🕉️ वैदिक गणित — लेवल 3: एडवांस्ड

मॉड्यूल 25: सांख्यिकी और प्रायिकता — वैदिक गणना

पूरा स्टडी मटीरियल | थ्योरी + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"व्यष्टि-समष्टि के ज़रिए, कच्चे डेटा का अव्यवस्थित क्षेत्र, अलग-थलग बिंदु और पूरी प्रणाली के बीच एक व्यवस्थित संबंध में बदल जाता है।" — केनेथ विलियम्स, वैदिक गणित शिक्षक

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के आखिर तक, छात्र ये कर पाएंगे:

1. बड़े संख्यात्मक डेटा सेट के माध्य, माध्यिका और बहुलक को बिना कच्चे संचय के निर्धारित करने के लिए आनुरूप्येण (आनुपातिकता) का उपयोग करना।
2. वैदिक कार्यशील माध्य विचलन रणनीति का उपयोग करके प्रसरण और मानक विचलन की गणना करना।
3. ऊर्ध्व-तिर्यक मानसिक क्रॉस-प्रोडक्ट का उपयोग करके पियर्सन के सहसंबंध गुणांक ($r$) की गणना करना।
4. तेज़ संरचनात्मक फैक्टोरियल कमी पैटर्न का उपयोग करके जटिल क्रमचय ($^nP_r$) और संचय ($^nC_r$) समस्याओं को पंक्ति-दर-पंक्ति हल करना।
5. सममित पथ विश्लेषण का उपयोग करके द्विपद वितरण प्रायिकताओं का मानसिक रूप से विस्तार और गणना करना।
6. जटिल बहु-चरणीय मिश्रित प्रायिकताओं को दृश्य व्यष्टि-समष्टि (अंश-पूर्ण) वृक्ष संरचनाओं पर मैप करना।
7. बेज़ प्रमेय के तहत सशर्त व्युत्क्रम प्रायिकता मामलों को तत्काल एकल-पंक्ति सेल भार संतुलन के माध्यम से हल करना। ---

भाग 1: सिद्धांत

1.1 — केंद्रीय प्रवृत्ति: माध्य, माध्यिका, बहुलक (Anurupyena विधि द्वारा)

जब बड़े डेटा मैट्रिक्स के साथ काम किया जाता है, तो सांख्यिकीय गणना की पारंपरिक विधियों में यह ज़रूरी होता है कि हर एक मान को यांत्रिक रूप से जोड़ा जाए और फिर भाग दिया जाए ($\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$)। जब कई अंकों वाले डेटा फ़ील्ड्स को प्रोसेस किया जाता है, तो इस तरीके से गणना में गलतियाँ होने की संभावना बढ़ जाती है।

वैदिक सांख्यिकी में 'अनुरूप्येण' (समानुपात) के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। डेटा के विशाल मानों को सीधे जोड़ने के बजाय, हम एक स्थानीय संरचनात्मक आधार या 'कल्पित माध्य' ($A$) को अलग कर लेते हैं। इसके बाद, डेटा के प्रत्येक बिंदु को उसके सापेक्ष कमी या अधिकता वाले विचलन सदिश ($d = x - A$) के रूप में छोटा कर दिया जाता है।

इन विचलनों का संतुलनकारी पैमाना (scale factor) ज्ञात करके और उसे सीधे आधार मान पर लागू करके, वास्तविक माध्य प्राप्त किया जाता है:

$$\bar{x} = A + \frac{\sum d}{n}$$

समूहीकृत आवृत्ति डेटा सेट के लिए, 'अनुरूप्येण' विधि कच्चे अंतरालों को सीधे 'चरण-अनुपातों' (step-ratios) में बदल देती है, जिससे मान छोटे होकर एक-अंकीय गणनाओं में बदल जाते हैं। माध्यिका और बहुलक की गणनाएँ भी इसी समानुपाती अंतर्वेशन (proportional interpolation) ढांचे का उपयोग करती हैं, ताकि डेटा ब्लॉकों के भीतर सटीक स्थितियों को निर्धारित किया जा सके; इसके लिए जटिल और कई-स्तरों वाले सूत्रों को याद रखने की आवश्यकता नहीं पड़ती।

1.2 — प्रसरण और मानक विचलन (कार्यकारी माध्य विधि द्वारा)

प्रसरण ($\sigma^2$) और मानक विचलन ($\sigma$) किसी संपूर्ण प्रणाली की पहचान (समष्टि) के चारों ओर, उसके व्यक्तिगत तत्वों (व्यष्टि) के आंतरिक बिखराव या संरचनात्मक फैलाव को मापते हैं।

