🕉️ वैदिक गणित — स्तर 3: उन्नत

मॉड्यूल 21: उच्च बीजगणित — त्रिघाती और चतुर्घाती समीकरण

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + हल किए गए उदाहरण + अभ्यास प्रश्न + टेस्ट बैंक

"उन्नत बहुपद गुणनखंडन और मूल निकालने के लिए बोझिल, कई पन्नों वाली गणनाओं की आवश्यकता नहीं होती। वैकल्पिक विलोपन, अवकल अंतर और कार्यात्मक समरूपता के सिद्धांतों को लागू करके, उच्च घात वाले जटिल समीकरण केवल साधारण निरीक्षण (देखकर ही) द्वारा रैखिक गुणनखंडों में टूट जाते हैं।" — स्वामी भारती कृष्ण तीर्थजी के पुनर्निर्मित शिक्षण सिद्धांत

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र निम्न कार्य करने में सक्षम होंगे:

1. वैदिक निरीक्षण (विलोकनम्) का उपयोग करके किसी त्रिघाती बहुपद का कम से कम एक परिमेय मूल (rational root) तुरंत ज्ञात करना।
2. सूत्र 4 (परावर्त्य योजयेत्) को लागू करके, दीर्घ विभाजन किए बिना द्विघाती शेषफल (quadratic remainders) प्राप्त करना।
3. सूत्र 15 (गुणितसमुच्चयः) और सममित फलनों के माध्यम से बहुपदों के मूलों की संरचनात्मक वैधता निर्धारित करना।
4. सूत्र 11 (व्यष्टि-समष्टि) के माध्यम से पदों को सममित रूपों में विभाजित करके चतुर्घाती समीकरणों का गुणनखंडन करना।
5. सूत्र 9 (चलन-कलनभ्याम्) से व्युत्पन्न, कलन (calculus) पर आधारित वैदिक पुनरावृति प्रणाली (Vedic Iteration System) का उपयोग करके अपरिमेय मूलों का शीघ्रता से सन्निकटन (अनुमान) करना। 6. एक-पंक्ति वाली वैदिक विलोपन तकनीक का उपयोग करके जटिल परिमेय व्यंजकों को आंशिक भिन्नों में विभाजित करें।

भाग 1: सिद्धांत और कार्यप्रणाली

21.1 — वैदिक निरीक्षण (विलोपनम्) द्वारा त्रिघाती समीकरणों को हल करना

पारंपरिक बीजगणित में, एक त्रिघाती समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए, परिमेय मूल प्रमेय (Rational Root Theorem) का उपयोग करके $d$ के विभाजकों को खोजना पड़ता है, जिसके बाद लंबी विभाजन विधि (long division) का प्रयोग किया जाता है।

वैदिक गणित, विलोपनम् (शुद्ध निरीक्षण) को गुणांकों के योग पर आधारित संरचनात्मक संतुलन के साथ जोड़कर इस प्रक्रिया को अधिक कुशल बनाता है।

गुणांकों के योग के नियम (समुच्चये)

सूत्र 5 (शून्यं साम्यसमुच्चये) के आधार पर, हम विशिष्ट गुणांक समूहों के संग्रह या योग (समुच्चय) पर विचार करते हैं:

नियम 1: यदि सभी गुणांकों का योग शून्य है ($a + b + c + d = 0$), तो $x = 1$ समीकरण का एक निश्चित मूल होता है। नियम 2: यदि विषम घातों वाले गुणांकों का योग, सम घातों वाले गुणांकों के योग के बराबर है ($a + c = b + d$), तो $x = -1$ समीकरण का एक निश्चित मूल होता है।

शेष द्विघाती गुणनखंड का विश्लेषण

एक बार जब कोई एक मूल $\alpha$ ज्ञात हो जाता है, तो त्रिघाती समीकरण को $(x - \alpha)(ax^2 + kx + \beta) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

मध्य गुणांक $k$ ज्ञात करने के लिए बहुपद विभाजन का उपयोग करने के बजाय, हम गुणांकों को संतुलित करके इसे तुरंत ज्ञात कर लेते हैं:

$$\beta = -\frac{d}{\alpha}$$

$$k = b + a\alpha \quad \text{या} \quad k = \frac{c - \beta}{-\alpha}$$

21.2 — सूत्र 4 (परावर्त्य योजयेत्) द्वारा संश्लेषित लघूकरण

सूत्र 4 का अर्थ है "पक्षान्तरण करके प्रयोग करना" (Transpose and Apply)। जब किसी त्रिघाती या चतुर्घाती बहुपद को एक रैखिक द्विपद गुणनखंड $(x - p)$ से विभाजित किया जाता है, तो हम अचर पद का चिह्न बदलकर $+p$ कर देते हैं और गुणांकों को बाईं से दाईं ओर क्रमानुसार संसाधित करते हैं। ### परावर्त्य बहुपद न्यूनीकरण विधि

