🕉️ वैदिक गणित — लेवल 2: इंटरमीडिएट

मॉड्यूल 17: निर्देशांक ज्यामिति — वैदिक शॉर्टकट

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"बिना निर्देशांक के ज्यामिति अंधी है। बिना ज्यामिति के निर्देशांक खाली हैं। वैदिक गणित इन्हें गति और अंतर्दृष्टि के साथ जोड़ता है।" — वैदिक गणित शिक्षक नियमावली

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र निम्न कार्य करने में सक्षम होंगे:

1. सरलीकृत विधियों का उपयोग करके 10 सेकंड से भी कम समय में दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना
2. वज्र-गुणन (cross-multiplication) का उपयोग करके विभाजन अनुपात (मध्य-बिंदु और विभाजन बिंदु) ज्ञात करना
3. ऊर्ध्व पैटर्न का उपयोग करके ढलान और झुकाव कोण की गणना करना
4. वज्र-गुणन शॉर्टकट का उपयोग करके दो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण प्राप्त करना
5. वैदिक 'शूलेज़ विधि' (shoelace method) का उपयोग करके 30 सेकंड से भी कम समय में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना
6. केवल देखकर (विलोकनम्) तीन बिंदुओं की संरेखता (collinearity) की जाँच करना
7. निर्देशांक पैटर्न की पहचान करके वृत्त के समीकरण ज्ञात करना
8. निर्देशांक ज्यामिति के सभी सूत्रों में वैदिक वज्र-गुणन विधि को लागू करना

भाग 1: सिद्धांत

1.1 — वैदिक निर्देशांक ज्यामिति का परिचय

वैदिक निर्देशांक ज्यामिति को क्या चीज़ अलग बनाती है? | पारंपरिक विधि | वैदिक विधि |

|---------------------|--------------| | अलग-अलग फ़ॉर्मूले याद करना | फ़ॉर्मूलों में पैटर्न देखना | | चरण-दर-चरण मान रखना | सीधा वज्र-गुणन | | चिह्नों की गलतियों की संभावना | चिह्नों का अंतर्निहित सत्यापन | | अधिक समय लेने वाली | मानसिक गणना संभव | ### क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन पैटर्न (ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्)

गुणा करने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला वही ऊर्ध्वाधर और आड़ा पैटर्न इन जगहों पर भी दिखाई देता है:

• दूरी का सूत्र
• विभाजन सूत्र
• ढलान की गणना
• रेखा के समीकरण
• त्रिभुज का क्षेत्रफल

1.2 — दूरी का सूत्र: वैदिक शॉर्टकट

मानक सूत्र

$A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

वैदिक सरलीकरण

चरण 1: $\Delta x = x_2 - x_1$ और $\Delta y = y_2 - y_1$ ज्ञात करें (मानसिक रूप से)

चरण 2: मॉड्यूल 9 में दिए गए वर्ग करने के तरीकों का उपयोग करके दोनों अंतरों का वर्ग करें

चरण 3: बाएँ से दाएँ जोड़ विधि का उपयोग करके जोड़ें

चरण 4: वर्गमूल ज्ञात करें (ज्ञात पूर्ण वर्गों या मॉड्यूल 12 के तरीकों का उपयोग करें)

उदाहरण 1: (3, 4) और (7, 1) के बीच की दूरी

$\Delta x = 7 - 3 = 4$, $\Delta y = 1 - 4 = -3$

$\Delta x^2 = 16$, $\Delta y^2 = 9$

योग = 25

$d = \sqrt{25} = 5$ इकाइयाँ ✓

उदाहरण 2: (2, 5) और (10, 11) के बीच की दूरी

$\Delta x = 8$, $\Delta y = 6$

$8^2 = 64$, $6^2 = 36$, योग = 100

$d = 10$ इकाइयाँ ✓

उदाहरण 3: (1, 2) और (4, 6) के बीच की दूरी

$\Delta x = 3$, $\Delta y = 4$

$3^2 = 9$, $4^2 = 16$, योग = 25

$d = 5$ इकाइयाँ ✓

(पाइथागोरस त्रिक: 3-4-5 त्रिभुज)