वैदिक गणना पद्धति में, बड़े अंकों का जटिल वर्ग (squaring) करने से बचा जाता है; इसके लिए हमारे विचलन सदिशों ($d$) को एक कल्पित कार्यकारी आधार (assumed working base) की संरचनात्मक संरेखण के साथ संयोजित किया जाता है। Variance का पूरा फ़ॉर्मूला इस तरह अपडेट होता है:

$$\sigma^2 = \frac{\sum d^2}{n} - \left(\frac{\sum d}{n}\right)^2$$

आमने-सामने तुलना

समस्या: डेटासेट का Variance निकालें: $98, 102, 105, 97, 98$

स्कूल का पारंपरिक तरीका:

1. लंबा अंकगणितीय औसत निकालें:

$$\bar{x} = \frac{98 + 102 + 105 + 97 + 98}{5} = \frac{500}{5} = 100$$

2. हर एक मान का विचलन (deviation) निकालें:

$$(98-100), (102-100), (105-100), (97-100), (98-100) \rightarrow -2, 2, 5, -3, -2$$

3. हर एक मान का वर्ग (square) करें: $4, 4, 25, 9, 4$
4. वर्गों का योग करें: $\sum (x-\bar{x})^2 = 4 + 4 + 25 + 9 + 4 = 46$
5. कुल तत्वों की संख्या से भाग दें: $\sigma^2 = \frac{46}{5} = 9.2$

समय: ~40 सेकंड | लिखना: रफ़ कॉपी पर कई लाइन का हिसाब-किताब।

वैदिक विचलन विधि (अनुरूप्येण):

1. डेटा को देखकर तुरंत एक आधार मान (working base anchor) $A = 100$ चुन लें। 2. छोटे सापेक्ष विचलन ($d$) की सूची बनाएँ: $-2, +2, +5, -3, -2$

2. कॉलम में परिचालन मेट्रिक्स की गणना मानसिक रूप से करें: $\sum d = -2 + 2 + 5 - 3 - 2 = 0$ $\sum d^2 = 4 + 4 + 25 + 9 + 4 = 46$

3. मेट्रिक्स को संरचनात्मक समीकरण में डालें:

$$\sigma^2 = \frac{46}{5} - \left(\frac{0}{5}\right)^2 = 9.2 - 0 = \mathbf{9.2}$$

समय: ~5 सेकंड | लेखन: स्क्रैचपैड पर बहुत कम लाइनें।

1.3 — सहसंबंध गुणांक: ऊर्ध्व-तिर्यक क्रॉस-प्रोडक्ट्स

पियर्सन का सहसंबंध गुणांक ($r$) दो अलग-अलग चर $X$ और $Y$ के बीच की दिशात्मक रैखिक शक्ति को मापता है। पारंपरिक गणना मॉडल एक विशाल समीकरण प्रस्तुत करते हैं, जिसके लिए पाँच अलग-अलग योगों की अलग-अलग गणनाओं की आवश्यकता होती है।...मान ($\sum x, \sum y, \sum x^2, \sum y^2, \sum xy$)।

वैदिक गणना इस प्रक्रिया को सरल बना देती है, जिसके लिए यह दोनों डेटासेट को उनके अपने माने गए आधार केंद्रों के सापेक्ष विचलन सदिशों ($dx$ और $dy$) में बदल देती है। इसके बाद, क्रॉस-वेरिएबल गुणनफल योग ($\sum dx \cdot dy$) की गणना के लिए सूत्र 3 (ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्) के समानांतर गुणन पैटर्न का उपयोग किया जाता है।

$$r = \frac{\sum (dx \cdot dy)}{\sqrt{\sum dx^2 \cdot \sum dy^2}}$$

ऊर्ध्व-तिर्यक विधि का उपयोग करते हुए, गुणनफल पदों को समानांतर स्तंभों में मानसिक रूप से संचित किया जाता है, जिससे संपूर्ण सहसंबंध प्रक्रिया एक ही संक्षिप्त तालिका में सिमट जाती है।

1.4 — फैक्टोरियल न्यूनीकरण के माध्यम से क्रमचय और संचय

वैदिक गणना व्यवस्थाओं ($^nP_r$) और चयनों ($^nC_r$) को हल करते समय पूर्ण स्वतंत्र फैक्टोरियल (जैसे $10!$) की गणना करने से बचती है। इसके बजाय, यह सूत्र 14 (एकन्यूननेन पूर्वेण — पिछले वाले से एक कम करके) पर आधारित एक त्वरित न्यूनीकरण तकनीक का उपयोग करती है।

चयन न्यूनीकरण पैटर्न ($^nC_r$)

$^nC_r$ की गणना करने के लिए, एक भिन्न लिखें जिसमें अंश $n$ से शुरू होता है और ठीक $r$ चरणों तक एक-एक करके नीचे की ओर गिना जाता है। हर $1$ से शुरू होता है और $r$ तक ऊपर की ओर गिना जाता है। गुणा करने से पहले उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काट दें। ───► ऊपर वाली लाइन $r$ स्टेप्स तक एक-एक करके (एकान्यूनेन) घटती है

$$^nC_r = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots \text{ ($r$ पद)}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots r}$$

───► नीचे वाली लाइन $r$ स्टेप्स तक एक-एक करके बढ़ती है

उदाहरण: $^{10}C_3$ की गणना करें

1. 10 से घटते हुए 3 पद लिखें, और उनके नीचे 1 से बढ़ते हुए 3 पद लिखें:

$$^{10}C_3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3}$$

2. गुणा करने से पहले भिन्नों को मन ही मन सरल करें: $\frac{9}{3} = 3$ और $\frac{8}{2} = 4$

3. बची हुई संख्याओं की गणना करें: $10 \cdot 3 \cdot 4 = \mathbf{120}$.

