🕉️ वैदिक गणित — लेवल 2: इंटरमीडिएट
मॉड्यूल 16: गुणनखंडन और बीजीय गुणनफल
संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक
"गुणखंडन वह कला है जिसमें किसी पूर्ण चीज़ को उसके हिस्सों के गुणनफल के रूप में देखा जाता है। सूत्र, बीजीय व्यंजकों के भीतर छिपी संरचना को उजागर करते हैं।" — वैदिक गणित शिक्षक नियमावली
📋 मॉड्यूल पर एक नज़र
| विषय | विवरण |
|---|---|
| लेवल | इंटरमीडिएट (लेवल 2) |
| मॉड्यूल संख्या | 10 में से 16 (लेवल 2, मॉड्यूल 6) |
| लक्षित आयु | 13–16 वर्ष (कक्षा 8–10 के छात्र) |
| अवधि | 5–6 घंटे (सिद्धांत: 2 घंटे, अभ्यास: 2 घंटे, टेस्ट: 1 घंटा) |
| पूर्व-आवश्यकताएँ | लेवल 1 पूरा होना, बुनियादी बीजगणित (चर, घातांक), मॉड्यूल 11 (ऊर्ध्व), मॉड्यूल 8 (अंकीय मूल) |
| सूत्रों पर ज़ोर | सूत्र 3 — ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्; सूत्र 4 — परावर्त्य योजयेत्; सूत्र 15 और 16 — गुणितसमुच्चयः |
| अगला मॉड्यूल | मॉड्यूल 17: वैदिक कैलकुलस — अवकलन और समाकलन |
🎯 सीखने के परिणाम
इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र ये कर पाएंगे:
- वैदिक मध्य-पद विभाजन विधि का उपयोग करके 10 सेकंड से भी कम समय में द्विघात व्यंजकों का गुणनखंड करना।
- विशेष मामलों का गुणनखंड करने के लिए 'आद्यमाद्येन' (पहला पद पहले से, अंतिम पद अंतिम से) विधि लागू करना।
- 'ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यां' विधि का उपयोग करके किन्हीं भी दो द्विपदों का मानसिक रूप से गुणन करना।
- विस्तारित 'ऊर्ध्व' पैटर्न का उपयोग करके दो त्रिपदों का गुणन करना।
- 'परावर्त्य' (स्थानान्तरण) विधि का उपयोग करके त्रिघात बहुपदों का गुणनखंड करना।
- वैदिक विधि ('चलन-कलनभ्यां') का उपयोग करके बहुपदों का HCF (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करना।
- 'गुणितसमुच्चयः' (गुणांकों का योग) का उपयोग करके गुणनखंड परिणामों का सत्यापन करना।
- सूत्र 16 का उपयोग करके गुणांकों और गुणनखंडों के बीच के संबंध को पहचानना।
भाग 1: सिद्धांत
1.1 — वैदिक गुणनखंड का परिचय
गुणनखंड क्या है?
गुणनखंड (Factorization) एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें किसी बीजीय व्यंजक को सरल व्यंजकों (गुणनखंडों) के गुणनफल के रूप में तोड़ा जाता है।
उदाहरण: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$
वैदिक गुणनखंड क्यों अलग है?
| पारंपरिक विधि | वैदिक विधि |
|---|---|
| प्रयास और त्रुटि (Trial and error) या द्विघात सूत्र | सीधे पैटर्न की पहचान |
| कई चरण, अधिक समय लेने वाली | एक-चरणीय मानसिक गणना |
| कई संभावनाओं को लिखने की आवश्यकता | गुणांकों के संबंधों का उपयोग |
| सत्यापन अलग से करना पड़ता है | सूत्रों के माध्यम से अंतर्निहित सत्यापन |
1.2 — इस मॉड्यूल में प्रयुक्त सूत्र
| सूत्र | संस्कृत | हिंदी अर्थ | अनुप्रयोग |
|---|---|---|---|
| 3 | ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्यां | ऊर्ध्वाधर और तिर्यक (आड़ा-तिरछा) | द्विपदों/त्रिपदों का गुणनफल |
| 4 | परावर्त्य योजयेत् | स्थानान्तरण करके लागू करना | त्रिघात व्यंजकों का गुणनखंड; समीकरणों को हल करना |
| 15 | गुणितसमुच्चयः | योगों का गुणनफल = गुणनफलों का योग | गुणनखंडों का सत्यापन |
| 16 | गुणकसमुच्चयः | योग के गुणनखंड = गुणनखंडों का योग | गुणांकों के बीच संबंध |
1.3 — द्विघात व्यंजकों का गुणनखंडन: वैदिक विधि
मानक रूप
एक द्विघात व्यंजक के लिए: $ax^2 + bx + c$ (जहाँ a ≠ 0)