1.3 — विभाजन सूत्र: वज्र-गुणन विधि

मानक सूत्र

बिंदु P के लिए, जो AB को m:n अनुपात में विभाजित करता है (A से B तक):

$$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \quad y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$$

वैदिक पैटर्न पहचान

यह सूत्र मूल रूप से वज्र-गुणन के साथ एक भारित औसत है:

$x = \frac{x_1 \cdot n + x_2 \cdot m}{m+n}$

मध्य-बिंदु (विशेष स्थिति: m = n = 1)

$$x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

उदाहरण 1: (2, 3) और (8, 7) का मध्य-बिंदु

$x = (2+8)/2 = 5$, $y = (3+7)/2 = 5$

मध्य-बिंदु = (5, 5) ✓

उदाहरण 2: वह बिंदु जो (2, 3) और (8, 7) को 1:2 अनुपात में विभाजित करता है

यहाँ m=1 है (A से B तक? आइए इसे स्पष्ट करें।)

A(2,3) से B(8,7) तक 1:2 अनुपात के लिए, m=1, n=2:

$x = (1×8 + 2×2)/(1+2) = (8 + 4)/3 = 12/3 = 4$ $y = (1×7 + 2×3)/3 = (7 + 6)/3 = 13/3 ≈ 4.33$

बिंदु = (4, 13/3) ✓

उदाहरण 3: (1, 2) और (10, 11) के त्रि-विभाजन बिंदु

दो त्रि-विभाजन बिंदु, रेखाखंड को 1:2 और 2:1 अनुपातों में विभाजित करते हैं

पहला बिंदु (1:2): $x = (1×10 + 2×1)/3 = (10+2)/3 = 4$, $y = (1×11 + 2×2)/3 = (11+4)/3 = 5$ बिंदु = (4, 5)

दूसरा बिंदु (2:1): $x = (2×10 + 1×1)/3 = (20+1)/3 = 7$, $y = (2×11 + 1×2)/3 = (22+2)/3 = 8$ बिंदु = (7, 8)

जाँच: (1,2) → (4,5) → (7,8) → (10,11) समान दूरी पर हैं ✓

1.4 — ढलान और झुकाव का कोण

मानक सूत्र

ढलान $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan \theta$ (जहाँ θ धनात्मक x-अक्ष के साथ बना कोण है)

वैदिक शॉर्टकट: क्रॉस-डिफरेंस पैटर्न

ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम के बारे में सोचें: क्षैतिज अंतर के ऊपर ऊर्ध्वाधर अंतर

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ (चिह्नों का ध्यान रखते हुए)

उदाहरण 1: (2, 3) और (5, 11) का ढलान

$\Delta y = 11 - 3 = 8$, $\Delta x = 5 - 2 = 3$ $m = 8/3$ ✓

उदाहरण 2: ढलान(3, 7) और (6, 1) के लिए

$\Delta y = 1 - 7 = -6$, $\Delta x = 6 - 3 = 3$ $m = -6/3 = -2$ ✓

झुकाव कोण

$\theta = \tan^{-1}(m)$

m = 1 के लिए, θ = 45°; m = √3 के लिए, θ = 60°; m = 1/√3 के लिए, θ = 30°

सामान्य ढलान और कोण

1.5 — दो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

मानक सूत्र

दो-बिंदु रूप: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

वैदिक वज्र-गुणन (Cross-Multiplication) शॉर्टकट

ऊर्ध्व पैटर्न का उपयोग करके, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$(y_2 - y_1)x - (x_2 - x_1)y + (x_2 y_1 - x_1 y_2) = 0$$

या, जिसे याद रखना अधिक आसान है:

$$x(y_1 - y_2) + y(x_2 - x_1) + (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0$$

वज्र-गुणन पैटर्न

बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए:

चरण 1: x का गुणांक = $(y_1 - y_2)$ चरण 2: y का गुणांक = $(x_2 - x_1)$ चरण 3: अचर पद = $(x_1 y_2 - x_2 y_1)$

उदाहरण 1: (2, 3) और (5, 11) से होकर जाने वाली रेखा

x का गुणांक = $3 - 11 = -8$ y का गुणांक = $5 - 2 = 3$ अचर पद = $2×11 - 5×3 = 22 - 15 = 7$