1.5 — द्विपद बंटन (Binomial Distribution) की मानसिक गणनाएँ

द्विपद प्रायिकता बंटन उन प्रयोगों का मॉडल बनाता है जिनके दो परिणाम होते हैं: सफलता ($p$) या असफलता ($q = 1-p$), जो $n$ प्रयासों में होते हैं। ठीक $r$ सफलताएँ मिलने की प्रायिकता यह है:

$$P(X=r) = \,^nC_r \cdot p^r \cdot q^{n-r}$$

वैदिक बीजगणित इन गुणांकों को पास्कल के त्रिभुज (Pascal's Triangle) के साथ, सीधे आनुपातिक बदलावों का उपयोग करके मिलाता है। हर मान की गणना शुरू से करने के बजाय, हर अगले स्टेप का गुणांक पिछले स्टेप से एक सरल गुणा अनुपात का उपयोग करके निकाला जाता है:

$$\text{अगला गुणांक} = \text{वर्तमान गुणांक} \times \frac{\text{सफलता की वर्तमान घात}}{\text{वर्तमान स्टेप की संख्या}}$$

यह आपको एक ही बार में, एक सीधी प्रक्रिया में, पूरे द्विपद प्रायिकता बंटन की गणना करने और उसे लिखने में मदद करता है।

1.6 — व्यष्टि-समष्टि के माध्यम से प्रायिकता वृक्ष (Probability Trees)

'व्यष्टि' शब्द का अर्थ है व्यक्तिगत घटक, कोशिका या भाग; और 'समष्टि' शब्द का अर्थ है सामूहिक ब्रह्मांड, प्रणाली या संपूर्ण।

[समष्टि: संपूर्ण ब्रह्मांड का संतुलन = 1.0]
/\
/  \
[व्यष्टि A] /    \ [व्यष्टि B]
/\    /\
/  \  /  \
[शर्तों पर आधारित उप-शाखाएँ]

जब कई चरणों वाले स्वतंत्र या निर्भर प्रायिकता (probability) मार्गों को ट्रैक किया जाता है, तो स्कूल की सामान्य गणित अक्सर जटिल सूत्रों के जाल में उलझ जाती है। व्यष्टि-समष्टि ढाँचा (framework) संपूर्ण 'सैंपल स्पेस' (संभावित परिणामों के समूह) को एक एकल, देखने में संतुलित वृक्ष-संरचना के रूप में प्रस्तुत करता है।

1. संपूर्ण (समष्टि): मुख्य मूल नोड (master root node) हमेशा ठीक $1.0$ के कुल प्रायिकता भार (weight) को दर्शाता है।
2. भाग (व्यष्टि): उप-शाखाएँ छोटे-छोटे भिन्नात्मक मार्गों में विभाजित हो जाती हैं, जिनका योग हमेशा उनके मूल नोड (parent node) के मान के बराबर होना चाहिए।
3. मार्ग का मूल्यांकन: किसी भी निरंतर मार्ग पर स्थित मानों को आपस में गुणा करने पर उस विशिष्ट संरचनात्मक परिणाम की पहचान हो जाती है; इससे अलग-अलग मार्गों और संपूर्ण प्रणाली के बीच का संबंध स्पष्ट बना रहता है।

1.7 — बेज़ का प्रमेय (Bayes' Theorem): एक-पंक्ति भार संतुलन

बेज़ का प्रमेय 'उलटी सशर्त प्रायिकताओं' (inverted conditional probabilities) की गणना करता है—अर्थात्, यह उस संभावना का पता लगाता है कि कोई विशिष्ट कारण घटित हुआ होगा, जबकि कोई निश्चित परिणाम पहले ही देखा जा चुका हो:

$$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum P(B|A_j)P(A_j)}$$

वैदिक प्रायिकता (Vedic probability) इस गणना को एक 'मैट्रिक्स लेआउट' का उपयोग करके सरल बनाती है, जिसे 'वैदिक प्रायिकता सेल ग्रिड' कहा जाता है। यह विधि सैंपल स्पेस को आनुपातिक भागों (व्यष्टि) में व्यवस्थित करती है, जिन्हें केवल एक ही पंक्ति में संतुलित किया जा सकता है; इस प्रकार यह जटिल और अमूर्त सूत्रों की आवश्यकता को पूरी तरह से समाप्त कर देती है।