वैदिक सिद्धांत
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका:
- गुणनफल = $a \times c$
- योग = $b$
फिर मध्य पद $bx$ को इन दोनों संख्याओं के योग (गुणा x) के रूप में विभाजित करें, और समूहन द्वारा गुणनखंडन करें। ### उदाहरण 1: $x^2 + 7x + 12$
यहाँ a=1, b=7, c=12
गुणनफल = a×c = 1×12 = 12 योग = b = 7
दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करें जिनका गुणनफल 12 और योग 7 हो: 3 और 4
इसलिए: $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$ ✓
उदाहरण 2: $x^2 + 5x + 6$
गुणनफल = 6, योग = 5 → संख्याएँ: 2 और 3
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ ✓
उदाहरण 3: $x^2 - 5x + 6$
गुणनफल = 6, योग = -5 → संख्याएँ: -2 और -3 (क्योंकि -2 × -3 = 6, -2 + -3 = -5)
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ ✓
उदाहरण 4: $x^2 + x - 6$
गुणनफल = -6, योग = 1 → संख्याएँ: 3 और -2 (3 × -2 = -6, 3 + (-2) = 1)
$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ ✓
उदाहरण 5: $2x^2 + 7x + 3$
यहाँ a=2, b=7, c=3
गुणनफल = a × c = 2 × 3 = 6 योग = b = 7
दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करें जिनका गुणनफल 6 और योग 7 हो: 1 और 6
मध्य पद को विभाजित करें: $2x^2 + 1x + 6x + 3$ समूह बनाएँ: $x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3)$ ✓
उदाहरण 6: $6x^2 + 13x + 6$
गुणनफल = 6 × 6 = 36 योग = 13 संख्याएँ: 4 और 9 (4×9=36, 4+9=13)
विभाजन: $6x^2 + 4x + 9x + 6$ समूहीकरण: $2x(3x + 2) + 3(3x + 2) = (3x + 2)(2x + 3)$ ✓
उदाहरण 7: $4x^2 - 19x + 12$
गुणनफल = 4 × 12 = 48 योग = -19 संख्याएँ: -3 और -16 (-3 × -16 = 48, -3 + -16 = -19)
विभाजन: $4x^2 - 3x - 16x + 12$ समूहीकरण: $x(4x - 3) - 4(4x - 3) = (4x - 3)(x - 4)$ ✓
1.4 — आद्यमाद्येन विधि (पहले को पहले से, अंतिम को अंतिम से)
उप-सूत्र: आद्यमाद्येनान्त्यमन्त्येन
| संस्कृत | लिप्यंतरण | अंग्रेजी अर्थ |
|---|---|---|
| आद्यमाद्येनान्त्यमन्त्येन | Adyamadyena Antyamantyena | पहले को पहले से और अंतिम को अंतिम से |
गुणनखंडन में अनुप्रयोग
किसी द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ के लिए, यदि इसका गुणनखंड $(px + q)(rx + s)$ के रूप में होता है, तो:
- $p \times r = a$ (पहले को पहले से)
- $q \times s = c$ (अंतिम को अंतिम से)
- $p \times s + q \times r = b$ (तिर्यक पद)
इससे हमें एकव्यवस्थित खोज विधि:
चरण 1: a के गुणनखंड युग्म (p और r) ज्ञात करें। चरण 2: c के गुणनखंड युग्म (q और s) ज्ञात करें। चरण 3: जाँचें कि कौन सा संयोजन $ps + qr = b$ देता है।
उदाहरण: $6x^2 + 13x + 6$
6 (a) के गुणनखंड युग्म: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1) 6 (c) के गुणनखंड युग्म: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1)
जाँच (p=2, r=3) और (q=3, s=2): क्रॉस पद: $p \times s + q \times r = 2×2 + 3×3 = 4 + 9 = 13$ ✓
अतः: $(2x + 3)(3x + 2)$ ✓
1.5 — ऊर्ध्व विधि का उपयोग करके दो द्विपदों का गुणनफल
द्विपदों के लिए ऊर्ध्व पैटर्न
$(px + q)(rx + s)$ के लिए:
| चरण | गणना | स्थान |
|---|---|---|
| 1 | $p \times r$ | $x^2$ का गुणांक |
| 2 | $p \times s + q \times r$ | $x$ का गुणांक |
| 3 | $q \times s$ | अचर पद |
- $x^2$: $2×4 = 8$
- $x$: $2×5 + 3×4 = 10 + 12 = 22$
- अचर पद: $3×5 = 15$
परिणाम: $8x^2 + 22x + 15$
उदाहरण 2: $(3x - 2)(5x + 4)$
- $x^2$: $3×5 = 15$
- $x$: $3×4 + (-2)×5 = 12 - 10 = 2$
