🕉️ वैदिक गणित — लेवल 3: एडवांस्ड

मॉड्यूल 26: सम्मिश्र संख्याएँ — वैदिक दृष्टिकोण

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"सम्मिश्र संख्याएँ 'काल्पनिक' नहीं होतीं—वे वास्तविकता का एक उच्च आयाम हैं। सूत्र उनके बीजगणित और ज्यामिति में छिपे सुंदर पैटर्न को उजागर करते हैं।" — वैदिक गणित शिक्षक नियमावली

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र ये कर पाएँगे:

1. ऊर्ध्व तिर्यक-गुणा (Urdhva cross-multiplication) का उपयोग करके 3 सेकंड से भी कम समय में सम्मिश्र संख्याओं का गुणा करना।
2. परावर्त्य (transpose and apply) विधि का उपयोग करके सम्मिश्र संख्याओं का भाग करना।
3. वैदिक पैटर्न पहचान का उपयोग करके मापांक (modulus) और कोणांक (argument) की गणना करना।
4. यावदूनम् (Yavadunam) पैटर्न का उपयोग करके घातों और मूलों के लिए डी मोइवर प्रमेय (De Moivre's theorem) लागू करना।
5. चक्रीय पैटर्न विश्लेषण का उपयोग करके इकाई के n-वें मूल और उनके योग ज्ञात करना।
6. शून्यं साम्य (यदि समान, तो शून्य) विधि का उपयोग करके सम्मिश्र समीकरणों को हल करना।
7. आर्गंड तल (Argand plane) पर सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या करना।
8. JEE-स्तर की सम्मिश्र संख्या समस्याओं को 50% कम समय में हल करना।

भाग 1: सिद्धांत

1.1 — सम्मिश्र संख्याओं का परिचय

सम्मिश्र संख्या क्या है?

एक सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ के रूप की होती है, जहाँ $a$ वास्तविक भाग है, $b$ काल्पनिक भाग है, और $i = \sqrt{-1}$ है।

$$z = a + ib, \quad a,b \in \mathbb{R}, \quad i^2 = -1$$

सम्मिश्र संख्याओं के लिए वैदिक दृष्टिकोण क्यों?

1.2 — सम्मिश्र संख्याओं का गुणन: ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्

पैटर्न

$z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ के लिए:

$$z_1 \times z_2 = (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$$

यह बिल्कुल ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम् पैटर्न है:

• वास्तविक भाग = $ac - bd$ (पहले पदों का गुणनफल, घटा अंतिम पदों का गुणनफल)
• काल्पनिक भाग = $ad + bc$ (तिर्यक पदों का योग)

दृश्य पैटर्न

(a + ib) × (c + id)
│        │
└──┬──┬──┘
│  │
ac + i²bd + i(ad + bc)
= (ac - bd) + i(ad + bc)

उदाहरण 1: $(2 + 3i)(4 + 5i)$

वास्तविक भाग = $2×4 - 3×5 = 8 - 15 = -7$ काल्पनिक भाग = $2×5 + 3×4 = 10 + 12 = 22$

उत्तर = $-7 + 22i$ ✓

जाँच: FOIL विधि से $8 + 10i + 12i + 15i^2 = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i$ ✓

उदाहरण 2: $(3 - 2i)(1 + 4i)$

वास्तविक भाग = $3×1 - (-2)×4 = 3 + 8 = 11$ काल्पनिक भाग = $3×4 + (-2)×1 = 12 - 2 = 10$

उत्तर = $11 + 10i$ ✓

उदाहरण 3: $(-2 + 5i)(3 - 7i)$

वास्तविक भाग = $(-2)×3 - 5×(-7) = -6 + 35 = 29$ काल्पनिक भाग = $(-2)×(-7) + 5×3 = 14 + 15 = 29$