वैदिक ग्रिड लेआउट

एक बार ग्रिड भर जाने के बाद, किसी भी चुने हुए कारण की प्रायिकता (probability) बस उसके व्यक्तिगत पथ भार (path weight) को कुल प्रणाली भार से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: आनुपातिक केंद्रीय प्रवृत्ति और प्रसरण (Variance)

उदाहरण 1

प्रश्न: डेटा सेट $\{245, का सटीक अंकगणितीय माध्य (arithmetic mean) ज्ञात कीजिए।248, 252, 241, 244, 256, 250, 248\}$ के लिए 'अनुरूप्येण' विचलन विधि का उपयोग करें।

उत्तर:

1. डेटा के केंद्र के पास एक गोल कल्पित माध्य आधार चुनें: $A = 250$.
2. प्रत्येक डेटा बिंदु के लिए सापेक्ष विचलन ($d = x - 250$) की सूची बनाएं:

$$-5, -2, +2, -9, -6, +6, 0, -2$$

3. इन विचलन मानों का योग करें:

$$\sum d = (-5) + (-2) + 2 + (-9) + (-6) + 6 + 0 + (-2) = -16$$

4. विचलनों के योग को मदों की कुल संख्या ($n = 8$) से विभाजित करें:

$$\text{विचलन औसत} = \frac{-16}{8} = -2$$

5. वास्तविक माध्य ज्ञात करने के लिए इस परिणाम को अपने कल्पित माध्य आधार के साथ मिलाएं:

$$\bar{x} = A + \left(\frac{\sum d}{n}\right) = 250 + (-2) = \mathbf{248}$$

उदाहरण 2

प्रश्न: डेटा सेट $\{10, 13, 15, 9, 8, 11\}$ के लिए वैदिक कार्य माध्य विचलन विधि का उपयोग करके प्रसरण ($\sigma^2$) और मानक विचलन ($\sigma$) ज्ञात करें।

उत्तर:

1. एक सुविधाजनक कल्पित माध्य आधार चुनें: $A = 10$.
2. अपनी गणनाओं के लिए एक कार्य तालिका बनाएं:

3. वैदिक प्रसरण सूत्र लागू करें:

$$\sigma^2 = \frac{\sum d^2}{n} - \left(\frac{\sum d}{n}\right)^2 = \frac{40}{6} - \left(\frac{6}{6}\right)^2 = \frac{20}{3} - (1)^2 = 6.67 - 1 = \mathbf{5.67}$$

4. मानक विचलन ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लें:

$$\sigma = \sqrt{5.67} \approx \mathbf{2.38}$$

अनुभाग B: सहसंबंध और संचय-विन्यास

उदाहरण 3

प्रश्न: युग्मित डेटा सरणियों $X = \{5, 7, 8, 4, 6\}$ और $Y = \{11, 14, 15, 9, 11\}$ के लिए पियर्सन सहसंबंध गुणांक ($r$) की गणना करें।

उत्तर:

1. दोनों डेटासेट के लिए एक कल्पित माध्य आधार चुनें: $A_x = 6$ और $A_y = 12$.
2. ऊर्ध्व-तिर्यक विधि का उपयोग करके विचलन सदिशों ($dx, dy$) और उनके गुणनफलों के लिए एक तालिका बनाएँ:

3. योगों से सीधे सहसंबंध गुणांक की गणना करें:

$$r = \frac{\sum (dx \cdot dy)}{\sqrt{\sum dx^2 \cdot \sum dy^2}} = \frac{15}{\sqrt{10 \cdot 24}} = \frac{15}{\sqrt{240}} = \frac{15}{15.49} \approx \mathbf{0.968}$$

उदाहरण 4

प्रश्न: 8 उम्मीदवारों के एक समूह में से 4 लोगों की एक समिति का चयन किया जाना है। वैदिक त्वरित-लघुकरण पैटर्न का उपयोग करके संभावित संयोजनों ($^8C_4$) की संख्या की गणना करें।

उत्तर:

1. भिन्नात्मक-लघुकरण पैटर्न को व्यवस्थित करें। अंश में 8 से 4 कदम नीचे की ओर गिनें, और हर में 1 से 4 तक ऊपर की ओर गिनें:

$$^8C_4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$$

2. गुणा करने से पहले उभयनिष्ठ पदों को काटकर भिन्न को सरल करें: ऊपर और नीचे दोनों से $2 \cdot 3 = 6$ को काट दें। अंश में 8 को हर में 4 से विभाजित करें: $\frac{8}{4} = 2$।

3. शेष संख्याओं को आपस में गुणा करें:

$$^8C_4 = 2 \cdot 7 \cdot 5 = \mathbf{70}$$

अनुभाग C: प्रायिकता वृक्ष और बायेसियन ग्रिड

उदाहरण 5

प्रश्न: एक निष्पक्ष सिक्के को 4 बार उछाला जाता है। आनुपातिक द्विपद संक्रमण पैटर्न का उपयोग करके ठीक 2 चित (heads) आने की प्रायिकता की गणना करें।