- अचर पद: $(-2)×4 = -8$
परिणाम: $15x^2 + 2x - 8$
उदाहरण 3: $(x + 3)(x - 5)$
- $x^2$: $1×1 = 1$
- $x$: $1×(-5) + 3×1 = -5 + 3 = -2$
- अचर पद: $3×(-5) = -15$
परिणाम: $x^2 - 2x - 15$
1.6 — ऊर्ध्व विधि का उपयोग करके दो त्रिपदों का गुणनफल
3×3 ऊर्ध्व पैटर्न
$(a_2x^2 + a_1x + a_0)(b_2x^2 + b_1x + b_0)$ के लिए:
| चरण | गणना | x की घात |
|---|---|---|
| S1 | $a_0 \times b_0$ | $x^0$ |
| S2 | $a_1b_0 + a_0b_1$ | $x^1$ |
| S3 | $a_2b_0 + a_1b_1 + a_0b_2$ | $x^2$ |
| S4 | $a_2b_1 + a_1b_2$ | $x^3$ |
| S5 | $a_2b_2$ | $x^4$ |
उदाहरण: $(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 4x + 5)$
| चरण | गणना | परिणाम |
|---|---|---|
| S1: अचर पद | $3×5 = 15$ | 15 |
| S2: x¹ | $2×5 + 3×4 = 10 + 12 = 22$ | 22x |
| S3: x² | $1×5 + 2×4 + 3×1 = 5 + 8 + 3 = 16$ | 16x² |
| S4: x³ | $1×4 + 2×1 = 4 + 2 = 6$ | 6x³ |
| S5: x⁴ | $1×1 = 1$ | 1x⁴ |
परिणाम: $x^4 + 6x^3 + 16x^2 + 22x + 15$
उदाहरण 2: $(2x^2 + 3x + 4)(x^2 + 5x + 6)$
| चरण | गणना | परिणाम |
|---|---|---|
| S1: $4×6 = 24$ | 24 | |
| S2: $3×6 + 4×5 = 18 + 20 = 38$ | 38x | |
| S3: $2×6 + 3×5 + 4×1 = 12 + 15 + 4 = 31$ | 31x² | |
| S4: $2×5 + 3×1 = 10 + 3 = 13$ | 13x³ | |
| S5: $2×1 = 2$ | 2x⁴ | परिणाम: $2x^4 + 13x^3 + 31x^2 + 38x + 24$ |
1.7 — त्रिघाती व्यंजकों का गुणनखंडन: परावर्त्य विधि
सूत्र 4: परावर्त्य योजयेत् (स्थानांतरित करें और लागू करें)
एक त्रिघाती व्यंजक $ax^3 + bx^2 + cx + d$ का गुणनखंडन करने के लिए, हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:
चरण 1: परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करके एक गुणनखंड ज्ञात करें (संभावित मूल = d के गुणनखंड / a के गुणनखंड)
चरण 2: त्रिघाती व्यंजक को उस गुणनखंड से विभाजित करने के लिए संश्लिष्ट विभाजन (परावर्त्य) का उपयोग करें
चरण 3: परिणामी द्विघाती व्यंजक का गुणनखंडन करें
उदाहरण 1: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
संभावित मूल (6 के गुणनखंड): ±1, ±2, ±3, ±6
x=1 पर जाँच: $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓ (x-1) एक गुणनखंड है
परावर्त्य (संश्लिष्ट विभाजन) का उपयोग करें:
गुणांक: 1, -6, 11, -6 1 को नीचे लाएँ 1 × 1 = 1 → इसे -6 में जोड़ें = -5 -5 × 1 = -5 → इसे 11 में जोड़ें = 6 6 × 1 = 6 → इसे -6 में जोड़ें = 0
भागफल: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
अतः: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ ✓
उदाहरण 2: $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$
संभावित मूल (12 के गुणनखंड): ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
x=2 पर जाँच: $8 - 12 - 8 + 12 = 0$ ✓ (x-2) एक गुणनखंड है
मूल के साथ संश्लिष्ट विभाजन 2:
गुणांक: 1, -3, -4, 12 1 को नीचे लाएँ 1×2=2 → -3 में जोड़ें = -1 -1×2=-2 → -4 में जोड़ें = -6 -6×2=-12 → 12 में जोड़ें = 0
भागफल: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$
इसलिए: $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 2)(x - 3)(x + 2)$ ✓
उदाहरण 3: $2x^3 + 3x^2 - 23x - 12$
संभावित मूल (-12 के गुणनखंड / 2 के गुणनखंड): ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, ±1/2, ±3/2, आदि।
x=3 पर जाँच: $2×27 + 3×9 - 23×3 - 12 = 54 + 27 - 69 - 12 = 0$ ✓ (x-3) एक गुणनखंड है
मूल 3 के साथ सिंथेटिक विभाजन:
गुणांक: 2, 3, -23, -12 2 को नीचे लाएँ 2×3=6 → 3 में जोड़ें = 9 9×3=27 → -23 में जोड़ें = 4 4×3=12 → -12 में जोड़ें = 0
भागफल: $2x^2 + 9x + 4 = (2x + 1)(x + 4)$
इसलिए: $2x^3 + 3x^2 - 23x - 12 = (x - 3)(2x + 1)(x + 4)$ ✓
1.8 — वैदिक विधि का उपयोग करके बहुपदों का HCF
सूत्र 9: चलनकलनभ्याम (अंतर)
दो बहुपदों का HCF (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए:
विधि: एक बहुपद के गुणजों को क्रमिक रूप से घटाएँ एक बहुपद को दूसरे बहुपद से तब तक घटाते रहें, जब तक कि शेषफल दोनों का गुणनखंड न बन जाए।
उदाहरण: $x^2 + 5x + 6$ और $x^2 + 4x + 3$ का HCF ज्ञात करें।
घटाएँ: $(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 4x + 3) = x + 3$
जाँचें कि क्या $(x+3)$ दोनों को विभाजित करता है:
- $x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)$ ✓
- $x^2 + 4x + 3 = (x+3)(x+1)$ ✓
HCF = $x + 3$
उदाहरण: $x^3 - x^2 - 5x - 3$ और $x^2 - 4x - 5$ का HCF ज्ञात करें।
सबसे पहले, यदि संभव हो तो प्रत्येक का गुणनखंड करें। या बार-बार घटाने की विधि का उपयोग करें।
बेहतर विधि: क्रमिक अंतरों की वैदिक विधि का उपयोग करें।
लेकिन बहुपदों के लिए, गुणनखंड करना अक्सर अधिक सरल होता है। आइए, मैं आपको व्यवस्थित विधि दिखाता हूँ:
चरण 1: अधिक घात वाले बहुपद को कम घात वाले बहुपद से विभाजित करें।
$x^3 - x^2 - 5x - 3$ को $x^2 - 4x - 5$ से विभाजित करें:
भागफल ≈ x, शेषफल = $(x^3 - x^2 - 5x - 3) - x(x^2 - 4x - 5) = x^3 - x^2 - 5x - 3 - x^3 + 4x^2 + 5x = 3x^2 + 0x - 3 = 3(x^2 - 1)$अब $x^2 - 4x - 5$ और $x^2 - 1$ का HCF निकालें।
घटाएँ: $(x^2 - 4x - 5) - (x^2 - 1) = -4x - 4 = -4(x + 1)$
जाँचें कि क्या $(x+1)$ दोनों को विभाजित करता है:
- $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ ✓
- $x^2 - 4x - 5 = (x+1)(x-5)$ ✓
HCF = $x + 1$
1.9 — गुणितसमुच्चयः: गुणनखंडन का सत्यापन
सूत्र 15: गुणितसमुच्चयः
"योगों का गुणनफल, गुणनफलों के योग के बराबर होता है।"
गुणखंडन के सत्यापन के लिए:
- मूल बहुपद के गुणांकों का योग = (प्रत्येक गुणनखंड के गुणांकों के योग) का गुणनफल
उदाहरण 1: सत्यापित करें $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12$
मूल बहुपद के गुणांकों का योग: $1 + 7 + 12 = 20$ $(x+3)$ के गुणांकों का योग: $1 + 3 = 4$ $(x+4)$ के गुणांकों का योग: $1 + 4 = 5$ गुणनफल: $4 × 5 = 20$ ✓
उदाहरण 2: सत्यापित करें $(2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 7x + 3$
मूल बहुपद के गुणांकों का योग: $2 + 7 + 3 = 12$ गुणखंडों के गुणांकों का योग: $(2+1)=3$, $(1+3)=4$ गुणनफल: $3 × 4 = 12$ ✓
उदाहरण 3: सत्यापित करें $(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$
मूल बहुपद के गुणांकों का योग: $1 + 1 + (-6) = -4$ गुणखंडों के गुणांकों का योग: $(1-2)=-1$, $(1+3)=4$ गुणनफल: $(-1) × 4 = -4$ ✓
1.10 — गुणकसमुच्चयः: सहायक सूत्र
सूत्र 16: गुणकसमुच्चयः
"योग के गुणनखंडों का योग, गुणनखंडों के योग के बराबर होता है"
यह सूत्र 15 का विलोम है। यह बताता है कि गुणांकों के योग के गुणनखंड, गुणनखंडों के गुणांकों के योग के अनुरूप होते हैं।
अनुप्रयोग
एक बहुपद $P(x)$ के लिए, जिसके गुणनखंड $F_1(x), F_2(x), ..., F_n(x)$ हैं:
$$\text{P के गुणांकों का योग} = \prod_{i=1}^n (\text{F_i के गुणांकों का योग})$$
यह एक शक्तिशाली सत्यापन उपकरण प्रदान करता है, विशेष रूप से तब, जब दो से अधिक गुणनखंडों वाले बहुपदों का गुणनखंडन किया जा रहा हो।