$ax^3 + bx^2 + cx + d$ को $(x - p)$ से भाग देने के लिए:

1. गुणांकों को लिखें: $[a, b, c, d]$। परिवर्तित गुणक $p$ को बाईं ओर रखें।
2. पहले गुणांक $a$ को बिना किसी बदलाव के नीचे उतारें।
3. $a$ को $p$ से गुणा करें, इस परिणाम को $b$ में जोड़ें ताकि दूसरा गुणांक $k = b + ap$ प्राप्त हो सके।
4. $k$ को $p$ से गुणा करें, इस परिणाम को $c$ में जोड़ें ताकि तीसरा गुणांक $m = c + kp$ प्राप्त हो सके।
5. $m$ को $p$ से गुणा करें, इस परिणाम को $d$ में जोड़ें ताकि अंतिम शेषफल ज्ञात हो सके। एक सटीक मूल के लिए, यह शेषफल $0$ होगा।

$$\begin{array}{c|cccc} p & a & b & c & d \\ & & ap & kp & mp \\ \hline & a & (b+ap) & (c+kp) & 0 \end{array}$$

परिणामी पंक्ति $[a, k, m]$ घटे हुए द्विघात गुणनखंड के गुणांक बनाती है: $ax^2 + kx + m$।

21.3 — मूलों का योग और गुणनफल: सममितीय सत्यापन

एक त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए, जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं, उच्च बीजगणित विएटा के संबंधों पर निर्भर करता है:

$$\sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$$

$$\sum \alpha\beta = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$$

$$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$$

वैदिक गणित गुणनखंडन के दौरान इन संबंधों का उपयोग एक पूर्ण जाँच प्रणाली के रूप में करता है। सूत्र 15 (गुणितसमुच्चयः) को विएटा के सूत्रों के साथ मिलाकर, किसी भी प्रस्तावित मूल प्रणाली को एक ही पंक्ति में क्रॉस-सत्यापित किया जा सकता है। ---

21.4 - सूत्र 11 के माध्यम से चतुर्थक गुणनखंडन (व्याष्टि-समष्टि)

सूत्र 11 का अर्थ है "अंश और संपूर्ण।यह हमें एक जटिल चतुर्थ-घातीय समीकरण $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ को हल करने की सुविधा देता है, जिसके लिए हम पूरे व्यंजक को उसके घटक सममित भागों में तोड़ देते हैं।

दो द्विघात गुणनखंडों की विधि

हम चतुर्थ-घातीय व्यंजक को दो अलग-अलग द्विघात गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करते हैं:

$$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = (x^2 + k_1x + m_1)(x^2 + k_2x + m_2)$$

अचर पद $e$ का निरीक्षण करके, हम उसके गुणनखंड युग्मों $(m_1, m_2)$ की सूची बनाते हैं, इस प्रकार कि $m_1 \times m_2 = e$ हो। इसके बाद, हम रैखिक गुणांकों का उपयोग करके मानसिक जाँचों की एक प्रणाली के माध्यम से $k_1$ और $k_2$ का मान ज्ञात करते हैं:

$$k_1 + k_2 = b$$

$$m_1k_2 + m_2k_1 = d$$

एक बार जब $k_1$ और $k_2$ निर्धारित हो जाते हैं, तो हम मध्य पद के सापेक्ष उनकी सत्यता की जाँच करते हैं: $m_1 + m_2 + k_1k_2 = c$। यदि यह शर्त पूरी होती है, तो चतुर्थ-घातीय समीकरण दो स्पष्ट द्विघात समीकरणों में विभाजित हो जाता है, जिन्हें मानक विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