उत्तर:

1. परीक्षण मापदंडों की पहचान करें: $n = 4$, सफलता (चित) की प्रायिकता $p = 0.5$, असफलता (पट) की प्रायिकता $q = 0.5$।
2. $n = 4$ के लिए पास्कल के त्रिभुज के गुणांकों का उपयोग करें, जो इस प्रकार हैं: $1, 4, 6, 4, 1$। 3. हमें ठीक 2 सफलताओं ($r = 2$) के लिए गुणांक चाहिए, जो कि तीसरा पद है: $6$.
3. इस संयोजन के लिए कुल प्रायिकता भार की गणना करें:

$$P(X=2) = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} = 6 \cdot (0.5)^4 = 6 \cdot 0.0625 = \mathbf{0.375} \text{ या } \frac{3}{8}$$

उदाहरण 6

प्रश्न: तीन निर्माण मशीनें ($A, B, C$) एक फैक्ट्री के कुल उत्पादन का $50\%$, $30\%$, और $20\%$ उत्पादन करती हैं। उनकी खराबी दरें क्रमशः $1\%$, $2\%$, और $3\%$ हैं। एक वस्तु को यादृच्छिक रूप से नमूने के तौर पर लिया जाता है और वह खराब पाई जाती है। एकल-पंक्ति वैदिक ग्रिड लेआउट का उपयोग करके, उस वस्तु के मशीन $C$ से आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

उत्तर:

1. अपने गणना मानों को आनुपातिक पथ भार ग्रिड लेआउट में व्यवस्थित करें:

2. इस बात की परिकलित प्रायिकता कि खराब वस्तु मशीन $C$ से आई है, यह है:

$$P(C|\text{खराब}) = \frac{0.006}{0.017} = \mathbf{\frac{6}{17}} \approx \mathbf{0.353}$$

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: आनुपातिक केंद्रीय प्रवृत्ति (20 प्रश्न)

प्रत्येक डेटा सेट के लिए, कल्पित माध्य (assumed mean) आधार का उपयोग करके, सटीक अंकगणितीय माध्य ($\bar{x}$) की गणना करें।

A1. $\{95, 98, 102, 105, 97, 94, 101, 108\}$ A2. $\{450, 462, 448, 455, 451, 465, 442, 449\}$ A3. $\{12, 15, 9, 11, 14, 18, 10, 13, 12\}$ A4. $\{1105, 1108, 1112, 1098, 1101, 1106\}$ A5. $\{72, 75, 69, 71, 74, 78, 80, 68\}$ A6. $\{198, 202, 205, 197, 199, 201, 204\}$ A7. $\{54, 56, 52, 55, 53, 57, 51, 54\}$ A8. $\{320, 315, 325, 330, 310, 318\}$ A9. $\{8, 12, 15, 7, 9, 14, 11, 10\}$ A10. $\{2495, 2502, 2498, 2505, 2491, 2501\}$

विचलन संतुलन विधि का उपयोग करके प्रत्येक डेटासेट में लुप्त मान ज्ञात कीजिए।

A11. माध्य = $50$, डेटा: $\{48, 52, 55, 46, x\}$; $x$ ज्ञात कीजिए। A12. माध्य = $100$, डेटा: $\{97, 104, 98, 101, 105, x\}$; $x$ ज्ञात कीजिए। A13. माध्य = $15$, डेटा: $\{14, 17, 12, 16, 11, 18, x\}$; $x$ ज्ञात कीजिए। A14. माध्य = $250$, डेटा: $\{245, 252, 248, 255, 246, x\}$; $x$ ज्ञात कीजिए। A15. माध्य = $80$, डेटा: $\{78, 82, 85, 74, 81, x\}$; $x$ ज्ञात कीजिए।

प्रत्येक डेटासेट के लिए माध्यिका मान निर्धारित कीजिए।

A16. $\{14, 17, 12, 19, 15, 22, 11, 16, 18\}$ A17. $\{92, 95, 88, 104, 101, 97, 90, 99\}$ A18. $\{5, 12, 8, 4, 15, 7, 10, 9\}$ A19. $\{120, 125, 118, 122, 130, 121, 124\}$ A20. $\{34, 38, 32, 36, 40, 35, 37\}$

अभ्यास सेट B: विचरण और प्रकीर्णन के माप (20 प्रश्न)

विचलन विधि का उपयोग करके प्रत्येक डेटासेट के लिए विचरण ($\sigma^2$) और मानक विचलन ($\sigma$) ज्ञात कीजिए।