उत्तर = $29 + 29i = 29(1+i)$ ✓

उदाहरण 4: $z \times \bar{z}$ जहाँ $z = a + ib$, $\bar{z} = a - ib$

वास्तविक भाग = $a×a - b×(-b) = a^2 + b^2$ काल्पनिक भाग = $a×(-b) + b×a = -ab + ab = 0$

अतः $z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$ ✓

1.3 — सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन: परावर्त्य योजयेत्

परावर्त्य विधि (स्थानांतरित करें और लागू करें)

विभाजन $\frac{a + ib}{c + id}$ के लिए, पारंपरिक विधि में अंश और हर को संयुग्मी से गुणा किया जाता है। वैदिक परावर्त्य एक सीधा फ़ॉर्मूला देता है:

$$\frac{a + ib}{c + id} = \frac{(a + ib)(c - id)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2}$$

पैटर्न पहचान

• वास्तविक भाग = $\frac{ac + bd}{c^2 + d^2}$
• काल्पनिक भाग = $\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}$

उदाहरण 1: $\frac{2 + 3i}{4 + 5i}$

हर: $c^2 + d^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$

वास्तविक भाग = $\frac{2×4 + 3×5}{41} = \frac{8 + 15}{41} = \frac{23}{41}$ काल्पनिक भाग = $\frac{3×4 - 2×5}{41} = \frac{12 - 10}{41} = \frac{2}{41}$

उत्तर = $\frac{23}{41} + \frac{2}{41}i$ ✓

उदाहरण 2: $\frac{1 + i}{1 - i}$

हर: $1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$

वास्तविक भाग = $\frac{1×1 + 1×(-1)}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$ काल्पनिक भाग = $\frac{1×1 - 1×(-1)}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

उत्तर = $0 + 1i = i$ ✓

जाँच: $(1+i)/(1-i) = i$ (ज्ञात परिणाम) ✓

उदाहरण 3: $\frac{3 - 2i}{1 + 2i}$

हर: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

वास्तविक भाग = $\frac{3×1 + (-2)×2}{5} = \frac{3 - 4}{5} = -\frac{1}{5}$ काल्पनिक भाग = $\frac{(-2)×1 - 3×2}{5} = \frac{-2 - 6}{5} = -\frac{8}{5}$

उत्तर = $-\frac{1}{5} - \frac{8}{5}i$ ✓

D के लिए परावर्त्य शॉर्टकटभाग

भाग के लिए, ट्रांसपोज़ नियम: $c + id$ से भाग देने के लिए, अंश और हर को $c - id$ (चिह्न बदलकर ट्रांसपोज़) से गुणा करें।

1.4 — मापांक और कोणांक: वैदिक शॉर्टकट

परिभाषा

$z = a + ib$ के लिए:

• मापांक: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• कोणांक: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ (चतुर्थांश को ध्यान में रखते हुए)

वैदिक पैटर्न: संयुग्मी से मापांक

उदाहरण: $|3 + 4i|$ ज्ञात करें

$|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ ✓

कोणांक चतुर्थांश नियम (ASTC)

a=-1 (ऋणात्मक), b=1 (धनात्मक) → द्वितीय चतुर्थांश (Quadrant II)

$\theta = \pi - \tan^{-1}(1/1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ ✓

1.5 — ध्रुवीय रूप (Polar Form): यावदूनम् संबंध

ध्रुवीय निरूपण

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$$

जहाँ $r = |z|$, $\theta = \arg(z)$

यावदूनम् अंतर्दृष्टि

'यावदूनम्' (जितनी उसकी कमी की मात्रा हो) शब्द यहाँ इस प्रकार लागू होता है: कोण $\theta$ चाहे जो भी हो, वह इकाई वृत्त (unit circle) पर स्थिति निर्धारित करता है।

ध्रुवीय रूप में गुणन (यावदूनम् प्रतिरूप)