उदाहरण: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$
मूल योग: $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ गुणनखंडों का योग: $(1-1)=0$, $(1-2)=-1$, $(1-3)=-2$ गुणनफल: $0 × (-1) × (-2) = 0$ ✓
भाग 2: हल किए गए उदाहरण
अनुभाग A: द्विघात बहुपदों का गुणनखंडन
उदाहरण 1
प्रश्न: $x^2 + 9x + 20$ का गुणनखंडन कीजिए।
उत्तर:
गुणनफल = 20, योग = 9 → संख्याएँ: 4 और 5
$x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)$ ✓
उदाहरण 2
प्रश्न: $x^2 - 8x + 15$ का गुणनखंडन कीजिए।
उत्तर:
गुणनफल = 15, योग = -8 → संख्याएँ: -3 और -5
$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$ ✓
उदाहरण 3
प्रश्न: $x^2 - 2x - 15$ का गुणनखंडन कीजिए। उत्तर:
गुणनफल = -15, योग = -2 → संख्याएँ: -5 और 3
$x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$ ✓
उदाहरण 4
प्रश्न: $3x^2 + 10x + 8$ का गुणनखंड करें।
उत्तर:
गुणनफल = 3 × 8 = 24, योग = 10 → संख्याएँ: 4 और 6
विभाजन: $3x^2 + 4x + 6x + 8$ समूहीकरण: $x(3x + 4) + 2(3x + 4) = (3x + 4)(x + 2)$ ✓
उदाहरण 5
प्रश्न: $6x^2 - 5x - 6$ का गुणनखंड करें।
उत्तर:
गुणनफल = 6 × (-6) = -36, योग = -5 → संख्याएँ: -9 और 4
विभाजन: $6x^2 - 9x + 4x - 6$ समूहीकरण: $3x(2x - 3) + 2(2x - 3) = (2x - 3)(3x + 2)$ ✓
उदाहरण 6
प्रश्न: $4x^2 + 12x + 9$ का गुणनखंड करें।
उत्तर:
गुणनफल = 4 × 9 = 36, योग = 12 → संख्याएँ: 6 और 6 (पूर्ण वर्ग)
विभाजन: $4x^2 + 6x + 6x + 9$ समूहीकरण: $2x(2x + 3) + 3(2x + 3) = (2x + 3)^2$ ✓
उदाहरण 7
प्रश्न: $8x^2 + 2x - 15$ का गुणनखंड करें। उत्तर:
गुणनफल = 8 × (-15) = -120, योग = 2 → संख्याएँ: 12 और -10
विभाजन: $8x^2 + 12x - 10x - 15$ समूहीकरण: $4x(2x + 3) - 5(2x + 3) = (2x + 3)(4x - 5)$ ✓
अनुभाग B: द्विपदों का गुणनफल
उदाहरण 8
प्रश्न: ऊर्ध्व विधि का उपयोग करके $(3x + 5)(2x + 7)$ का गुणा करें।
उत्तर:
- $x^2$: $3×2 = 6$
- $x$: $3×7 + 5×2 = 21 + 10 = 31$
- अचर पद: $5×7 = 35$
परिणाम: $6x^2 + 31x + 35$
उदाहरण 9
प्रश्न: $(4x - 3)(2x + 5)$ का गुणा करें।
उत्तर:
- $x^2$: $4×2 = 8$
- $x$: $4×5 + (-3)×2 = 20 - 6 = 14$
- अचर पद: $(-3)×5 = -15$
परिणाम: $8x^2 + 14x - 15$
उदाहरण 10
प्रश्न: $(x + 2)(x^2 + 3x + 4)$ का गुणा करें।
उत्तर: (द्विपद × त्रिपद)
वितरण नियम या पैडिंग (padding) के साथ ऊर्ध्व विधि का उपयोग करें: द्विपद को $(0x² + 1x + 2)$ के रूप में मानें।
| चरण | गणना | परिणाम |
|---|---|---|
| S1: $2×4 = 8$ | 8 | |
| S2: $1×4 + 2×3 = 4 + 6 = 10$ | 10x | |
| S3: $0×4 + 1×3 + 2×1 = 0 + 3 + 2 = 5$ | 5x² | |
| S4: $0×3 + 1×1 = 0 + 1 = 1$ | 1x³ | |
| S5: $0×1 = 0$ | 0 |
परिणाम: $x^3 + 5x^2 + 10x + 8$
खंड C: त्रिपदों का गुणनफल
उदाहरण 11
प्रश्न: $(2x^2 + x + 3)(x^2 + 2x + 4)$ का गुणा करें।
उत्तर:
| चरण | गणना | परिणाम |
|---|---|---|
| S1: $3×4 = 12$ | 12 | |
| S2: $1×4 + 3×2 = 4 + 6 = 10$ | 10x | |
| S3: $2×4 + 1×2 + 3×1 = 8 + 2 + 3 = 13$ | 13x² | |
| S4: $2×2 + 1×1 = 4 + 1 = 5$ | 5x³ | |
| S5: $2×1 = 2$ | 2x⁴ |
परिणाम: $2x^4 + 5x^3 + 13x^2 + 10x + 12$
उदाहरण 12
प्रश्न: $(x^2 - x + 2)(x^2 + x + 3)$ का गुणा करें।
उत्तर:
| चरण | गणना | परिणाम |
|---|---|---|
| S1: $2×3 = 6$ | 6 | |
| S2: $(-1)×3 + 2×1 = -3 + 2 = -1$ | -x | |
| S3: $1×3 + (-1)×1 + 2×1 = 3 - 1 + 2 = 4$ | 4x² | |
| S4: $1×1 + (-1)×1 = 1 - 1 = 0$ | 0x³ | |