B1. $\{8, 10, 12, 14, 6\}$ B2. $\{101, 99, 102, 98, 100\}$ B3. $\{15, 18, 12, 14, 16, 17\}$ B4. $\{50, 55, 45, 48, 52\}$ B5. $\{5, 9, 7, 11, 8\}$ B6. $\{12, 12, 12, 12, 12\}$ B7. $\{20, 25, 30, 15, 10\}$ B8. $\{202, 206, 198, 204, 195, 201\}$ B9. $\{44, 46, 42, 45, 43, 47, 41\}$ B10. $\{9, 15, 11, 8, 12\}$

ऊर्ध्व-तिर्यक विधि का उपयोग करके निम्नलिखित युग्मित डेटा श्रेणियों के लिए सहसंबंध गुणांक ($r$) की गणना कीजिए।

B11. $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और $Y = \{2, 4, 5, 7, 8\}$ B12. $X = \{10, 20, 30\}$ और $Y = \{5, 10, 15\}$ B13. $X = \{4, 6, 8, 10\}$ और $Y = \{12, 10, 8, 6\}$ B14. $X = \{3, 5, 6, 8, 9\}$ और $Y = \{7, 8, 10, 11, 12\}$ B15. $X = \{2, 4, 6\}$ और $Y = \{9, 7, 5\}$

हर ​​डेटासेट के लिए माध्यिका से माध्य विचलन (Mean Deviation from the Median) ज्ञात कीजिए।

B16. $\{3, 6, 7, 9, 15\}$ B17. $\{10, 12, 18, 20, 25\}$ B18. $\{100, 102, 105, 108, 110\}$ B19. $\{4, 7, 8, 9, 12, 14\}$ B20. $\{50, 52, 55, 58, 60\}$

अभ्यास सेट C: संयोजिकी और बंटन (15 प्रश्न)

तेजी से संरचनात्मक कमी (rapid structural reduction) का उपयोग करके प्रत्येक समस्या के लिए संभावनाओं की संख्या की गणना करें।

C1. $^{10}C_4$ C2. $^{12}C_3$ C3. $^7C_5$ C4. $^{15}C_2$ C5. $^{50}C_{48}$ (संकेत: पहले समरूपता $^nC_r = \,^nC_{n-r}$ का उपयोग करें) C6. $^8P_3$ C7. $^{10}P_4$ C8. $^6P_5$ C9. 7 लोगों में से 3 लोगों की एक टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है? C10. 6 किताबों के संग्रह में से 4 किताबों को एक शेल्फ पर कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

आनुपातिक संक्रमण पैटर्न (proportional transition patterns) का उपयोग करके इन द्विपद बंटन (Binomial Distribution) समस्याओं को हल करें।

C11. एक निष्पक्ष पासे को 3 बार उछाला जाता है। ठीक 2 बार छह आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। C12. एक सिक्का, जिसके चित (heads) आने की प्रायिकता 60% ($p=0.6$) है, 4 बार उछाला जाता है। ठीक 3 बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। C13. एक प्रयोग की सफलता दर 20% ($p=0.2$) है। 5 प्रयासों में से, ठीक 1 बार सफलता मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। C14. एक बास्केटबॉल खिलाड़ी अपने 80% फ्री थ्रो (free throws) में लक्ष्य भेदता है। यदि वह 3 शॉट लेता है, तो ठीक 2 बार स्कोर करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। C15. एक 'सही/गलत' (True/False) क्विज़ में 5 प्रश्न हैं। यदि कोई छात्र यादृच्छिक रूप से अनुमान लगाता है, तो ठीक 4 सही उत्तर मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

अभ्यास सेट D: प्रायिकता वृक्ष (Probability Trees) और बेज़ियन ग्रिड (Bayesian Grids) (15 प्रश्न)

इन बहु-चरणीय प्रायिकता समस्याओं को पथों (paths) पर आरेखित करके अंतिम उत्तर ज्ञात कीजिए।

D1. थैले A में 3 लाल और 2 नीली गोलियाँ (marbles) हैं। थैले B में 4 लाल और 5 नीली गोलियाँ हैं। एक थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, और उसमें से एक गोली निकाली जाती है। गोली के लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। D2. एक छात्र परीक्षा के लिए पढ़ाई करता है; यदि वह तैयारी करता है, तो उसके उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 90% होती है। यदि वह पढ़ाई नहीं करता है, तो उसके उत्तीर्ण होने की प्रायिकता घटकर 30% रह जाती है। छात्र के पढ़ाई करने की प्रायिकता 70% है। उसके परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। D3. ताश की एक मानक गड्डी में से बिना प्रतिस्थापन (without replacement) के दो पत्ते निकाले जाते हैं। दोनों पत्तों के इक्के (Aces) होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। D4. मौसम पूर्वानुमान के अनुसार, कल वर्षा होने की प्रायिकता 60% है। यदि वर्षा होती है, तो किसी स्थानीय खेल (sports game) के विलंबित होने की प्रायिकता 40% होती है। यदि वर्षा नहीं होती है, तो विलंब होने की प्रायिकता केवल 10% होती है। खेल के विलंबित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। D5. एक लक्ष्य पर दो तीरंदाज़ों द्वारा निशाना साधा जाता है। तीरंदाज़ 1 के लक्ष्य भेदने की प्रायिकता 70% है, और तीरंदाज़ 2 के लक्ष्य भेदने की प्रायिकता 80% है। यदि दोनों एक-एक बार निशाना साधते हैं, तो लक्ष्य पर कम से कम एक बार निशाना लगने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