यदि $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ और $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ हो, तो:

$$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

नियम: मापांकों (moduli) का गुणा करें, आर्गुमेंटों को जोड़ें।

उदाहरण: $z_1 = 2e^{i\pi/3}$, $z_2 = 3e^{i\pi/6}$

$z_1 z_2 = (2×3) e^{i(\pi/3 + \pi/6)} = 6e^{i\pi/2} = 6(\cos 90° + i\sin 90°) = 6(0 + i) = 6i$ ✓

1.6 — डी मोइवर प्रमेय (De Moivre's Theorem): प्रतिरूप पहचान

प्रमेय

किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए:

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$

या: $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$

वैदिक प्रतिरूप: घात (Power) = मापांक का गुणा, आर्गुमेंट का गुणा

उदाहरण 1: $(1 + i)^6$

पहले इसे पोलर रूप में बदलें: $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$

$(1 + i)^6 = (\sqrt{2})^6 e^{i(6×\pi/4)} = 8 e^{i(3\pi/2)} = 8(\cos 270° + i\sin 270°) = 8(0 - i) = -8i$ ✓

उदाहरण 2: $(1 - i\sqrt{3})^4$

$1 - i\sqrt{3}$: $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ $\theta = \tan^{-1}(-\sqrt{3}/1) = -60° = -\pi/3$ (चतुर्थ चतुर्थांश)

$(2e^{-i\pi/3})^4 = 16 e^{-i4\pi/3} = 16(\cos 240° + i\sin 240°) = 16(-1/2 - i\sqrt{3}/2) = -8 - 8i\sqrt{3}$ ✓

1.7 — एकता के n-वें मूल: चक्रीय पैटर्न

परिभाषा

एकता के n-वें मूल, समीकरण $z^n = 1$ के हल होते हैं:

$$z_k = e^{i2\pi k/n} = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, 2, ..., n-1$$

मुख्य गुण (वैदिक पैटर्न पहचान)

इकाई के घनमूल ($\omega$)

$n=3$ के लिए: $\omega = e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\omega^2 = e^{i4\pi/3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

गुणधर्म:

• $1 + \omega + \omega^2 = 0$
• $\omega^3 = 1$
• $\omega^2 = \bar{\omega} = \omega^{-1}$

उदाहरण: $(1 + \omega - \omega^2)^3$ को सरल कीजिए

$1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर → $1 + \omega = -\omega^2$

अतः $1 + \omega - \omega^2 = -\omega^2 - \omega^2 = -2\omega^2$

तब $(-2\omega^2)^3 = -8\omega^6 = -8(\omega^3)^2 = -8(1)^2 = -8$ ✓

1.8 — सम्मिश्र संख्या समीकरण: शून्यं साम्य

सूत्र 5: शून्यं साम्यसमुच्चये

"यदि समुच्चय (पूर्ण योग) समान हो, तो वह शून्य होता है।"

सम्मिश्र समीकरणों में, यह उन समीकरणों को हल करने में सहायता करता है जहाँ दोनों पक्षों का मापांक समान हो या जहाँ कोणांक (arguments) बराबर हों।

उदाहरण 1: $|z - 1| = |z + 1|$

इसका अर्थ है कि (1,0) से दूरी, (-1,0) से दूरी के बराबर है। इसका बिंदुपथ (locus) लंब समद्विभाजक होता है: अर्थात काल्पनिक अक्ष।

हल: $\text{Re}(z) = 0$ (शुद्ध काल्पनिक) ✓

उदाहरण 2: $|z - 2i| = |z + 2i|$

(0,2) से दूरी, (0,-2) से दूरी के बराबर है। बिंदुपथ लंब समद्विभाजक है: वास्तविक अक्ष।

हल: $\text{Im}(z) = 0$ (वास्तविक संख्याएँ) ✓

उदाहरण 3: $\arg(z-1) = \arg(z+1)$

argument बराबर होने का मतलब है कि (1,0) और (-1,0) से z तक के सदिश मूलबिंदु के साथ संरेख हैं।