समीकरण: $-8x + 3y + 7 = 0$ या $8x - 3y - 7 = 0$ ✓

जाँच: (2,3) के लिए: $8×2 - 3×3 = 16 - 9 = 7$ ✓ (5,11) के लिए: $8×5 - 3×11 = 40 - 33 = 7$ ✓

उदाहरण 2: (1, 4) और (3, 8) से होकर जाने वाली रेखा

x का गुणांक = $4 - 8 = -4$ y का गुणांक = $3 - 1 = 2$ अचर पद = $1×8 - 3×4 = 8 - 12 = -4$

समीकरण: $-4x + 2y - 4 = 0$ या $2x - y + 2 = 0$ (-2 से भाग देने पर) ✓

जाँच: (1,4): $2×1 - 4 + 2 = 2 - 4 + 2 = 0$ ✓ (3,8): $6 - 8 + 2 = 0$ ✓

उदाहरण 3: (0, 0) और (4, 6) से होकर जाने वाली रेखा

x का गुणांक = $0 - 6 = -6$ y का गुणांक = $4 - 0 = 4$ अचर पद = $0×6 - 4×0 = 0$

समीकरण: $-6x + 4y = 0$ या $3x - 2y = 0$ ✓

जाँच: $3×4 - 2×6 = 12 - 12 = 0$ ✓

1.6 — त्रिभुज का क्षेत्रफल: वैदिक शूलेस विधि

मानक सूत्र (शूलेस)

$(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के लिए:

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

वैदिक पैटर्न: वज्र-गुणन चक्रीय विधि

इसे एक चक्रीय वज्र-गुणन योग के रूप में सोचें:

चरण 1: निर्देशांकों को क्रम से लिखें (पहले निर्देशांक को अंत में दोहराएँ) चरण 2: (x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) का योग ज्ञात करें चरण 3: (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁) के योग को घटाएँ चरण 4: प्राप्त मान का निरपेक्ष मान लेकर उसका आधा करें

उदाहरण 1: (0,0) शीर्षों वाला त्रिभुज, (4,0), (0,3)

सूची: (0,0), (4,0), (0,3), वापस (0,0) पर

Sum1 = $0×0 + 4×3 + 0×0 = 0 + 12 + 0 = 12$ Sum2 = $0×4 + 0×0 + 3×0 = 0 + 0 + 0 = 0$ क्षेत्रफल = $|12 - 0|/2 = 6$ वर्ग इकाई ✓

उदाहरण 2: शीर्षों (1,2), (4,5), (7,1) वाला त्रिभुज

सूची: (1,2), (4,5), (7,1), वापस (1,2) पर

Sum1 = $1×5 + 4×1 + 7×2 = 5 + 4 + 14 = 23$ Sum2 = $2×4 + 5×7 + 1×1 = 8 + 35 + 1 = 44$ अंतर = $|23 - 44| = 21$ क्षेत्रफल = $21/2 = 10.5$ वर्ग इकाई ✓

उदाहरण 3: शीर्षों (2,3), (5,7), (8,4) वाला त्रिभुज

सूची: (2,3), (5,7), (8,4), वापस (2,3) पर

Sum1 = $2×7 + 5×4 + 8×3 = 14 + 20 + 24 = 58$ Sum2 = $3×5 + 7×8 + 4×2 = 15 + 56 + 8 = 79$ अंतर = $|58 - 79| = 21$ क्षेत्रफल = $10.5$ वर्ग इकाई ✓

1.7 — केवल अवलोकन द्वारा संरेखता की जाँच (विलोकनम्)

उप-सूत्र 12: विलोकनम्

"केवल अवलोकन द्वारा" — अभ्यास से, आप बिना किसी गणना के संरेखता देख सकते हैं। ### संरेखता के लिए शर्त

तीन बिंदु संरेख होते हैं यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0 हो:

$$x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0$$

ढलान विधि (त्वरित जाँच)

बिंदु A, B, C संरेख होते हैं यदि ढलान AB = ढलान BC हो।

वैदिक अवलोकन पैटर्न

समान x-निर्देशांक वाले बिंदुओं के लिए: ऊर्ध्वाधर रेखा → संरेख समान y-निर्देशांक वाले बिंदुओं के लिए: क्षैतिज रेखा → संरेख समानुपाती निर्देशांक वाले बिंदुओं के लिए: जाँचें कि क्या $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}$ है।