इन व्युत्क्रम सप्रतिबंध प्रायिकता (inverse conditional probability) समस्याओं को 'एकल-पंक्ति सेल भार ग्रिड' (single-line cell weight grid) लेआउट का उपयोग करके हल कीजिए। D6. प्रश्न D1 की जानकारी का उपयोग करते हुए, यदि निकाला गया कंचा लाल है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह थैले $A$ से आया है। D7. प्रश्न D2 की जानकारी का उपयोग करते हुए, अगर छात्र परीक्षा में पास हो गया, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उसने परीक्षा के लिए पढ़ाई की थी। D8. एक दुर्लभ चिकित्सीय स्थिति 1% आबादी में पाई जाती है। एक डायग्नोस्टिक टेस्ट उन लोगों के लिए 95% सटीक होता है जिन्हें यह स्थिति होती है, लेकिन स्वस्थ व्यक्तियों के लिए इसकी 'फॉल्स-पॉजिटिव' दर 5% होती है। अगर किसी व्यक्ति का टेस्ट पॉजिटिव आता है, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उसे वास्तव में वह स्थिति है। D9. तीन अलग-अलग राजनीतिक गुटों ($X, Y, Z$) के चुनाव जीतने की संभावना क्रमशः $40\%$, $35\%$ और $25\%$ है। अगर वे चुने जाते हैं, तो उनके द्वारा एक विशिष्ट पर्यावरण कानून पारित करने की प्रायिकता क्रमशः $80\%$, $40\%$ और $20\%$ है। अगर चुनाव के बाद वह कानून पारित हो जाता है, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गुट $X$ जीता था। D10. एक स्वचालित स्पैम फ़िल्टर ईमेल संदेशों को फ़्लैग करता है। आने वाले सभी ईमेल में से $10\%$ स्पैम होते हैं। यह फ़िल्टर 99% वास्तविक स्पैम ईमेल को फ़्लैग करता है, लेकिन गलती से 2% वैध ईमेल को भी फ़्लैग कर देता है। अगर किसी ईमेल को स्पैम के रूप में फ़्लैग किया जाता है, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह वास्तव में स्पैम है। D11. बॉक्स 1 में 2 सोने के सिक्के और 1 चांदी का सिक्का है। बॉक्स 2 में 1 सोने का सिक्का और 3 चांदी के सिक्के हैं। एक बॉक्स को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, और उसमें से एक सिक्का निकाला जाता है। अगर वह सिक्का सोने का है, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उसे बॉक्स 1 से निकाला गया था। D12. एक विनिर्माण संयंत्र दो उत्पादन लाइनों ($L_1$ और $L_2$) का उपयोग करता है, जो उसके कुल उत्पादों का $60\%$ और $40\%$ उत्पादन करती हैं। लाइन 1, 2% दोषपूर्ण वस्तुएँ बनाती है, जबकि लाइन 2, 5% दोषपूर्ण वस्तुएँ बनाती है। अगर कोई वस्तु दोषपूर्ण पाई जाती है, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह लाइन 1 से आई थी। D13. एक बीमा कंपनी ड्राइवरों को तीन जोखिम श्रेणियों में वर्गीकृत करती है: कम जोखिम (70% ग्राहक), मध्यम जोखिम (20%), और उच्च जोखिम (10%)। एक वर्ष के दौरान दुर्घटना होने की प्रायिकता कम जोखिम वाले ग्राहकों के लिए 1%, मध्यम जोखिम वाले ग्राहकों के लिए 5%, और उच्च जोखिम वाले ग्राहकों के लिए 10% है। अगर कोई ग्राहक दुर्घटना के लिए दावा (claim) करता है, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह उच्च जोखिम श्रेणी से संबंधित है। D14. एक सुरक्षा गार्ड प्रवेश द्वार पर बैज की जाँच करता है। 98% कर्मचारियों के पास वैध बैज होते हैं। गार्ड वैध बैज वाले 99% लोगों को सही-सही अंदर जाने देता है, लेकिन गलती से बिना वैध बैज वाले 5% लोगों को भी अंदर जाने देता है। यदि किसी व्यक्ति को अंदर जाने दिया जाता है, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उसके पास वैध बैज है। D15. एक छात्र 4 विकल्पों वाला एक बहुविकल्पीय प्रश्न हल करता है। छात्र या तो उत्तर जानता है (60% प्रायिकता) या वह अंदाज़ा लगाता है। यदि वह उत्तर जानता है, तो 100% प्रायिकता के साथ उसका उत्तर सही होता है। यदि वह अंदाज़ा लगाता है, तो उसके सही उत्तर देने की 25% संभावना होती है। यदि छात्र सही उत्तर देता है, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह वास्तव में उत्तर जानता था।