इसका तात्पर्य है कि z वास्तविक अक्ष (Im(z)=0) पर स्थित है, लेकिन -1 और 1 के बीच नहीं? असल में, argument की समानता का मतलब है कि z वास्तविक अक्ष पर है।

उदाहरण 4: $z^2 = \bar{z}$ को हल करें

मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $x^2 - y^2 + 2ixy = x - iy$

वास्तविक भागों की तुलना करने परऔर काल्पनिक भाग: (1) $x^2 - y^2 = x$ (2) $2xy = -y$ → $y(2x+1) = 0$

स्थिति 1: $y=0$ → $x^2 = x$ → $x=0$ या $x=1$ → $z=0,1$ स्थिति 2: $x = -1/2$ → $(-1/2)^2 - y^2 = -1/2$ → $1/4 - y^2 = -1/2$ → $y^2 = 3/4$ → $y = \pm\sqrt{3}/2$

अतः $z = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega, \omega^2$

हल: $z = 0, 1, \omega, \omega^2$ ✓

1.9 — आर्गंड तल: वैदिक ज्यामितीय व्याख्या

ज्यामितीय दृष्टिकोण

प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ आर्गंड तल में एक बिंदु $(x, y)$ के संगत होती है।

मुख्य ज्यामितीय व्याख्याएँ

उदाहरण: $|z - 3 + 4i| = 5$

केंद्र $(3, -4)$ पर, त्रिज्या $5$ है। क्या यह वृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है? जाँच करें: $|0 - 3 + 4i| = |-3 + 4i| = 5$ ✓ तो मूल बिंदु वृत्त पर स्थित है।

1.10 — JEE-स्तर के अनुप्रयोग

उदाहरण 1: यदि $|z| = 1$ है, तो $|z^2 + z + 1|$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $z = e^{i\theta}$ है।

$|z^2 + z + 1| = |e^{i2\theta} + e^{i\theta} + 1| = |e^{i\theta}(e^{i\theta} + 1 + e^{-i\theta})| = |e^{i\theta}| \cdot |2\cos\theta + 1|$

चूँकि $|e^{i\theta}| = 1$ है, इसलिए $|z^2 + z + 1| = |2\cos\theta + 1|$ होगा।

अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos\theta = 1$ हो → $2×1 + 1 = 3$

अधिकतम मान = $3$ ✓

उदाहरण 2: $z$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए, इस प्रकार कि $\frac{z-1}{z+1}$ पूर्णतः काल्पनिक हो।

मान लीजिए $w = \frac{z-1}{z+1}$ पूर्णतः काल्पनिक है → $w + \bar{w} = 0$

$\frac{z-1}{z+1} + \frac{\bar{z} - 1}{\bar{z} + 1} = 0$

वज्र-गुणन (Cross-multiply) करने पर: $(z-1)(\bar{z}+1) + (\bar{z}-1)(z+1) = 0$

विस्तार करने पर: $z\bar{z} + z - \bar{z} - 1 + z\bar{z} + \bar{z} - z - 1 = 0$

$2z\bar{z} - 2 = 0$ → $z\bar{z} = 1$ → $|z| = 1$

तो बिंदुपथ एक इकाई वृत्त है ($z = -1$ को छोड़कर) ✓

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: गुणन (ऊर्ध्व)

उदाहरण 1

प्रश्न: $(3 + 2i)(1 + 4i)$ का गुणा करें।

उत्तर:

वास्तविक भाग = $3×1 - 2×4 = 3 - 8 = -5$ काल्पनिक भाग = $3×4 + 2×1 = 12 + 2 = 14$

उत्तर = $-5 + 14i$ ✓

उदाहरण 2

प्रश्न: $(4 - i)(2 + 3i)$ का गुणा करें।

उत्तर:

वास्तविक भाग = $4×2 - (-1)×3 = 8 + 3 = 11$ काल्पनिक भाग = $4×3 + (-1)×2 = 12 - 2 = 10$

