🕉️ वैदिक गणित — स्तर 1: आधार

मॉड्यूल 6: वैदिक भाग — भाग 1

संपूर्ण अध्ययन सामग्री | सिद्धांत + उदाहरण + अभ्यास + टेस्ट बैंक

"भाग का मतलब यह नहीं है कि 'कोई संख्या किसी दूसरी संख्या में कितनी बार जाती है?' बल्कि इसका संबंध पैटर्न और शेषफल के प्रवाह से है। यदि आप भाग में महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप अंकगणित में भी महारत हासिल कर लेते हैं।" — वैदिक गणित शिक्षक नियमावली

📋 मॉड्यूल पर एक नज़र

🎯 सीखने के परिणाम

इस मॉड्यूल के अंत तक, छात्र ये कर पाएँगे:

1. सूत्र 4 (परावर्त्य योजयेत्) और सूत्र 12 (शेषान्यंकेन चरमेण) को उनके अंग्रेज़ी अर्थों के साथ बता पाएँगे।
2. डिजिट-सम (अंक-योग) विधि का उपयोग करके किसी भी संख्या को 9 से 5 सेकंड से भी कम समय में भाग दे पाएँगे।
3. वैदिक शेष प्रवाह विधि का उपयोग करके 8 और 7 से भाग दे पाएँगे।
4. सरल दो-अंकीय भाजकों के लिए ध्वजांक विधि (Flag method) लागू कर पाएँगे।
5. 99 तक के भाजकों के लिए सीधी भाग विधि (ध्वजांक विधि) से भाग दे पाएँगे।
6. परिणामों की जाँच करने के लिए वैदिक शेषफल प्रमेय का उपयोग कर पाएँगे।
7. आधार (Base) के निकट के भाजकों (जैसे, 98, 101) से संख्याओं को भाग दे पाएँगे।
8. उत्तरों को भागफल और शेषफल के रूप में सही ढंग से व्यक्त कर पाएँगे।

भाग 1: सिद्धांत

1.1 — वैदिक भाग का परिचय

भाग देना अलग क्यों है?

चार मूल संक्रियाओं में भाग देने को सबसे कठिन माना जाता है। पारंपरिक भाग विधि में ये शामिल होते हैं:

• भागफल के अंकों का अनुमान लगाने के लिए 'प्रयास और त्रुटि' (Trial-and-error) विधि का उपयोग।
• भागफल के अंक को भाजक से गुणा करना।
• घटाना और अंकों को नीचे उतारना।
• कई ऐसे चरण जिनमें गलती होने की संभावना अधिक होती है।

वैदिक गणित भाग देने के लिए तीन शक्तिशाली दृष्टिकोण प्रदान करता है:

1.2 — सूत्र 4: परावर्त्य योजयेत्

इसका क्या अर्थ है? "परावर्त्य" का अर्थ है स्थान बदलना (चिह्न बदलना, दूसरी तरफ ले जाना)। "योजयेत्" का अर्थ है लागू करना या उपयोग करना।

भाग (Division) में, यह सूत्र हमें बताता है:

"भाजक के अंकों का चिह्न बदलें (पहले अंक को छोड़कर) और उन्हें एक 'रनिंग टोटल' (चलते हुए जोड़) में उपयोग करें।"

यह इसकी नींव है:

• किसी 'आधार' (Base) के पास वाली संख्याओं से भाग देना
• ध्वजांक विधि (Flag method)
• समीकरणों को हल करना (जो Level 2 में शामिल है)

1.3 — सूत्र 12: शेषाण्यङ्केन चरमेण

इसका क्या अर्थ है?

यह सूत्र हमें बताता है कि शेषफल एक ऐसे पैटर्न का पालन करते हैं जिसे भाजक के अंतिम अंक का उपयोग करके बनाया जा सकता है।

यह इसका आधार है:

• 9 से भाग देना (जहाँ शेषफल केवल अंकों का योग होते हैं)
• 19, 29, 39, आदि से भाग देना (एकाधिकेन पूर्वेण का उपयोग करके)
• आवर्ती दशमलव पैटर्न (1/19, 1/29, आदि)

इस मॉड्यूल में, हम इसका उपयोग मुख्य रूप से 10 के पास वाले एकल-अंकीय भाजकों से भाग देने के लिए करते हैं।

1.4 — 9 से भाग: सबसे आसान वैदिक भाग विधि

पैटर्न

9 ​​से भाग देने में एक जादुई गुण होता है: प्रत्येक शेषफल अगले अंक का 'रनिंग टोटल' बन जाता है।

नियम: 9 से भाग दी जाने वाली किसी भी संख्या के लिए:

• भागफल का पहला अंक = भाज्य का पहला अंक
• भागफल का प्रत्येक अगला अंक = भागफल का पिछला अंक + भाज्य का अगला अंक
• अंतिम शेषफल = भागफल का अंतिम अंक + भाज्य का अंतिम अंक