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर:

A1. $100$
A2. $452.125$
A3. $13.78$
A4. $1105$
A5. $73.375$
A6. $201.14$
A7. $54.125$
A8. $319.67$
A9. $11$
A10. $2498.67$
A11. $49$
A12. $95$
A13. $15$
A14. $262$
A15. $81$
A16. $16$
A17. $96$
A18. $8.5$
A19. $122$
A20. $36$

सेट B के उत्तर:

B1. $\sigma^2 = 8, \sigma = 2.83$
B2. $\sigma^2 = 2, \sigma = 1.41$
B3. $\sigma^2 = 4.22, \sigma = 2.05$
B4. $\sigma^2 = 12.8, \sigma = 3.58$
B5. $\sigma^2 = 4.24, \sigma = 2.06$
B6. $\sigma^2 = 0, \sigma = 0$
B7. $\sigma^2 = 50, \sigma = 7.07$
B8. $\sigma^2 = 14.89, \sigma = 3.86$
B9. $\sigma^2 = 4, \sigma = 2$
B10. $\sigma^2 = 6.8, \sigma = 2.61$
B11. $0.98$
B12. $1.0$
B13. $-1.0$
B14. $0.991$
B15. $-1.0$
B16. $3.2$
B17. $5.2$
B18. $3.2$
B19. $2.67$
B20. $3.2$

सेट C के उत्तर:

C1. $210$
C2. $220$
C3. $21$
C4. $105$
C5. $1225$
C6. $336$
C7. $5040$
C8. $720$
C9. $35$
C10. $360$
C11. $\frac{5}{72} \approx 0.069$
C12. $0.3456$
C13. $0.4096$
C14. $0.384$
C15. $\frac{5}{32} \approx 0.156$

सेट D के उत्तर:

D1. $\frac{47}{90} \approx 0.522$
D2. $0.72$
D3. $\frac{1}{221} \approx 0.0045$
D4. $0.28$
D5. $0.94$
D6. $\frac{27}{47} \approx 0.574$
D7. $\frac{7}{8} = 0.875$
D8. $\frac{19}{118} \approx 0.161$
D9. $\frac{32}{51} \approx 0.627$
D10. $\frac{11}{13} \approx 0.846$
D11. $\frac{8}{11} \approx 0.727$
D12. $\frac{3}{8} = 0.375$
D13. $\frac{10}{27} \approx 0.370$
D14. $\frac{9702}{9712} \approx 0.999$
D15. $\frac{6}{7} \approx 0.857$

त्वरित संदर्भ कार्ड

मॉड्यूल 25 सारांश पत्रक (प्रिंट-अनुकूल)

╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║             वैदिक सांख्यिकी और प्रायिकता — चीट शीट                ║
╠═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ मुख्य सूत्र: सूत्र 11: व्यष्टि-समष्टि (अंश और पूर्ण)                ║
║              उप-सूत्र 1: आनुरूप्येण (आनुपातिक रूप से)                  ║
╠═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ विचलनों के माध्यम से समांतर माध्य:                                         ║
║    x̄ = A + (∑d / n)    जहाँ d = x - A  (A = कल्पित माध्य आधार)         ║
║                                                                         ║
║ कार्यकारी माध्य (Working Mean) के माध्यम से प्रसरण (Variance):               ║
║    σ² = (∑d² / n) - (∑d / n)²                                           ║
╠═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ तीव्र संयोजन न्यूनीकरण (ⁿCᵣ):                                      ║
║    अंश (numerator) में n से r कदम नीचे की ओर गिनें।                          ║
║    हर (denominator) में 1 से r तक ऊपर की ओर गिनें।                             ║
║    गुणा करने से पहले भिन्नों को सरल करें। ║
║    उदाहरण: ¹⁰C₃ = (10 · 9 · 8) / (1 · 2 · 3) = 10 · 3 · 4 = 120        ║
╠═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ द्विपद बंटन की प्रायिकताएँ:                                    ║
║    P(X=r) = ⁿCᵣ · pʳ · qⁿ⁻ʳ                                              ║
║    चरणों के बीच आगे बढ़ने के लिए पास्कल के त्रिभुज के गुणांकों का उपयोग करें। ║
╠═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╝
║ वैदिक बेज़ियन सेल ग्रिड:                                           ║
║    1. पथ भार ज्ञात करें: Wᵢ = पूर्व प्रायिकता · संभाव्यता             ║
║    2. कुल तंत्र भार प्राप्त करने के लिए पथ भारों का योग करें: समष्टि = ∑Wᵦ        ║
║    3. संतुलित व्युत्क्रम प्रायिकता की गणना करें: P(कारण|परिणाम) = Wᵢ / ∑Wᵦ║
╚═════════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

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