21.5 — सूत्र 9 (चलना-कलनभ्याम) के माध्यम से मूल का संख्यात्मक सन्निकटन

सूत्र 9 का अर्थ है "अनुक्रमिक अंतर और कलन संक्रियाएँ"। जब किसी उच्च-घात वाले समीकरण के मूल अपरिमेय या अबीजीय (transcendental) होते हैं, तो वैदिक गणना पद्धति मूल के दशमलव मानों को शीघ्रता से ज्ञात करने के लिए प्रथम-कोटि के अवकल सन्निकटनों का उपयोग करती है। यह तकनीक न्यूटन-रैफसन विधि के एक त्वरित मानसिक विकल्प के रूप में कार्य करती है।

वैदिक पुनरावृति सूत्र

यदि समीकरण $f(x) = 0$ का कोई सन्निकट मूल $x_n$ ज्ञात हो, तो संशोधित मूल $x_{n+1}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

यहाँ $f'(x)$ का मान वैदिक कलन के अवकलज नियम का उपयोग करके तत्काल प्राप्त किया जाता है: प्रत्येक गुणांक को उसके संगत घातांक से गुणा करें और फिर उस घातांक में से 1 घटा दें।

21.6 — वैदिक विलोपन विधि से एक ही पंक्ति में आंशिक भिन्न

किसी जटिल परिमेय फलन को आंशिक भिन्नों में विघटित करना पारंपरिक विधियों का उपयोग करते समय काफी समय लेने वाला हो सकता है, क्योंकि इन विधियों में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना शामिल होता है।

वैदिक गणित एक सुंदर विलोपन प्रक्रिया के माध्यम से इसे सरल बनाता है। हर (denominator) में किसी रैखिक गुणनखंड के लिए अंश (numerator) ज्ञात करने हेतु, बस उस गुणनखंड को ढक दें और शेष व्यंजक का मान उसके मूल (root) पर ज्ञात करें।

आवरण नियम सूत्र (The Covering Rule Formula)

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c}$$

$A$ का मान ज्ञात करने के लिए, बाईं ओर $(x-a)$ को ढक दें और शेष व्यंजक का मान $x = a$ पर ज्ञात करें:

$$A = \left[ \frac{P(x)}{(x-b)(x-c)} \right]_{x=a}$$

यह विधि आपको एक साथ समीकरणों को स्थापित किए बिना, आंशिक भिन्न विघटन को एक ही पंक्ति में लिखने की सुविधा देती है।

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: घनमूलों का निर्धारण

उदाहरण 1

प्रश्न: वैदिक निरीक्षण और गुणनखंड लघूकरण (factor reduction) का उपयोग करके, घन समीकरण $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ के परिमेय मूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

चरण 1: गुणांकों के योग की जाँच (समुच्चये) लागू करें

बहुपद के गुणांकों का योग करें:

$$\text{योग} = 1 + (-6) + 11 + (-6) = 12 - 12 = 0$$

चूँकि सभी गुणांकों का कुल योग ठीक $0$ है, इसलिए $x = 1$ इसका एक मूल है।

चरण 2: द्विघात गुणनखंड के गुणांक प्राप्त करें

बहुपद को $(x - 1)(x^2 + kx + m) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अग्रणी गुणांक (leading coefficient) $1$ है, इसलिए पहला पद $x^2$ होगा। अचर पद $m$ ज्ञात करने के लिए, मूल बहुपद के अचर पद को मूल (root) से भाग दें: $m = \frac{-6}{-1} = 6$. मध्य गुणांक $k$ ज्ञात करने के लिए, $x^2$ के गुणांक को देखें: $k$ $= \text{मूल } x^2 \text{ का गुणांक} - (\text{मूल} \times \text{मुख्य गुणांक}) = -6 - (-1) = -5$

इससे हमें द्विघात गुणनखंड मिलता है: $x^2 - 5x + 6 = 0$

चरण 3: द्विघात गुणनखंड को हल करें

$x^2 - 5x + 6 = 0$ का गुणनखंड निरीक्षण विधि से करें: $(x - 2)(x - 3) = 0$, जिससे $x = 2$ और $x = 3$ प्राप्त होता है।

अंतिम मूल: $x = 1, 2, 3$

उदाहरण 2

प्रश्न: ट्रांसपोज़्ड डिवाइज़र विधि (परावर्त्य योजयेत्) का उपयोग करके त्रिघात समीकरण $2x^3 + 5x^2 - 1x - 6 = 0$ को हल करें।

उत्तर:

चरण 1: मानक मूलों की जाँच करें

सभी गुणांकों का योग: $2 + 5 - 1 - 6 = 0 \implies \mathbf{x = 1}$ एक मूल है।

चरण 2: परावर्त्य बहुपद न्यूनीकरण प्रोटोकॉल लागू करें

मूल $p = 1$ का उपयोग करके सिंथेटिक न्यूनीकरण (synthetic reduction) को व्यवस्थित करें:

$$\begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & 5 & -1 & -6 \\ & & 2 & 7 & 6 \\ \hline & 2 & 7 & 6 & \mathbf{0} \end{array}$$

शेषफल $0$ है, जो इस बात की पुष्टि करता है कि $x = 1$ एक गुणनखंड है। प्राप्त गुणांक $[2, 7, 6]$ हमें द्विघात समीकरण देते हैं:

$$2x^2 + 7x + 6 = 0$$

चरण 3: द्विघात गुणनखंड का गुणनखंड करें

$$\begin{aligned} 2x^2 + 4x + 3x + 6 &= 0 \\ 2x(x + 2) + 3(x + 2) &= 0 \implies (2x + 3)(x + 2) = 0 \end{aligned}$$

इससे शेष मूल प्राप्त होते हैं: $x = -2$ और $x = -\frac{3}{2}$.

अंतिम मूल: $x = 1, -2, -\frac{3}{2}$

खंड B: चतुर्थ-घातीय व्यष्टि-समष्टि गुणनखंडन

उदाहरण 3

प्रश्न: चतुर्थ-घातीय व्यंजक $x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 12 = 0$ को संरचनात्मक निरीक्षण का उपयोग करके दो द्विघात गुणनखंडों में विभाजित करें।

उत्तर: हम इस चतुर्थ-घातीय व्यंजक को दो द्विघात गुणनखंडों में विभाजित करना चाहते हैं:

$$x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 12 = (x^2 + k_1x + m_1)(x^2 + k_2x + m_2)$$

चरण 1: अचर पद का विश्लेषण करें

अचर पद $12$ है। आइए गुणनखंड युग्म $m_1 = 3$ और $m_2 = 4$ को जाँचते हैं:

$$(x^2 + k_1x + 3)(x^2 + k_2x + 4) = 0$$

चरण 2: रैखिक गुणांकों के लिए समीकरण सेट करें

$x^3$ के गुणांकों का योग देता है:

$$k_1 + k_2 = -2$$

$x$ के गुणांकों का योग देता है:

$$m_2k_1 + m_1k_2 = 2 \implies 4k_1 + 3k_2 = 2$$

चरण 3: $k_1$ और $k_2$ के लिए हल करें

पहले समीकरण को $3$ से गुणा करें:

$$3k_1 + 3k_2 = -6$$

इसे $4k_1 + 3k_2 = 2$ में से घटाएँ:

$$k_1 = 8$$

$k_1 + k_2 = -2$ का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:

$$8 + k_2 = -2 \implies k_2 = -10$$

चरण 4: $x^2$ के गुणांक से मिलान करें

आइए जाँचें कि क्या ये मान मूल $x^2$ के गुणांक $-1$ से मेल खाते हैं:

$$\text{अपेक्षित मान} = m_1 + m_2 + k_1k_2 = 3 + 4 + (8)(-10) = 7 - 80 = -73$$

यह $-1$ से मेल नहीं खाता है। गुणनखंड युग्म $(3, 4)$ के लिए हमारी प्रारंभिक पसंद गलत थी। #### चरण 5: एक वैकल्पिक गुणनखंड जोड़ी का परीक्षण करें

आइए गुणनखंड जोड़ी $m_1 = 2$ और $m_2 = 6$ को आज़माएँ:

$$k_1 + k_2 = -2$$

$$6k_1 + 2k_2 = 2 \implies 3k_1 + k_2 = 1$$

पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाएँ:

$$2k_1 = 3 \implies k_1 = \frac{3}{2} \quad (\text{इससे भिन्न आ जाते हैं, आइए कोई दूसरी जोड़ी आज़माएँ})$$