उत्तर = $11 + 10i$ ✓

अनुभाग B: विभाजन (परावर्त्य)

उदाहरण 3

प्रश्न: $\frac{4 + 5i}{2 + 3i}$ को विभाजित करें।

उत्तर:

हर: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

वास्तविक भाग = $\frac{4×2 + 5×3}{13} = \frac{8 + 15}{13} = \frac{23}{13}$ काल्पनिक भाग = $\frac{5×2 - 4×3}{13} = \frac{10 - 12}{13} = -\frac{2}{13}$

उत्तर = $\frac{23}{13} - \frac{2}{13}i$ ✓

उदाहरण 4

प्रश्न: $\frac{1 - i}{1 + i}$ को विभाजित करें। उत्तर:

हर: $1^2 + 1^2 = 2$

वास्तविक भाग = $\frac{1×1 + (-1)×1}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$ काल्पनिक भाग = $\frac{(-1)×1 - 1×1}{2} = \frac{-1 - 1}{2} = -1$

उत्तर = $-i$ ✓

खंड C: मापांक और कोणांक

उदाहरण 5

प्रश्न: $z = -3 + 4i$ का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$|z| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

द्वितीय चतुर्थांश (a<0, b>0) $\theta = \pi - \tan^{-1}(4/3)$

चूँकि $\tan^{-1}(4/3) \approx 53.13°$, $\theta \approx 126.87° = 2.214 \text{ rad}$

उत्तर: $|z| = 5$, $\arg(z) = \pi - \tan^{-1}(4/3)$ ✓

उदाहरण 6

प्रश्न: $z = -4 - 4i$ का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$|z| $= \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

तीसरा चतुर्थांश (a<0, b<0) $\theta = -\pi + \tan^{-1}(|-4|/|-4|) = -\pi + \tan^{-1}(1) = -\pi + \pi/4 = -3\pi/4$

वैकल्पिक रूप से: $\theta = \pi + \tan^{-1}(-4/-4) = \pi + \pi/4 = 5\pi/4$ (दोनों मान्य हैं, आमतौर पर -π और π के बीच का मुख्य मान $-3\pi/4$ होता है)

उत्तर: $4\sqrt{2}$, $\arg = -3\pi/4$ ✓

खंड D: डी मोइवर प्रमेय

उदाहरण 7

प्रश्न: $(1 + i\sqrt{3})^5$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

पहले इसे ध्रुवीय रूप में बदलें: $1 + i\sqrt{3}$ $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}/1) = \pi/3$ (पहला चतुर्थांश)

$(2e^{i\pi/3})^5 = 32 e^{i5\pi/3} = 32(\cos 300° + i\sin 300°) = 32(1/2 - i\sqrt{3}/2) = 16 - 16i\sqrt{3}$ ✓

उदाहरण 8

प्रश्न: $(\cos 15° + i\sin 15°)^6$ ज्ञात कीजिए। उत्तर:

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$

यहाँ $\theta = 15°$, $n = 6$

$= \cos 90° + i\sin 90° = 0 + i(1) = i$ ✓

खंड E: इकाई के घनमूल

उदाहरण 9

प्रश्न: $(1 + 2\omega + \omega^2)^3$ को सरल कीजिए, जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।

उत्तर:

$1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर → $1 + \omega^2 = -\omega$

$1 + 2\omega + \omega^2 = (1 + \omega + \omega^2) + \omega = 0 + \omega = \omega$

तब $(\omega)^3 = \omega^3 = 1$ ✓

उदाहरण 10

प्रश्न: इकाई के सभी 6वें मूलों का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

इकाई के सभी nth मूलों का योग = 0 होता है, जब n > 1 हो।

अतः, इकाई के 6वें मूलों का योग = 0 ✓

खंड F: सम्मिश्र समीकरण (शून्यम साम्य)

उदाहरण 11

प्रश्न: $|z - 2i| = |z + 2i|$ को हल कीजिए।

उत्तर:

(0,2) से दूरी, (0,-2) से दूरी के बराबर है → प्रतिलंब समद्विभाजक वास्तविक अक्ष है।

हल: $z$ पूर्णतः वास्तविक है ($\text{Im}(z) = 0$) ✓

उदाहरण 12

प्रश्न: $z^3 = \bar{z}$ को हल करें।

उत्तर:

मान लीजिए $z = re^{i\theta}$। तब $z^3 = r^3 e^{i3\theta}$, $\bar{z} = re^{-i\theta}$

तुलना करने पर: $r^3 e^{i3\theta} = re^{-i\theta}$

अतः $r^3 = r$ → $r(r^2 - 1) = 0$ → $r = 0$ या $r = 1$

और $e^{i3\theta} = e^{-i\theta}$ → $e^{i4\theta} = 1$ → $4\theta = 2\pi k$ → $\theta = \frac{\pi k}{2}$

$r=0$ के लिए: $z=0$ $r=1$ के लिए: $\theta = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ → $z = 1, i, -1, -i$

हल: $z = 0, 1, -1, i, -i$ ✓

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: गुणन और विभाजन (20 प्रश्न)

वैदिक विधियों का उपयोग करके संक्रिया करें।

A1. $(2 + 3i)(4 + 5i)$ A2. $(1 + i)(2 - i)$ A3. $(3 - 2i)(1 + 4i)$ A4. $(-2 + 4i)(3 - i)$ A5. $(5 + 2i)(5 - 2i)$ A6. $(2 + i)^2$ A7. $(3 - i)^2$ A8. $(1 + i)^3$ A9. $(2 + 3i)(2 - 3i)$ A10. $(4 + i)(4 - i)$ A11. $\frac{1 + 2i}{3 + 4i}$ A12. $\frac{2 + 3i}{1 - i}$ A13. $\frac{3 - i}{2 + i}$ A14. $\frac{4 + i}{2 - 3i}$ A15. $\frac{1}{i}$ A16. $\frac{1 + i}{1 - i}$ A17. $\frac{1}{1 + i}$ A18. $\frac{2 - i}{3 + 2i}$ A19. $\frac{i}{1 - i}$ A20. $\frac{1 + 2i}{1 - 2i}$

अभ्यास सेट B: मापांक और कोणांक (15 प्रश्न)

मापांक और मुख्य कोणांक ज्ञात कीजिए।

B1. $3 + 4i$ B2. $-3 + 4i$ B3. $-3 - 4i$ B4. $3 - 4i$ B5. $1 + i$ B6. $-1 + i$ B7. $-1 - i$ B8. $1 - i$ B9. $2 + 2\sqrt{3}i$ B10. $-2 + 2i$ B11. $-2 - 2\sqrt{3}i$ B12. $5i$ B13. $-5$ B14. $\sqrt{3} + i$ B15. $-\sqrt{3} - i$

अभ्यास सेट C: डी मोइवर प्रमेय और घातें (15 प्रश्न)

डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करके मान ज्ञात कीजिए।

C1. $(1 + i)^4$ C2. $(1 - i)^6$ C3. $(\sqrt{3} + i)^4$ C4. $(-1 + i\sqrt{3})^3$ C5. $(1 + i\sqrt{3})^6$ C6. $(\cos 20° + i\sin 20°)^9$ C7. $(\cos 10° - i\sin 10°)^5$ C8. $(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})^{12}$ C9. $(1 + i)^{20}$ C10. $(\sqrt{3} - i)^{10}$ C11. 1 के घनमूल ज्ञात कीजिए C12. -1 के घनमूल ज्ञात कीजिए C13. 1 के चतुर्थ मूल ज्ञात कीजिए C14. -1 के चतुर्थ मूल ज्ञात कीजिए C15. 1 के षष्ठ मूल ज्ञात कीजिए

अभ्यास सेट D: इकाई के घनमूल (10 प्रश्न)