उदाहरण 1: (1,2), (3,4), (5,6) की संरेखता की जाँच करें

ढलान AB = (4-2)/(3-1) = 2/2 = 1 ढलान BC = (6-4)/(5-3) = 2/2 = 1 बराबर → संरेख ✓

अवलोकन द्वारा: बिंदु रेखा y = x+1 पर स्थित हैं।

उदाहरण 2: (2,3), (4,7), (6,11) की संरेखता की जाँच करें

ढलान AB = (7-3)/(4-2) = 4/2 = 2 ढलान BC = (11-7)/(6-4) = 4/2 = 2 बराबर → संरेख ✓

अवलोकन: जब x में 2 की वृद्धि होती है, तो y में 4 की वृद्धि होती है → ढलान 2

उदाहरण 3: (1,5), (3,9), (5,13) की संरेखता की जाँच करें

ढलान AB = (9-5)/(3-1) = 4/2 = 2 ढलान BC = (13-9)/(5-3) = 4/2 = 2 संरेख ✓

उदाहरण 4: (1,2), (2,3), (4,6) की संरेखता की जाँच करें

ढलान AB = 1/1 = 1 ढलान BC = (6-3)/(4-2) = 3/2 = 1.5 बराबर नहीं → एक-रेखीय नहीं ✓

1.8 — वृत्त के समीकरण: वैदिक पैटर्न पहचान

वृत्त का मानक समीकरण

केंद्र $(h, k)$, त्रिज्या r:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

विस्तारित रूप: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

वैदिक शॉर्टकट

विस्तारित रूप से केंद्र: $h = -D/2$, $k = -E/2$

त्रिज्या: $r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}$

उदाहरण 1: $x^2 + y^2 + 6x - 8y - 11 = 0$ का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करें

$D = 6$, $E = -8$, $F = -11$

$h = -6/2 = -3$, $k = -(-8)/2 = 4$

$r^2 = (-3)^2 + 4^2 - (-11) = 9 + 16 + 11 = 36$ $r = 6$ ✓

उदाहरण 2: $x^2 + y^2 - 10x + 12y + 12 = 0$ का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करें

$D = -10$, $E = 12$, $F = 12$

$h = -(-10)/2 = 5$, $k = -12/2 = -6$

$r^2 = 5^2 + (-6)^2 - 12 = 25 + 36 - 12 = 49$ $r = 7$ ✓

केंद्र और त्रिज्या से समीकरण (वैदिक रूप)

सीधे तौर पर: $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0$

उदाहरण: केंद्र (3, -2), त्रिज्या 5

$x^2 + y^2 - 6x + 4y + (9 + 4 - 25) = x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ ✓

1.9 — तीन बिंदुओं से होकर जाने वाला वृत्त

वैदिक सारणिक विधि (Shoelace विस्तार)

तीन बिंदुओं $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ के लिए, वृत्त का समीकरण इस पैटर्न का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ से तीन समीकरण प्राप्त होते हैं:

$x_1^2 + y_1^2 + Dx_1 + Ey_1 + F = 0$ $x_2^2 + y_2^2 + Dx_2 + Ey_2 + F = 0$ $x_3^2 + y_3^2 + Dx_3 + Ey_3 + F = 0$

परावर्त्य या विलोपन विधि का उपयोग करके हल करें। ### उदाहरण: (0,0), (4,0), (0,3) से गुज़रने वाला वृत्त

(0,0) से: $F = 0$ (4,0) से: $16 + 4D + F = 0$ → $16 + 4D = 0$ → $D = -4$ (0,3) से: $9 + 3E + F = 0$ → $9 + 3E = 0$ → $E = -3$

समीकरण: $x^2 + y^2 - 4x - 3y = 0$

पूर्ण वर्ग बनाना: $(x-2)^2 + (y-1.5)^2 = 4 + 2.25 = 6.25 = (2.5)^2$

केंद्र (2, 1.5), त्रिज्या 2.5 ✓

1.10 — विलोकनम्: निर्देशांक ज्यामिति में पैटर्न पहचानना

उप-सूत्र 12: विलोकनम् (केवल देखकर)

यह उप-सूत्र हमें बिना किसी गणना के उत्तर देखने के लिए प्रोत्साहित करता है।

विलोकनम् के व्यावहारिक उदाहरण

उदाहरण: (a, b) और (c, d) के बीच की दूरी क्या है, यदि c-a = 3 और d-b = 4 है?