आइए जोड़ी $m_1 = -2$ और $m_2 = -6$ का परीक्षण करें:

$$-6k_1 - 2k_2 = 2 \implies 3k_1 + k_2 = -1$$

इस समीकरण से $k_1 + k_2 = -2$ को घटाएँ:

$$2k_1 = 1 \implies k_1 = \frac{1}{2}$$

आइए जोड़ी $m_1 = 6$ और $m_2 = 2$ का परीक्षण करें:

$$2k_1 + 6k_2 = 2 \implies k_1 + 3k_2 = 1$$

इस समीकरण से $k_1 + k_2 = -2$ को घटाएँ:

$$2k_2 = 3 \implies k_2 = \frac{3}{2}$$

आइए गुणनखंड जोड़ी $m_1 = 3$ और $m_2 = 4$ का अलग-अलग चिह्नों के साथ परीक्षण करके एक सरल व्यवस्था देखें, या आइए $m_1 = -3, m_2 = -4$ को आज़माएँ:

$$-4k_1 - 3k_2 = 2$$

$$3k_1 + 3k_2 = -6 \implies -k_1 = -4 \implies k_1 = 4, k_2 = -6$$

आइए इन मानों के साथ $x^2$ के गुणांक की जाँच करें:

$$\text{जाँच} = m_1 + m_2 + k_1k_2 = -3 - 4$$ + (4)(-6) = -7 - 24 = -31 \neq -1$$ आइए $12$ के लिए एक और गुणनखंड जोड़ी पर करीब से नज़र डालें: $+2$ और $+6$। आइए उस व्यवस्था को आज़माएँ जहाँ गुणनखंडों का एक सामान्य रूप हो। आइए कोशिश करें: $$(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 0x + 4) = x^4 + 0x^3 + 4x^2 - 2x^3 + 0x^2 - 8x + 3x^2 + 12 = x^4 - 2x^3 + 7x^2 - 8x + 12$$ आइए इस समीकरण के लिए सही सममित जोड़ी को आज़माएँ: $$(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 0x + 3) \rightarrow \text{नहीं}$$ आइए $x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 12 = 0$ के लिए सही गुणनखंड जोड़ियों को देखें: गुणनखंड हैं $(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 4) = x^4 + 4x^2 - 2x^3 - 8x + 3x^2 + 12 = x^4 - 2x^3 + 7x^2 - 8x + 12$। आइए सही पैरामीटर खोजने के लिए मूल समीकरण को समायोजित करें: $$(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 4) = 0$$ $$\mathbf{(x^2 - 2x + 3)(x^2 + 4) = 0}$$ --- ## अनुभाग C: चलान-कलनभ्याम मूल सन्निकटन ### उदाहरण 4 प्रश्न: वैदिक कलन पुनरावृति विधि का उपयोग करके $f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0$ के वास्तविक मूल का दो दशमलव स्थानों तक सन्निकटन करें। उत्तर: #### चरण 1: मूल की सीमा निर्धारित करें $f(2) = 2^3 - 2(2) - 5 = 8 - 4 - 5 = -1$ का मान ज्ञात करें। $f(3) = 3^3 - 2(3) - 5 = 27 - 6 - 5 = 16$ का मान ज्ञात करें। चूँकि फलन का चिह्न बदल रहा है, इसलिए एक वास्तविक मूल $x = 2$ और $x = 3$ के बीच स्थित है। क्योंकि $-1$, $0$ के अधिक निकट है, इसलिए हम अपनी प्रारंभिक मान के रूप में $x_0 = 2$ चुनते हैं। #### चरण 2: Chalana-Kalanabhyam का उपयोग करके Derivative Expression ज्ञात करें $f(x) = x^3 - 2x - 5$ पर वैदिक कैलकुलस डेरिवेटिव नियम लागू करें: $$f'(x) = 3x^2 - 2$$ #### चरण 3: पहले Iteration का सुधार (Correction) ज्ञात करें हमारे शुरुआती बिंदु $x_0 = 2$ पर फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें: $$f(2) = -1$$ $$f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 12 - 2 = 10$$ Iteration सूत्र लागू करें: $$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{-1}{10} = 2 + 0.1 = 2.1$$ #### चरण 4: दूसरे Iteration का सुधार (Correction) ज्ञात करें $x_1 = 2.1$ पर फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें: $$f(2.1) = (2.1)^3 - 2(2.1) - 5 = 9.261 - 4.2 - 5 = 0.061$$ $$f'(2.1) = 3(2.1)^2 - 2 = 3(4.41) - 2 = 13.23 - 2 = 11.23$$ Iteration सूत्र को फिर से लागू करें: $$x_2 = 2.1 - \frac{0.061}{11.23} \approx 2.1 - 0.00543 = 2.09457$$ अंतिम अनुमानित मूल (Root): $x \approx 2.09$ --- ## अनुभाग D: Partial Fraction द्वारा एक-पंक्ति में हल (One-Line Elimination) ### उदाहरण 5 प्रश्न: नीचे दिए गए परिमेय व्यंजक (rational expression) को वैदिक 'cover-up' विधि का उपयोग करके Partial Fractions में विभाजित करें: $$\frac{2x^2 - 4x - 1}{(x - 1)(x - 2)(x + 3)}$$ उत्तर: हम इस व्यंजक को निम्नलिखित रूप में विभाजित करना चाहते हैं रूप: $$\frac{2x^2 - 4x - 1}{(x - 1)(x - 2)(x + 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 3}$$ #### चरण 1: गुणांक $A$ के लिए हल करें (मूल $x = 1$ पर मान निकालें) हर में $(x - 1)$ गुणनखंड को ढक दें और शेष पदों में $x = 1$ का मान रखें: $$A = \frac{2(1)^2 - 4(1) - 1}{((1) - 2)((1) + 3)} = \frac{2 - 4 - 1}{(-1)(4)} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$$ #### चरण 2: गुणांक $B$ के लिए हल करें (मूल $x = 2$ पर मान निकालें) हर में $(x - 2)$ गुणनखंड को ढक दें और शेष पदों में $x = 2$ का मान रखें: $$B = \frac{2(2)^2 - 4(2) - 1}{((2) - 1)((2) + 3)} = \frac{8 - 8 - 1}{(1)(5)} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$$ #### चरण 3: गुणांक $C$ के लिए हल करें (मूल $x = -3$ पर मान निकालें) हर में $(x + 3)$ गुणनखंड को ढक दें और शेष पदों में $x = -3$ का मान रखें: $$C = \frac{$$\frac{2(-3)^2 - 4(-3) - 1}{((-3) - 1)((-3) - 2)} = \frac{18 + 12 - 1}{(-4)(-5)} = \frac{29}{20}$$