| S5: $1×1 = 1$ | 1x⁴ |
परिणाम: $x^4 + 4x^2 - x + 6$
खंड D: त्रिघाती व्यंजकों का गुणनखंडन
उदाहरण 13
प्रश्न: $x^3 - 3x^2 - x + 3$ का गुणनखंडन कीजिए।
उत्तर:
संभावित मूल: ±1, ±3
x=1 पर जाँच: $1 - 3 - 1 + 3 = 0$ ✓ (x-1) एक गुणनखंड है
मूल 1 के साथ संश्लेषित विभाजन:
गुणांक: 1, -3, -1, 3 1 को नीचे उतारें 1×1=1 → -3 में जोड़ें = -2 -2×1=-2 → -1 में जोड़ें = -3 -3×1=-3 → 3 में जोड़ें = 0
भागफलnt: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$
इसलिए: $x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 1)(x - 3)(x + 1)$
उदाहरण 14
प्रश्न: $2x^3 + 5x^2 - 4x - 3$ का गुणनखंड करें।
उत्तर:
संभावित मूल: ±1, ±3, ±1/2, ±3/2
x=1 पर जाँच: $2 + 5 - 4 - 3 = 0$ ✓ (x-1) एक गुणनखंड है
सिंथेटिक विभाजन:
गुणांक: 2, 5, -4, -3 2 को नीचे लाएँ 2×1=2 → 5 में जोड़ें = 7 7×1=7 → -4 में जोड़ें = 3 3×1=3 → -3 में जोड़ें = 0
भागफल: $2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$
इसलिए: $2x^3 + 5x^2 - 4x - 3 = (x - 1)(2x + 1)(x + 3)$
उदाहरण 15
प्रश्न: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ का गुणनखंड करें। उत्तर:
संभावित मूल: ±1, ±2, ±3, ±6
x=1 की जाँच करें: $1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓
मूल 1 के साथ सिंथेटिक विभाजन:
गुणांक: 1, -2, -5, 6 1 को नीचे लाएँ 1×1=1 → -2 में जोड़ें = -1 -1×1=-1 → -5 में जोड़ें = -6 -6×1=-6 → 6 में जोड़ें = 0
भागफल: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$
इसलिए: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$
खंड E: गुणितसमुच्चय (Gunitasamuccayah) का उपयोग करके सत्यापन
उदाहरण 16
प्रश्न: सत्यापित करें कि $(3x + 1)(x - 2) = 3x^2 - 5x - 2$ है।
उत्तर:
मूल योग: $3 + (-5) + (-2) = -4$ गुणनखंडों का योग: $(3+1)=4$, $(1-2)=-1$ गुणनफल: $4 × (-1) = -4$ ✓
उदाहरण 17
प्रश्न: सत्यापित करें कि $(2x - 3)(x + 4)(x - 1) = 2x^3 + 3x^2 - 17x + 12$ है।
उत्तर:
मूल योग: $2 + 3 + (-17) + 12 = 0$ गुणनखंडों का योग: $(2-3)=-1$, $(1+4)=5$, $(1-1)=0$ गुणनफल: $(-1) × 5 × 0 = 0$ ✓
भाग 3: अभ्यास प्रश्न
अभ्यास सेट A: द्विघात व्यंजकों का गुणनखंडन (20 प्रश्न)
प्रत्येक द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें।
A1. $x^2 + 8x + 12$ A2. $x^2 + 10x + 21$ A3. $x^2 + 6x + 8$ A4. $x^2 - 7x + 12$ A5. $x^2 - 9x + 20$ A6. $x^2 - 5x + 6$ A7. $x^2 + 2x - 15$ A8. $x^2 - 3x - 10$ A9. $x^2 - 4x - 12$ A10. $x^2 + 5x - 24$ A11. $2x^2 + 5x + 2$ A12. $3x^2 + 10x + 3$ A13. $4x^2 + 11x + 6$ A14. $5x^2 + 14x + 8$ A15. $2x^2 - 5x - 3$ A16. $3x^2 - 8x - 3$ A17. $4x^2 - 11x - 3$ A18. $6x^2 - 7x - 5$ A19. $9x^2 + 12x + 4$ A20. $16x^2 - 24x + 9$
अभ्यास सेट B: द्विपदों का गुणनफल (15 प्रश्न)
ऊर्ध्व विधि का उपयोग करके गुणा करें।
B1. $(x + 4)(x + 7)$ B2. $(x - 3)(x + 5)$ B3. $(2x + 3)(3x + 4)$ B4. $(3x - 2)(2x + 5)$ B5. $(4x + 1)(x - 3)$ B6. $(5x - 2)(3x - 4)$ B7. $(x + 2)(x^2 + 3x + 4)$ B8. $(2x + 1)(x^2 + 4x + 3)$ B9. $(x - 3)(2x^2 + x + 5)$ B10. $(3x - 1)(x^2 - 2x + 4)$ B11. $(x^2 + 2x + 1)(x + 1)$ B12. $(x^2 - x + 1)(x + 2)$ B13. $(2x^2 + 3x)(x - 1)$ B14. $(3x^2 - 2x + 1)(2x - 1)$ B15. $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$
अभ्यास सेट C: त्रिपदों का गुणनफल (10 प्रश्न)
3×3 ऊर्ध्व पैटर्न का उपयोग करके गुणा करें।