अवलोकन द्वारा: $d = \sqrt{9 + 16} = 5$ (3-4-5 त्रिक)

उदाहरण: क्या (1,1), (2,2), (3,3) संरेख हैं?

अवलोकन द्वारा: हाँ (सभी y = x रेखा पर स्थित हैं)

उदाहरण: (5,0) और (5,10) का मध्य-बिंदु क्या है? देखने पर: x = 5, y = (0+10)/2 = 5 → (5,5)

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

खंड A: दूरी सूत्र

उदाहरण 1

प्रश्न: (3, 5) और (9, 13) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

Δx = 9-3 = 6, Δy = 13-5 = 8 6² = 36, 8² = 64, योग = 100 d = √100 = 10 इकाई ✓

उदाहरण 2

प्रश्न: (1, 1) और (4, 5) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

Δx = 3, Δy = 4 3² = 9, 4² = 16, योग = 25 d = 5 इकाई ✓

उदाहरण 3

प्रश्न: (5, 12) और (0, 0) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

Δx = -5, Δy = -12 25 + 144 = 169 d = 13 इकाई ✓

खंड B: विभाजन सूत्र

उदाहरण 4

प्रश्न: (2, 8) और (10, 4) का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

x = (2+10)/2 = 6, y = (8+4)/2 = 6 मध्य-बिंदु = (6, 6) ✓

उदाहरण 5

प्रश्न: उस बिंदु को ज्ञात कीजिए जो A(1, 4) और B(7, 10) को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। उत्तर:

m=2, n=1 x = (2×7 + 1×1)/3 = (14+1)/3 = 5 y = (2×10 + 1×4)/3 = (20+4)/3 = 8 बिंदु = (5, 8) ✓

उदाहरण 6

प्रश्न: (0, 0) और (9, 12) के त्रि-विभाजन बिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

पहला (1:2): x = (1×9+2×0)/3 = 3, y = (1×12+2×0)/3 = 4 → (3,4) दूसरा (2:1): x = (2×9+1×0)/3 = 6, y = (2×12+1×0)/3 = 8 → (6,8) जाँच: (0,0) → (3,4) → (6,8) → (9,12) ✓

खंड C: ढाल और कोण

उदाहरण 7

प्रश्न: (1, 2) और (4, 8) से होकर जाने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

m = (8-2)/(4-1) = 6/3 = 2 ✓

उदाहरण 8

प्रश्न: 1 ढाल वाली रेखा का झुकाव कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

θ = tan⁻¹(1) = 45° ✓

उदाहरण 9

प्रश्न: (2, 7) और (5, 2) से होकर जाने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

m = (2-7)/(5-2) = -5/3 ✓

खंड D: रेखा का समीकरण

उदाहरण 10

प्रश्न: (1, 2) और (4, 8) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। उत्तर:

x का गुणांक = y₁ - y₂ = 2 - 8 = -6 y का गुणांक = x₂ - x₁ = 4 - 1 = 3 अचर पद = x₁y₂ - x₂y₁ = 1×8 - 4×2 = 8 - 8 = 0 समीकरण: -6x + 3y = 0 → 2x - y = 0 ✓

जाँच: (1,2) के लिए: 2×1 - 2 = 0 ✓; (4,8) के लिए: 8 - 8 = 0 ✓

उदाहरण 11

प्रश्न: (2, 3) और (5, 11) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

x का गुणांक = 3 - 11 = -8 y का गुणांक = 5 - 2 = 3 अचर पद = 2×11 - 5×3 = 22 - 15 = 7 समीकरण: -8x + 3y + 7 = 0 → 8x - 3y - 7 = 0 ✓

उदाहरण 12

प्रश्न: (0, 0) और (3, 7) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

x का गुणांक = 0 - 7 = -7 y का गुणांक = 3 - 0 = 3 अचर पद = 0×7 - 3×0 = 0 समीकरण: -7x + 3y = 0 → 7x - 3y = 0 ✓