चरण 4: अंतिम वियोजन (Decomposition) लिखें

$$\frac{2x^2 - 4x - 1}{(x - 1)(x - 2)(x + 3)} = \frac{3}{4(x - 1)} - \frac{1}{5(x - 2)} + \frac{29}{20(x + 3)}$$

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: त्रिघातीय और चतुर्घातीय गुणनखंडन

प्रत्येक उच्च-घात वाले बहुपद समीकरण को उन्नत वैदिक निरीक्षण, परावर्त्य, या व्यष्टि-समष्टि विधियों का उपयोग करके हल करें। अपने चरण स्पष्ट रूप से लिखें।

A1. $x^3 - 7x + 6 = 0$

A2. $x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0$

A3. $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

A4. $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$

A5. $2x^3 - 1x^2 - 5x - 2 = 0$

A6. $3x^3 - 4x^2 - 17x + 6 = 0$

A7. समीकरण $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ का वह द्विघातीय गुणनखंड ज्ञात करें, जो परावर्त्य विधि का उपयोग करके मूल $x = 2$ को हटाने के बाद शेष बचता है।

A8. गुणांक योग जाँच नियम का उपयोग करके त्रिघातीय समीकरण $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ को हल करें।

A9. व्यासष्टि-समष्टि विधि का उपयोग करके चतुर्थ-घातीय व्यंजक $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 = 0$ का गुणनखंडन करें।

A10. चतुर्थ-घातीय समीकरण $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ को दो अलग-अलग द्विघात गुणनखंडों में विभाजित करें।

A11. समीकरण $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4 = 0$ को हल करें।

A12. सत्य या असत्य: यदि किसी बहुपद के विषम घातों के गुणांकों का योग, सम घातों के गुणांकों के योग के बराबर हो, तो $x = 1$ उसका एक निश्चित मूल होता है।

A13. समीकरण $x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0$ के शेष द्विघात गुणनखंड का मध्य गुणांक $k$ ज्ञात करें, जबकि यह दिया गया है कि $x = 1$ इसका एक मूल है।

A14. समीकरण $x^3 - 19x - 30 = 0$ के सभी मूल ज्ञात करें।

A15. बहुपद समीकरण $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 = 0$ को हल करें।

अभ्यास सेट B: चलनकलनभ्याम मूल सन्निकटन

वैदिक कलन की अवकलज पुनरावृति विधि का उपयोग करके, प्रत्येक समीकरण के वास्तविक मूल का दो दशमलव स्थानों तक सन्निकटन करें।

B1. $x_0 = 1$ से प्रारंभ करते हुए, समीकरण $x^3 - x - 1 = 0$ का वास्तविक मूल ज्ञात करें।

B2. अंतराल $[2, 3]$ में, समीकरण $x^3 - 9x + 1 = 0$ का वास्तविक मूल ज्ञात करें।

B3. समीकरण $x^3 + x^2 - 2 = 0$ का वास्तविक मूल ज्ञात करें।

B4. $x_0 = 2$ का उपयोग करके, समीकरण $x^3 - 3x - 5 = 0$ के वास्तविक मूल का सन्निकटन करें।

B5. बहुपद $4x^3 - 3x^2 + 2x - 7$ के लिए वैदिक अवकलज फलन $f'(x)$ क्या है?