C1. $(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 4x + 3)$ C2. $(x^2 + x + 1)(x^2 + 2x + 3)$ C3. $(2x^2 + x + 3)(x^2 + 2x + 1)$ C4. $(3x^2 + 2x + 1)(x^2 + x + 2)$ C5. $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$ C6. $(2x^2 + 3x + 4)(x^2 + 2x + 3)$ C7. $(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x + 3)$ (वर्ग) C8. $(2x^2 - x + 3)(x^2 + 4x - 1)$ C9. $(x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x + 6)$ C10. $(3x^2 - 2x - 1)(2x^2 + x - 3)$
अभ्यास सेट D: त्रिघाती व्यंजकों का गुणनखंडन (10 प्रश्न)
प्रत्येक त्रिघाती व्यंजक का पूर्ण गुणनखंडन कीजिए।
D1. $x^3 - 4x^2 + x + 6$ D2. $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ D3. $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ D4. $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ D5. $x^3 - x^2 - 8x + 12$ D6. $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ D7. $3x^3 - 5x^2 - 4x + 4$ D8. $4x^3 + 4x^2 - 11x - 6$ D9. $x^3 - 7x - 6$ D10. $x^3 + 4x^2 + x - 6$
अभ्यास सेट E: बहुपदों का HCF (5 प्रश्न)
बहुपदों के प्रत्येक युग्म का HCF ज्ञात कीजिए।
E1. $x^2 + 5x + 4$ और $x^2 + 3x + 2$ E2. $x^2 - 4x + 3$ और $x^2 - 5x + 4$ E3. $x^3 - 1$ और $x^2 + x + 1$ E4. $x^3 + 2x^2 - x - 2$ और $x^2 + 3x + 2$ E5. $x^4 - 1$ और $x^2 - 1$
अभ्यास सेट F: सत्यापन (10 प्रश्न)
'गुणितसमुच्चय' (गुणांकों का योग) का उपयोग करके प्रत्येक गुणनखंडन का सत्यापन कीजिए।
F1. $(x + 2)(x + 5) = x^2 + 7x + 10$ F2. $(x - 3)(x + 4) = x^2 + x - 12$ F3. $(2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 7x + 3$ F4. $(3x - 2)(x - 4) = 3x^2 - 14x + 8$ F5. $(x + 1)(x - 2)(x + 3) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ F6. $(x - 1)(x - 2)(x - 3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ F7. $(2x - 1)(x + 2)(x - 3) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ F8. $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ F9. $(x^2 + x + 1)(x + 1) = x^3 + 2x^2 + 2x + 1$ F10. $(2x^2 + 3x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 2x^4 + 13x^3 + 31x^2 + 38x + 24$
अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी
सेट A के उत्तर:
A1. (x+2)(x+6)
A2. (x+3)(x+7)
A3. (x+2)(x+4)
A4. (x-3)(x-4)
A5. (x-4)(x-5)
A6. (x-2)(x-3)
A7. (x+5)(x-3)
A8. (x-5)(x+2)
A9. (x-6)(x+2)
A10. (x+8)(x-3)
A11. (2x+1)(x+2)
A12. (3x+1)(x+3)
A13. (4x+3)(x+2)
A14. (5x+4)(x+2)
A15. (2x+1)(x-3)
A16. (3x+1)(x-3)
A17. (4x+1)(x-3)
A18. (3x-5)(2x+1)
A19. (3x+2)²
A20. (4x-3)²
सेट B के उत्तर:
B1. $x^2 + 11x + 28$
B2. $x^2 + 2x - 15$
B3. $6x^2 + 17x + 12$
B4. $6x^2 + 11x - 10$
B5. $4x^2 - 11x - 3$
B6. $15x^2 - 26x + 8$
B7. $x^3 + 5x^2 + 10x + 8$
B8. $2x^3 + 9x^2 + 10x + 3$
B9. $2x^3 - 5x^2 + 2x - 15$
B10. $3x^3 - 7x^2 + 14x - 4$
B11. $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
B12. $x^3 + x^2 - x + 2$
B13. $2x^3 + x^2 - 3x$
B14. $6x^3 - 7x^2 + 4x - 1$
B15. $x^4 + x^2 + 1$
सेट C के उत्तर:
C1. $x^4 + 7x^3 + 18x^2 + 17x + 6$
C2. $x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 5x + 3$
C3. $2x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 7x + 3$