खंड E: त्रिभुज का क्षेत्रफल

उदाहरण 13

प्रश्न: शीर्षों (1, 1), (4, 5), (6, 2) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर:

सूची: (1,1), (4,5), (6,2), वापस (1,1) पर

Sum1 = 1×5 + 4×2 + 6×1 = 5 + 8 + 6 = 19 Sum2 = 1×4 + 5×6 + 2×1 = 4 + 30 + 2 = 36 अंतर = |19 - 36| = 17 क्षेत्रफल = 17/2 = 8.5 वर्ग इकाई ✓

उदाहरण 14

प्रश्न: उन शीर्षों (0, 0), (5, 0), (0, 7) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

Sum1 = 0×0 + 5×7 + 0×0 = 35 Sum2 = 0×5 + 0×0 + 7×0 = 0 क्षेत्रफल = 35/2 = 17.5 वर्ग इकाई ✓

उदाहरण 15

प्रश्न: उन शीर्षों (2, 3), (5, 7), (8, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

Sum1 = 2×7 + 5×4 + 8×3 = 14 + 20 + 24 = 58 Sum2 = 3×5 + 7×8 + 4×2 = 15 + 56 + 8 = 79 अंतर = 21 क्षेत्रफल = 10.5 वर्गइकाइयाँ ✓

खंड F: संरेखता की जाँच

उदाहरण 16

प्रश्न: जाँच करें कि (1, 2), (3, 6), (5, 10) संरेख हैं या नहीं।

उत्तर:

ढलान AB = (6-2)/(3-1) = 4/2 = 2 ढलान BC = (10-6)/(5-3) = 4/2 = 2 बराबर → संरेख ✓

अवलोकन: बिंदु y = 2x समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण 17

प्रश्न: जाँच करें कि (2, 5), (4, 9), (6, 14) संरेख हैं या नहीं।

उत्तर:

ढलान AB = (9-5)/(4-2) = 4/2 = 2 ढलान BC = (14-9)/(6-4) = 5/2 = 2.5 बराबर नहीं → संरेख नहीं ✓

खंड G: वृत्त के समीकरण

उदाहरण 18

प्रश्न: $x^2 + y^2 - 8x + 6y - 24 = 0$ का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करें। उत्तर:

D = -8, E = 6, F = -24 h = -(-8)/2 = 4 k = -6/2 = -3 r² = 4² + (-3)² - (-24) = 16 + 9 + 24 = 49 r = 7 केंद्र (4, -3), त्रिज्या 7 ✓

उदाहरण 19

प्रश्न: उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2, -5) और त्रिज्या 4 है।

उत्तर:

h=2, k=-5, r=4 x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0 x² + y² - 4x + 10y + (4 + 25 - 16) = 0 x² + y² - 4x + 10y + 13 = 0 ✓

उदाहरण 20

प्रश्न: उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके व्यास के सिरे (1, 2) और (5, 8) हैं।

उत्तर:

केंद्र = मध्य-बिंदु = ((1+5)/2, (2+8)/2) = (3, 5) त्रिज्या = केंद्र से (1,2) तक की दूरी = √((3-1)² + (5-2)²) = √(4 + 9) = √13 समीकरण: (x-3)² + (y-5)² = 13 विस्तारित रूप: x² + y² - 6x - 10y + (9+25-13) = x² + y² - 6x - 10y + 21 = 0 ✓

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: दूरी सूत्र (15 प्रश्न)

बिंदुओं के प्रत्येक युग्म के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

A1. (2, 3) और (5, 7) A2. (1, 1) और (4, 5) A3. (0, 0) और (6, 8) A4. (3, 4) और (9, 12) A5. (2, 5) और (7, 17) A6. (1, 2) और (9, 8) A7. (0, 5) और (12, 0) A8. (4, 6) और (8, 9) A9. (5, 12) और (0, 0) A10. (3, 7) और (11, 13) A11. (1, 4) और (10, 4) A12. (6, 2) और (6, 10) A13. (2, 3) और (8, 11) A14. (7, 24) और (0, 0) A15. (a, b) और (a + 2p, b + 2q)