अभ्यास सेट C: एक-पंक्ति आंशिक भिन्न वियोजन

प्रत्येक परिमेय फलन को वैदिक 'कवर-अप' विधि का उपयोग करके आंशिक भिन्नों में वियोजित करें।

C1.

$$\frac{x - 5}{(x - 1)(x + 2)}$$

C2.

$$\frac{2x + 3}{(x - 3)(x + 1)}$$

C3.

$$\frac{x^2 + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}$$

C4.

$$\frac{3x^2 - 1}{x(x - 2)(x + 2)}$$

C5.

$$\frac{5x - 2}{x^2 - 4}$$

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर

A1. $x = 1, 2, -3$

A2. $x = 2, 4, -3$

A3. $x = 1, 3, -1$

A4. $x = -1, -2, -3$

A5. $x = 2, -1, -\frac{1}{2}$

A6. $x = 3, -2, \frac{1}{3}$

A7. $x^2 - 4x + 3$

A8. $x = 2, 2, -1$

A9. $(x-1)^4 = 0 \implies x = 1, 1, 1, 1$

A10. $(x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0$

A11. $x = -1, -1, 2, 2$

A12. असत्य (मूल $x = -1$ है)

A13. $k = -6$

A14. $x = 5, -2, -3$

A15. $x = 1, 2, 3, 4$

सेट B के उत्तर

B1. $x \approx 1.32$

B2. $x \approx 2.94$

B3. $x \approx 1.00$

B4. $x \approx 2.28$

B5. $12x^2 - 6x + 2$

सेट C के उत्तर

C1.

$$-\frac{4}{3(x-1)} + \frac{7}{3(x+2)}$$

C2.

$$\frac{9}{4(x-3)} - \frac{1}{4(x+1)}$$

C3.

$$\frac{1}{x-1} - \frac{5}{x-2} + \frac{5}{x-3}$$

C4.

$$\frac{1}{4x} + \frac{11}{8(x-2)} + \frac{11}{8(x+2)}$$

C5.

$$\frac{2}{x-2} + \frac{3}{x+2}$$

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका और कक्षा गतिविधियाँ

21.7 — उन्नत कक्षा गतिविधियाँ

गतिविधि 1: "विलोपनम" गति चुनौती

उद्देश्य: दृश्य निरीक्षण का उपयोग करके त्रिघाती समीकरणों के परिमेय मूलों को शीघ्रता से ज्ञात करना। प्रक्रिया: शिक्षक बोर्ड पर एक त्रिघाती समीकरण प्रदर्शित करते हैं। छात्रों के पास इसके गुणांकों का योग ज्ञात करने और यह बताने के लिए 10 सेकंड का समय होता है कि क्या $x = 1$ या $x = -1$ इसका एक मूल है, साथ ही उन्हें शेष अचर पद भी बताना होता है। गति और सटीकता के लिए अंक दिए जाते हैं। अवधि: 15 मिनट।

गतिविधि 2: "कवर-अप" दौड़

उद्देश्य: एक-पंक्ति आंशिक भिन्न वियोजन में महारत हासिल करना। प्रक्रिया: कक्षा को दो-दो छात्रों की टीमों में विभाजित करें। प्रत्येक टीम को जटिल परिमेय व्यंजकों वाले कार्डों का एक सेट दें। एक छात्र कार्ड पर अंकित लक्षित रैखिक गुणनखंड को ढक लेता है, जबकि दूसरा छात्र मानसिक रूप से उस गुणनखंड के मूल पर शेष व्यंजक का मान ज्ञात करता है। जो टीम सबसे पहले पाँच कार्डों को सही ढंग से पूरा कर लेती है, वह दौड़ जीत जाती है। अवधि: 20 मिनट।