C4. $3x^4+ 5x^3 + 9x^2 + 5x + 2$
C5. $x^4 - 2x^2 + 1$
C6. $2x^4 + 7x^3 + 16x^2 + 17x + 12$
C7. $x^4 + 4x^3 + 10x^2 + 12x + 9$
C8. $2x^4 + 7x^3 - 14x^2 + 13x - 3$
C9. $x^4 + 10x^3 + 37x^2 + 60x + 36$
C10. $6x^4 - x^3 - 14x^2 + 3x + 3$
Set D के उत्तर:
D1. (x-1)(x-2)(x+3)
D2. (x-1)(x-2)(x-3)
D3. (x-2)(x-3)(x+2)
D4. (x+1)(x-2)(x+3)
D5. (x-2)(x-2)(x+3) = (x-2)²(x+3)
D6. (x+2)(2x+1)(x-3)
D7. (x-1)(3x+2)(x-2)
D8. (x+2)(4x+3)(x-1)
D9. (x+1)(x+2)(x-3)
D10. (x+3)(x+1)(x-2)
Set E के उत्तर:
E1. x+1
E2. x-1
E3. x²+x+1
E4. x+2
E5. x²-1
Set F के उत्तर:
सभी सत्यापन सही हैं (गुणांकों का योग मेल खाता है)। ---
🧠 अपना ज्ञान परखें
किसी विकल्प पर टैप करें या अपना उत्तर लिखें — तुरंत जाँच के लिए। आपका स्कोर साथ-साथ अपडेट होता है। 36 इंटरैक्टिव प्रश्न, 3 क्विज़ में।
टेस्ट 1: द्विघात व्यंजकों का गुणनखंडन
0 / 10टेस्ट 2: द्विपदों और त्रिपदों का गुणनफल
0 / 16TEST 4: व्यापक मॉड्यूल परीक्षण
0 / 10भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका
सामान्य त्रुटियाँ और उनका सुधार
| त्रुटि | सुधार |
|---|---|
| ऋणात्मक पदों वाले द्विघात व्यंजकों के गुणनखंड करते समय चिह्नों की त्रुटियाँ | गुणनफल और योग के चिह्नों की हमेशा सावधानीपूर्वक जाँच करें |
| द्विघात व्यंजकों के गुणनफल में 'a' को शामिल करना भूल जाना | गुणनफल = a × c होता है, केवल c नहीं |
| 'ऊर्ध्व' पैटर्न में क्रॉस पदों को गलत जगह रखना | याद रखें: x पद के लिए $a_1b_0 + a_0b_1$ होता है |
| लुप्त पदों के साथ संश्लेषित विभाजन (Synthetic division) में त्रुटियाँ | लुप्त घातों के लिए 0 गुणांक शामिल करें |
| गुणनखंड प्रमेय का गलत अनुप्रयोग करना | गुणांकों का योग = 0 होने का अर्थ है कि (x-1) एक गुणनखंड है, न कि (x+1) |
गुणनखंड प्रमेय के लिए स्मरण सहायक
| शर्त | गुणनखंड |
|---|---|
| गुणांकों का योग = 0 | (x - 1) |
| सम-घात वाले गुणांकों का योग = विषम-घात वाले गुणांकों का योग | (x + 1) |
| P(1) = 0 | (x - 1) |
| P(-1) = 0 | (x + 1) |
त्वरित संदर्भ कार्ड
╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║ मॉड्यूल 16 — गुणनखंडन और बीजीय गुणनफल ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ ║
║ द्विघात व्यंजकों का गुणनखंडन (ax² + bx + c): ║
║ ┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐ ║
║ │ ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करें जिनका गुणनफल = a×c और योग = b हो │
║ │ मध्य पद को विभाजित करें → समूहन द्वारा गुणनखंड करें │
║ └─────────────────────────────────────────────────────────────┘ ║
║ ║
║ द्विपदों के लिए ऊर्ध्व विधि: (px+q)(rx+s) = pr x² + (ps+qr)x + qs ║
║ ║
║ त्रिपदों के लिए ऊर्ध्व विधि: 3×3 पैटर्न (5 चरण: 1,2,3,2,1 गुणनफल) ║
║ ║
║ त्रिघात व्यंजकों के लिए परावर्त्य विधि: संभावित मूलों के साथ संश्लिष्ट विभाजन ║
║ ║
║ गुणितसमुच्चय (सत्यापन): ║
║ गुणनफल के गुणांकों का योग = गुणांकों के योगों का गुणनफल ║
║ ║
║ सूत्र 3: ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम् — ऊर्ध्वाधर और तिर्यक रूप से ║
║ सूत्र 4: परावर्त्य योजयेत् — पक्षांतरण करें और लागू करें ║
║ सूत्र 15: गुणितसमुच्चय — योगों का गुणनफल = गुणनफलों का योग ║
║ सूत्र 16: गुणकसमुच्चय — योग के गुणनखंड = गुणनखंडों का योग ║
║ ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝Designed By Sachin Sharma, Founder, Vidaara.org