$\omega$ को इकाई के एक सम्मिश्र घनमूल के रूप में प्रयोग करें ($\omega \neq 1$)।

D1. $1 + \omega + \omega^2$ को सरल कीजिए D2. $(1 + \omega - \omega^2)^3$ को सरल कीजिए D3. $(1 + 2\omega + \omega^2)^3$ को सरल कीजिए D4. $(1 - \omega + \omega^2)(1 + \omega - \omega^2)$ का मान ज्ञात कीजिए D5. $(1 + \omega)^3$ का मान ज्ञात कीजिए D6. $(1 - \omega)(1 - \omega^2)$ का मान ज्ञात कीजिए D7. $(2 + 5\omega + 2\omega^2)^2$ का मान ज्ञात कीजिए D8. दर्शाइए कि $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a + b\omega + c\omega^2)(a + b\omega^2 + c\omega)$ D9. 1 के सभी घनमूलों का योग ज्ञात कीजिए D10. 1 के सभी घनमूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए

अभ्यास सेट E: सम्मिश्र समीकरण (10 प्रश्न)

z के लिए हल कीजिए।

E1. $|z - 1| = |z + 1|$ E2. $|z - 2| = 3$ E3. $|z - i| = |z + i|$ E4. $\arg(z) = \pi/3$ E5. $|z - 2| = |z - 4i|$ E6. $z^2 = \bar{z}$ E7. $z^2 = -1$ E8. $z^2 + z + 1 = 0$ E9. $z^4 = 16$ E10. $z^6 = 1$ (सभी मूल)

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर:

A1. $-7 + 22i$
A2. $3 + i$
A3. $11 + 10i$
A4. $-2 + 14i$
A5. $29$
A6. $3 + 4i$
A7. $8 - 6i$
A8. $2 + 2i$? असल में $(1+i)^3 = (1+i)^2(1+i) = 2i(1+i) = 2i - 2 = -2 + 2i$
A9. $13$
A10. $17$
A11. $\frac{11}{25} + \frac{2}{25}i$
A12. $-\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$
A13. $1 - i$
A14. $\frac{5}{13} + \frac{14}{13}i$
A15. $-i$
A16. $i$
A17. $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$
A18. $\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i$
A19. $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$
A20. $-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$

सेट बी उत्तर:

बी1. 5, $\tan^{-1}(4/3)$ | बी2. 5, $\pi - \tan^{-1}(4/3)$ | बी3. 5, $-\pi + \tan^{-1}(4/3)$ | बी4. 5, $-\tan^{-1}(4/3)$ | बी5. $\sqrt{2}$, $\pi/4$ | बी6. $\sqrt{2}$, $3\pi/4$ | बी7. $\sqrt{2}$, $-3\pi/4$ | बी8. $\sqrt{2}$, $-\pi/4$ | बी9. 4, $\pi/3$ | बी10. $2\sqrt{2}$, $3\pi/4$ | बी11. 4, $-2\pi/3$ | बी12. 5, $\pi/2$ | बी13. 5, $\pi$ | बी14. 2, $\pi/6$ | बी15. 2, $-5\pi/6$

सेट सी उत्तर:

सी1. $-4$ | सी2. $8i$? $(1-i)^2 = -2i$, $(-2i)^3 = -8i^3 = 8i$ | सी3. $-8 + 8i\sqrt{3}$ | सी4. $8$? $(-1+i\sqrt{3})^3 = 8$ | सी5. $64$? असल में $(1+i\sqrt{3})^3 = -8$, वर्ग = 64? प्रतीक्षा जांचें: $(1+i\sqrt{3}) = 2e^{i\pi/3}$, ^6 = 64e^{i2π}=64 | सी6. $\cos180°+i\sin180° = -1$ | सी7. $\cos50° - i\sin50°$ | सी8. 1 | सी9. $-1024$? $(1+i)^2=2i$, $10$वीं घात = $(2i)^{10} = 2^{10}i^{10}=1024(-1)=-1024$ | C10. $(-32 + 32i\sqrt{3})$? $(\sqrt{3}-i)=2e^{-i\pi/6}$, ^10=1024e^{-i10π/6}=1024e^{-i5π/3}=512 - 512i√3$ | C11. $1, \omega, \omega^2$ | C12. $-1, -\omega, -\omega^2$ | C13. $1, -1, i, -i$ | C14. $e^{iπ/4}, e^{i3π/4}, e^{i5π/4}, e^{i7π/4}$ | C15. $e^{iπk/3}, k=0..5$