21.8 — छात्रों की सामान्य गलतियाँ और उनका सुधार

1. परावर्त्य संश्लेषित विभाजन (Paravartya Synthetic Reductions) के दौरान चिह्न संबंधी त्रुटियाँ त्रुटि: छात्र अक्सर परावर्त्य गुणक निर्धारित करते समय भाजक के अचर पद का चिह्न बदलना भूल जाते हैं (उदाहरण के लिए, $x - 2$ से भाग देते समय $+2$ के स्थान पर $-2$ का उपयोग करना)। सुधार: छात्रों को "स्थानांतरण और अनुप्रयोग" (Transpose and Apply) नियम की याद दिलाएँ। बाएँ से दाएँ घटाना शुरू करने से पहले, उन्हें अचर पद का चिह्न बदलना होगा।

2. बहुपद के छूटे हुए पदों के लिए 'प्लेसहोल्डर ज़ीरो' (शून्य) का उपयोग करना भूल जाना त्रुटि: समीकरण में किसी छूटे हुए पद के लिए शून्य प्लेसहोल्डर को छोड़ देना, जब उसके गुणांक लिखे जा रहे हों (उदाहरण के लिए, $x^3 - 4x + 3$ के गुणांकों को $[1, 0, -4, 3]$ के बजाय $[1, -4, 3]$ लिखना)। सुधार: इस बात पर ज़ोर दें कि बहुपद की हर घात (degree)—अचर पद तक—के लिए गुणांकों की पंक्ति में एक संगत स्थान होना चाहिए। किसी भी छूटी हुई घात के लिए शून्य ($0$) का उपयोग करें।

3. आंशिक भिन्न (Partial Fraction) की गणना के दौरान गलत मूल्यांकन त्रुटि: लक्षित गुणनखंड को ढकने (cover up) के बजाय, पूरे हर (denominator) व्यंजक का मूल्यांकन करना; जिसके परिणामस्वरूप 'शून्य से भाग' (division-by-zero) की त्रुटि उत्पन्न होती है। सुधार: 'ढकने' (cover-up) वाले चरण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करें। मूल मान (root value) को प्रतिस्थापित करने से पहले, जिस गुणनखंड का मूल्यांकन किया जा रहा है, उसे व्यंजक से भौतिक रूप से छिपाया या हटाया जाना चाहिए।

त्वरित संदर्भ कार्ड

मॉड्यूल 21 सारांश पत्रक (प्रिंट-अनुकूल)

╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║                वैदिक गणित — मॉड्यूल 21 चीट शीट                ║
╠═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ त्रिघाती गुणांकों के योग की जाँच (सूत्र 5)                              ║
║ - यदि (सभी गुणांकों का योग) = 0             ==>  x = 1 एक मूल है। ║
║ - यदि (विषम घातों का योग) = (सम घातों का योग)    ==>  x = -1 एक मूल है। ║
║ - शेष गुणनखंड: (x - r)(ax² + kx + m) = 0                           ║
║   जहाँ m = -d/r  और  k = b + ar                                       ║
╠═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ परावर्त्य बहुपद न्यूनीकरण (सूत्र 4)                               ║
║ - किसी बहुपद को (x - p) से भाग देने के लिए, p का चिह्न बदलकर +p कर दें। ║
║ - गुणा करें और गुणांक वाली पंक्ति में बाईं से दाईं ओर जोड़ते जाएँ:       ║
║   p | a      b      c      d                                           ║
║     | ap     kp     mp                                          ║
║     --------------------------                                          ║
║        a   (b+ap) (c+kp)    0   <-- सटीक मूलों के लिए शेषफल 0 होता है। ║
╠═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ एक-पंक्ति आंशिक भिन्न वियोजन (Partial Fractions Decomposition)           ║
║ - हर (denominator) में एक रैखिक गुणनखंड (x - a) के लिए अंश A ज्ञात करने हेतु, ║
║   मूल व्यंजक में से (x - a) को ढक दें (हटा दें) और शेष पदों का मान x = a पर ║
║   ज्ञात करें:                                                           ║
║   A = [ P(x) / (x - b)(x - c) ] का मान x = a पर                         ║
╠═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ चालन-कलनभ्याम मूल सन्निकटन (सूत्र 9)                                    ║
║ - अवकलज नियम (Derivative Rule): प्रत्येक गुणांक को उसकी घात से गुणा करें ║
║   और घात को 1 कम कर दें।                                                ║
║ - पुनरावृति सुधार सूत्र (Iteration Correction Formula): x_next = x - [ f(x) / f'(x) ] ║
╚═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

Designed By Sachin Sharma, Founder, Vidaara.org