उदाहरण 1: 23 ÷ 9

लेकिन रुकिए — शेष 5, 9 से कम है, इसलिए यह सही है।

उदाहरण 2: 45 ÷ 9

नियम: जब शेष ≥ 9 हो, तो शेष में से 9 घटाएँ और भागफल में 1 जोड़ें।

उदाहरण 3: 23451 ÷ 9 (आपके प्रॉम्प्ट से)

आइए, मैं इसे चरण-दर-चरण हल करता हूँ:

23451 ÷ 9 के लिए सही क्रमबद्ध तरीका:

परिणाम: भागफल = 2605, शेषफल = 6

जाँच: 2605 × 9 = 23445, +6 = 23451 ✓

उदाहरण 4: 123456 ÷ 9

चलिए मैं इसे जल्दी से हल करता हूँ:

भागफल के अंक: 1,3,7,1,7 → 13717 | शेषफल = 3

लेकिन चलिए हम इसे क्रमबद्ध तरीके से सत्यापित करते हैं:

बेहतर तरीका (हासिल के लिए बार नोटेशन):

123456 ÷ 9:

भागफल = 13706, शेषफल = 2

जाँच: 13706×9=123354, +2=123356 (मेल नहीं खा रहा — मैंने कोई गलती की है)

चलिए, मैं किसी भरोसेमंद स्रोत से 9 से भाग देने की सही वैदिक विधि अपनाता हूँ:

÷9 के लिए सही एल्गोरिदम:

संख्या लिखें। पहले अंक के बाद एक खड़ी रेखा खींचें।

123456 के लिए:

• इस तरह लिखें: 1 | 2 3 4 5 6
• 1 को नीचे उतारें → Q=1
• 1+2=3 → Q=1,3
• 3+3=6 → Q=1,3,6
• 6+4=10 → 0 लिखें, 1 कैरी करें → Q=1,3,7,0
• 0+5=5 → Q=1,3,7,0,5
• 5+6=11 → R=11

चूँकि R≥9 है, इसलिए 9 घटाएँ: R=2, और Q में 1 जोड़ें: Q=1,3,7,0,6

भागफल = 13706, शेषफल = 2

जाँच: 13706×9 = 123354, +2 = 123356 ✗ (123456 नहीं)

तो यह गलत है। आइए मैं असली वैदिक तरीका इस्तेमाल करूँ:

÷9 के लिए असली वैदिक तरीका:

भागफल के अंक बस अंकों का चलता हुआ जोड़ होते हैं और शेषफल सभी अंकों का आखिरी जोड़ होता है।

123456 के लिए:

• अंकों का जोड़ = 1+2+3+4+5+6 = 21
• शेषफल = 21 ÷ 9 → 21 = 2×9 + 3 → शेषफल = 3
• भागफल = (संख्या - शेषफल) ÷ 9 = (123456 - 3) ÷ 9 = 123453 ÷ 9 = 13717

जाँच: 13717×9 = 123453, +3=123456 ✓

तो सही भागफल 13717 है, शेषफल 3।

सीख: चलता हुआ जोड़ वाला तरीका काम करता है, लेकिन हासिल (carries) सही ढंग से आगे बढ़ने चाहिए। बड़ी संख्याओं के लिए, अंकों के जोड़ वाला तरीका इस्तेमाल करें: शेषफल = अंकों का जोड़ mod 9 (जहाँ 9 को 0 माना जाता है), भागफल = (संख्या - शेषफल)/9।

9 से भाग देने का आसान नियम

लेकिन रुकिए — यह तो बस सामान्य तरीके से भाग देना हुआ। वैदिक गति तो बिना गुणा किए, अंकों के चलते हुए जोड़ वाले तरीके से आती है।

आइए मैं अंकों के चलते हुए जोड़ का सही तरीका बताऊँ:

उदाहरण: 23451 ÷ 9 (सही तरीका)

अंक लिखें: 2 3 4 5 1

तो Q के अंक: 2,6,0,5 = 2605, R=6 ✓

यह आपके उदाहरण से मेल खाता है।

तो नियम यह है: हर बार आने वाले कुल योग को लिखें। जब यह 9 या उससे ज़्यादा हो जाए, तो उसमें से 9 घटा दें और 1 को बाईं ओर 'कैरी' (आगे) ले जाएं।

1.5 — 8 से भाग (वैदिक तरीका)

सिद्धांत

8 से भाग देना 9 से भाग देने जैसा ही है, लेकिन इसमें मौजूदा भागफल के अंक को अगले अंक में जोड़ने के बजाय, हम किसी गुणांक से गुणा करते हैं या कोई दूसरा नियम इस्तेमाल करते हैं।

असल में, ÷8 के लिए वैदिक तरीका इस तथ्य का इस्तेमाल करता है कि 8 = 10 - 2 होता है। यह 'परावर्त्य सूत्र' से जुड़ा है।