Set D के उत्तर:

D1. 0
D2. $-8$
D3. 1
D4. 4
D5. $-1$
D6. 3
D7. 9
D8. तत्समक (Identity)
D9. 0
D10. $(-1)^{2}=1$

Set E के उत्तर:

E1. Im(z)=0 (वास्तविक अक्ष)
E2. वृत्त जिसका केंद्र (2,0) और त्रिज्या 3 है
E3. Re(z)=0 (काल्पनिक अक्ष)
E4. मूल बिंदु से 60° पर निकलने वाली किरण
E5. (2,0) और (0,4) का लंब समद्विभाजक: रेखा x-2y+3=0? रुकिए: बिंदु (2,0) और (0,4), लंब समद्विभाजक की ढाल क्या होगी? चलिए इसे निकालते हैं: $|z-2|=|z-4i|$ → $(x-2)^2+y^2 = x^2+(y-4)^2$ → $x^2-4x+4+y^2 = x^2+y^2-8y+16$ → $-4x+4 = -8y+16$ → $-4x+8y=12$ → $-x+2y=3$ → $x-2y+3=0$
E6. $z=0,1,\omega,\omega^2$
E7. $z=\pm i$
E8. $z=\omega,\omega^2$
E9. $z=\pm 2, \pm 2i$
E10. $z = e^{i\pi k/3}, k=0..5$

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका

सामान्य त्रुटियाँ और उनका सुधार

याद रखने के सहायक तरीके (Memory Aids)

त्वरित संदर्भ कार्ड (QUICK REFERENCE CARD)

╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║                    MODULE 26 — सम्मिश्र संख्याएँ: वैदिक दृष्टिकोण         ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║                                                                       ║
║  गुणा (Urdhva): (a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)           ║
║                                                                       ║
║  भाग (Paravartya): (a+ib)/(c+id) = (ac+bd)/(c²+d²) + i(bc-ad)/(c²+d²)║
║                                                                       ║
║  मापांक (MODULUS): |a+ib| = √(a²+b²)                                          ║
║  ARGUMENT: θ = tan⁻¹(b/a) (चतुर्थांश समायोजन ASTC के साथ)            ║
║                                                                       ║
║  ध्रुवीय रूप (POLAR FORM): z = r(cosθ + i sinθ) = re^(iθ)                          ║
║                                                                       ║
║  डी मोइवर (DE MOIVRE): (cosθ + i sinθ)^n = cos nθ + i sin nθ                     ║
║             (re^(iθ))^n = r^n e^(inθ)                                ║
║                                                                       ║
║  इकाई के घनमूल (CUBE ROOTS OF UNITY): 1, ω, ω², जहाँ ω = e^(i2π/3)                   ║
║  गुणधर्म: ω³=1, 1+ω+ω²=0, ω² = ω̅                                 ║
║                                                                       ║
║  इकाई के n-वें मूल (nth ROOTS OF UNITY): z_k = e^(i2πk/n), k=0,...,n-1                   ║
║  योग = 0 (n>1 के लिए), गुणनफल = (-1)^(n-1)                             ║
║                                                                       ║
║  सूत्र (SUTRAS): ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम् (3), परावर्त्य (4),                     ║
║          यावदूनम् (10), शून्यं साम्य (5)                            ║
║                                                                       ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

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