अभ्यास सेट B: विभाजन सूत्र और मध्य-बिंदु (15 प्रश्न)

B1. (3, 5) और (9, 11) का मध्य-बिंदु B2. (1, 8) और (7, 2) का मध्य-बिंदु B3. (4, 2) और (10, 14) का मध्य-बिंदु B4. वह बिंदु जो (2, 3) और (8, 9) को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है B5. वह बिंदु जो (1, 4) और (7, 10) को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है B6. वह बिंदु जो (0, 0) और (12, 18) को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है B7. वह बिंदु जो (5, 10) और (15, 20) को 3:2 के अनुपात में विभाजित करता है B8. (0, 0) और (12, 15) के त्रि-विभाजन बिंदु B9. (2, 3) और (14, 18) के त्रि-विभाजन बिंदु B10. वह बिंदु जो (3, 7) और (11, 15) को 3:1 के अनुपात में विभाजित करता है B11. वह बिंदु जो (4, 2) और (10, 8) को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है B12. (a, b) और (c, d) का मध्यबिंदु B13. (x₁, y₁) और (x₂, y₂) का मध्यबिंदु B14. वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (5, 5) और (10, 10) को 3:2 के अनुपात में विभाजित करता है B15. यदि मध्यबिंदु (5, 7) है और एक अंतिम बिंदु (2, 4) है, तो दूसरा अंतिम बिंदु ज्ञात कीजिए

अभ्यास सेट C: ढलान और रेखा का समीकरण (15 प्रश्न)

प्रत्येक बिंदु-युग्म से होकर जाने वाली रेखा का ढलान और समीकरण ज्ञात कीजिए।

C1. (1, 2) और (3, 8) C2. (2, 3) और (5, 9) C3. (4, 5) और (8, 13) C4. (1, 4) और (6, 14) C5. (3, 7) और (9, 13) C6. (2, 5) और (7, 5) C7. (4, 2) और (4, 9) C8. (0, 0) और (5, 12) C9. (1, 1) और (7, 7) C10. (2, 8) और (10, 2) C11. (3, 6) और (8, 1) C12. (5, 10) और (15, 20) C13. (a, 0) और (0, b) C14. (x₁, y₁) और (x₂, y₂) (सामान्य सूत्र) C15. (2p, 3q) और (4p, 6q)

अभ्यास सेट D: त्रिभुज का क्षेत्रफल (10 प्रश्न)

दिए गए शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

D1. (0, 0), (5, 0), (0, 7) D2. (1, 1), (4, 5), (6, 2) D3. (2, 3), (5, 7), (8, 4) D4. (3, 4), (7, 8), (11, 2) D5. (1, 2), (3, 8), (5, 4) D6. (0, 0), (6, 0), (3, 5) D7. (2, 5), (7, 10), (12, 3) D8. (4, 6), (8, 10), (12, 2) D9. (1, 1), (2, 4), (3, 2) D10. (a, 0), (0, b), (0, 0)

अभ्यास सेट E: संरेखता की जाँच (10 प्रश्न)

जाँच ​​कीजिए कि क्या तीनों बिंदु संरेख हैं।

E1. (1, 2), (3, 4), (5, 6) E2. (2, 3), (4, 7), (6, 11) E3. (1, 5), (3, 11), (5, 17) E4. (3, 1), (6, 2), (9, 3) E5. (2, 4), (4, 8), (6, 16) E6. (1, 2), (3, 8), (5, 14) E7. (0, 0), (4, 6), (8, 12) E8. (5, 10), (8, 15), (11, 20) E9. (1, 3), (4, 9), (7, 15) E10. (2, 1), (4, 5), (6, 9)

अभ्यास सेट F: वृत्त के समीकरण (10 प्रश्न)

केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए। F6-F10 के लिए, समीकरण लिखिए।

F1. $x^2 + y^2 - 10x + 12y - 11 = 0$ F2. $x^2 + y^2 + 6x - 8y - 24 = 0$ F3. $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ F4. $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 5 = 0$ F5. $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ F6. केंद्र (2, 3), त्रिज्या 5 F7. केंद्र (-3, 4), त्रिज्या 6 F8. केंद्र (0, 0), त्रिज्या 10 F9. केंद्र (4, -2), त्रिज्या 3 F10. केंद्र (a, b), त्रिज्या r (सामान्य)

