 0.96 का गुणा करें।

उत्तर:

आधार 1 के साथ निखिलम विधि का उपयोग करने पर: $0.97 = 1 − 0.03$, $0.96 = 1 − 0.04$ $(1−0.03)(1−0.04) = 1 − 0.07 + 0.0012 = 0.9312$ ✓

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: 4-अंकीय × 4-अंकीय गुणा (10 प्रश्न)

ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यां विधि का उपयोग करें।

A1. 1234 × 4321 A2. 2345 × 5432 A3. 3456 × 6543 A4. 4567 × 7654 A5. 5678 × 8765 A6. 1111 × 2222 A7. 9999 × 1111 A8. 1357 × 2468 A9. 8642 × 1357 A10. 9876 × 5432

अभ्यास सेट B: 5-अंकों × 5-अंकों का गुणा (5 प्रश्न)

B1. 12345 × 54321 B2. 11111 × 11111 B3. 22222 × 33333 B4. 12345 × 12345 B5. 98765 × 56789

अभ्यास सेट C: अलग-अलग अंकों की संख्या (10 प्रश्न)

C1. 123 × 45 C2. 1234 × 56 C3. 12345 × 78 C4. 123456 × 12 C5. 999 × 99 C6. 9999 × 999 C7. 1001 × 99 C8. 12345 × 9 C9. 98765 × 11 C10. 100000 × 9999

अभ्यास सेट D: बहुपद का गुणा (10 प्रश्न)

गुणनफल को एक बहुपद के रूप में लिखें।

D1. $(x + 2)(x + 3)$ D2. $(2x + 5)(3x + 4)$ D3. $(x^2 + 2x + 1)(x^2 + 3x + 2)$ D4. $(2x^2 + 3x + 4)(x^2 + 5x + 6)$ D5. $(3x^3 + 2x^2 + x + 1)(x^2 + 2x + 3)$ D6. $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 1)$ D7. $(x + 1)(x^3 + x^2 + x + 1)$ D8. $(2x - 1)(3x + 2)$ (ऋणात्मक गुणांक पर ध्यान दें) D9. $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$ D10. $(a + b + c)(a + b - c)$

अभ्यास सेट E: मिश्रित आधार गुणन (10 प्रश्न)

E1. 97 × 15 (आधार 100 और आधार 10 का उपयोग करें) E2. 98 × 12 E3. 96 × 14 E4. 103 × 25 E5. 104 × 18 E6. 95 × 105 E7. 101 × 99 E8. 102 × 98 E9. 98 × 98 E10. 997 × 25

अभ्यास सेट F: विन्कुलम और दशमलव गुणन (10 प्रश्न)

F1. 98 × 97 (पुष्टि के लिए विन्कुलम का उपयोग करें) F2. 1.23 × 1.23 F3. 0.95 × 0.96 F4. 1.05 × 1.04 F5. 0.99 × 0.98 F6. 12.3 × 4.5 F7. 0.123 × 0.456 F8. 1.001 × 0.999 F9. 9.99 × 8.88 F10. 0.12345 × 0.54321

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर (4×4):

A1. 5,330,114
A2. 12,744,440
A3. 22,618,008
A4. 34,949,578
A5. 49,759,420
A6. 2,469,642
A7. 11,108,889
A8. 3,348,236
A9. 11,736,194
A10. 53,647,232

सेट B के उत्तर (5×5):

B1. 670,592,745
B2. 123,454,321
B3. 740,722,926
B4. 152,399,025
B5. 5,607,384,785

सेट C के उत्तर (अलग-अलग अंक):

C1. 5,535
C2. 69,104
C3. 962,910
C4. 1,481,472
C5. 98,901
C6. 9,989,001
C7. 99,099
C8. 111,105
C9. 1,086,415
C10. 999,900,000

सेट D के उत्तर (बहुपद):

D1. $x^2 + 5x + 6$
D2. $6x^2 + 23x + 20$
D3. $x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 7x + 2$
D4. $2x^4 + 13x^3 + 31x^2 + 38x + 24$
D5. $3x^5 + 8x^4 + 14x^3 + 12x^2 + 5x + 3$
D6. $x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x$
D7. $x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1$
D8. $6x^2 + x - 2$
D9. $x^3 + y^3$
D10. $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

सेट E के उत्तर (मिश्रित आधार):

E1. 1,455
E2. 1,176
E3. 1,344
E4. 2,575
E5. 1,872
E6. 9,975
E7. 9,999
E8. 9,996
E9. 9,604
E10. 24,925

सेट F के उत्तर (विन्कुलम और दशमलव):

F1. 9,506
F2. 1.5129
F3. 0.912
F4. 1.092
F5. 0.9702
F6. 55.35
F7. 0.056088
F8. 0.999999
F9. 88.7112
F10. 0.006705...

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका

सामान्य गलतियाँ और सुधार

त्वरित संदर्भ कार्ड

╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║                    मॉड्यूल 11 — ऊर्ध्व विस्तारित चीट शीट            ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║                                                                       ║
║  4-अंकीय ऊर्ध्व पैटर्न:                                              ║
║S1: a₀×b₀                                                            ║
║  S2: a₁×b₀ + a₀×b₁                                                    ║
║  S3: a₂×b₀ + a₁×b₁ + a₀×b₂                                            ║
║  S4: a₃×b₀ + a₂×b₁ + a₁×b₂ + a₀×b₃                                    ║
║  S5: a₃×b₁ + a₂×b₂ + a₁×b₃                                            ║
║  S6: a₃×b₂ + a₂×b₃                                                    ║
║  S7: a₃×b₃                                                            ║
║                                                                       ║
║  अलग-अलग अंक: छोटी संख्या के आगे शून्य (zeros) लगाकर उसे पूरा करें              ║
║                                                                       ║
║  मिश्रित आधार (Mixed Base): N₁×N₂ = B₁B₂ − B₁d₂ − B₂d₁ + d₁d₂                       ║
║                                                                       ║
║  दशमलव: पूर्णांकों की तरह गुणा करें → फिर दशमलव लगाएँ                       ║
║                                                                       ║
║  सूत्र 11: व्यष्टि समष्टि — अंश और पूर्ण                         ║
║                                                                       ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

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