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर (दूरी):

A1. 5
A2. 5
A3. 10
A4. 10
A5. 13
A6. 10
A7. 13
A8. 5
A9. 13
A10. 10
A11. 9
A12. 8
A13. 10
A14. 25
A15. 2√(p²+q²)

सेट B के उत्तर (विभाजन):

B1. (6,8)
B2. (4,5)
B3. (7,8)
B4. (4,5)
B5. (5,8)
B6. (3,4.5)
B7. (11,16)
B8. (4,5) और (8,10)
B9. (6,8) और (10,13)
B10. (9,13)
B11. (6.4,4.4)
B12. ((a+c)/2, (b+d)/2)
B13. ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
B14. (8,8)
B15. (8,10)

(Set C के उत्तर (ढलान और रेखा): C1. m=3, 3x-y-1=0
C2. m=2, 2x-y-1=0
C3. m=2, 2x-y-3=0
C4. m=2, 2x-y+2=0? जाँच: 2×1-4+2=0 ✓
C5. m=1, x-y+4=0? 3-7+4=0 ✓
C6. m=0, y-5=0
C7. m=∞, x-4=0
C8. m=12/5, 12x-5y=0
C9. m=1, x-y=0
C10. m=-3/4, 3x+4y-38=0
C11. m=-1, x+y-9=0
C12. m=1, x-y+5=0? 5-10+5=0 ✓
C13. bx+ay-ab=0
C14. (y₂-y₁)x-(x₂-x₁)y+(x₂y₁-x₁y₂)=0
C15. m=3q/2p, 3qx-2py=0

Set D उत्तर (क्षेत्रफल):

D1. 17.5
D2. 8.5
D3. 10.5
D4. 20
D5. 7
D6. 15
D7. 22.5
D8. 20
D9. 2.5
D10. ab/2

Set E उत्तर (संरेखता):

E1. हाँ
E2. हाँ
E3. हाँ
E4. हाँ
E5. नहीं
E6. हाँ
E7. हाँ
E8. हाँ
E9. हाँ
E10. नहीं

Set F उत्तर (वृत्त):

F1. (5,-6), r=√72=6√2
F2. (-3,4), r=7
F3. (2,-3), r=5
F4. (-4,5), r=6
F5. (1,-2), r=5
F6. x²+y²-4x-6y-12=0
F7. x²+y²+6x-8y-11=0
F8. x²+y²-100=0
F9. x²+y²-8x+4y+11=0
F10. x²+y²-2ax-2by+(a²+b²-r²)=0

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका

सामान्य गलतियाँ और सुधार

विलोकनम् (Vilokanam) त्वरित संदर्भ

त्वरित संदर्भ कार्ड

╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║           मॉड्यूल 17 — निर्देशांक ज्यामिति: वैदिक शॉर्टकट            ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║                                                                       ║
║  दूरी: d² = (Δx)² + (Δy)²                                        ║
║                                                                       ║
║  विभाजन: P = (mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)                       ║
║                                                                       ║
║  मध्य-बिंदु: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)                                    ║
║                                                                       ║
║  ढाल (Slope): m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = tan θ                                  ║
║                                                                       ║
║  रेखा का समीकरण (क्रॉस विधि):                                        ║
║  (y₁-y₂)x + (x₂-x₁)y + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0                             ║
║                                                                       ║
║  क्षेत्रफल (Shoelace विधि): ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁) - Σ(yᵢxᵢ₊₁)| ║
║                                                                       ║
║  संरेखता (Collinearity): ढाल AB = ढाल BC  या  क्षेत्रफल = 0                     ║
║                                                                       ║
║  वृत्त: (x-h)² + (y-k)² = r²  =  x²+y²+Dx+Ey+F=0                    ║
║  केंद्र: (-D/2, -E/2),  r² = h²+k²-F                                 ║
║                                                                       ║
║  सूत्र 3: ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम् — लंबवत और तिर्यक रूप से             ║
║  उप-सूत्र 12: विलोकनम् — केवल अवलोकन द्वारा                        ║
║                                                                       ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

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