÷8 की विधि

भाजक = 8 = 10 - 2 के लिए:

• आधार (Base) = 10
• पूरक (Complement) = 2 (चिह्न बदलकर, विपरीत रूप में: +2)

प्रक्रिया:

भाज्य (जिसमें भाग देना है) को लिखें। आखिरी अंक को छोड़कर बाकी हर अंक के लिए:

1. पहले अंक को नीचे उतारकर भागफल का पहला अंक बनाएं।
2. इसे पूरक (2) से गुणा करें और अगले अंक में जोड़ दें।
3. परिणाम को भागफल का अगला अंक लिखें (अगर यह 8 से कम हो), वरना उसे समायोजित करें।
4. आखिर तक यही प्रक्रिया दोहराते रहें; आखिरी परिणाम ही 'शेष' (remainder) होता है।

उदाहरण: 41 ÷ 8

ज़रा रुकिए — 41÷8 = 5 और शेष 1? 8×5=40, +1=41 ✓ सही है।

उदाहरण: 73 ÷ 8

तो भागफल = 9, शेषफल = 1.

उदाहरण: 115 ÷ 8

सीधे सत्यापन: 115 ÷ 8 = 14 शेषफल 3, क्योंकि 8 × 14 = 112 और 112 + 3 = 115 ✓

तो Q = 14, R = 3।

चलिए वैदिक विधि को सत्यापित करते हैं:

अंक: 1 | 1 | 5 Q1 = 1 1×2=2, +1=3 → Q2=3 3×2=6, +5=11 → R (कच्चा) = 11 चूँकि R≥8 है, 11-8=3, 1 हासिल to Q2 → Q2=4 तो Q = 1,4 = 14, R=3 ✓

7 से भाग

÷7 के लिए, हम 7 = 10 - 3 का इस्तेमाल करते हैं, पूरक = 3

उदाहरण: 23 ÷ 7

उदाहरण: 45 ÷ 7

÷d के लिए सामान्य नियम, जहाँ d = 10 - c

1.6 — परावर्त्य विधि: आधार के पास की संख्याओं से भाग

सिद्धांत

जब भाजक किसी आधार (10, 100, 1000) के करीब होता है, तो हम भाजक की कमी के पक्षांतर का उपयोग कर सकते हैं। भाजक = आधार - d के लिए:

• भाजक को (आधार - d) के रूप में लिखें।
• "ट्रांसपोज़्ड" (transposed) मान +d होता है।
• इसका उपयोग ÷8, ÷7 की तरह ही लगातार गुणा (running multiplication) में करें।

उदाहरण 1: 1234 ÷ 98

आधार = 100, भाजक = 98 = 100 - 2 ट्रांसपोज़्ड मान = +2

प्रक्रिया:

भाज्य को लिखें और उसके बाद उतनी ही अंकों के बाद एक खड़ी रेखा खींचें जितने आधार में शून्य होते हैं (आधार 100 के लिए 2 अंक)।

तो 1234 → 12 | 34

जाँच: 98 × 12 = 1176, +58 = 1234 ✓

उदाहरण 2: 12345 ÷ 97

आधार = 100, भाजक = 97 = 100 - 3, ट्रांसपोज़ = +3

भाज्य को विभाजित करें: 12345 → 123 | 45 (क्योंकि शेषफल के लिए 2 अंक हैं)

414 ÷ 97 = 4 शेषफल (414 - 97×4 = 414 - 388 = 26)

भागफल (4) को Q1 में जोड़ें: 123 + 4 = 127 नया शेषफल = 26

उत्तर: भागफल = 127, शेषफल = 26

जाँच: 97 × 127 = 97×127 = 97×100=9700, 97×27=2619, कुल=12319, +26=12345 ✓

उदाहरण 3: 2485 ÷ 101 (भाजक आधार से अधिक)

आधार = 100, भाजक = 101 = 100 + 1 यहाँ ट्रांसपोज़ (transpose) ऋणात्मक है: -1

विभाजन: 2485 → 24 | 85

उत्तर: Q = 24, R = 61

जाँच: 101×24 = 2424, +61 = 2485 ✓

परावर्त्य सूत्र का सारांश

भाजक = आधार ± d के लिए (जहाँ आधार = 10^n है):

फिर यदि परिणामी शेषफल ≥ भाजक हो, तो बदलें: भागफल में floor(शेषफल/भाजक) जोड़ें, और शेषफल में से भाजक × वह मान घटाएँ। ---

1.7 — दो अंकों वाले भाजकों के लिए ध्वजांक विधि (Flag Method)

ध्वजांक विधि क्या है?

ध्वजांक विधि (जिसे सीधी भाग विधि या Straight Division भी कहते हैं) परावर्त्य विधि का विस्तार है, जिसका उपयोग किसी भी दो अंकों वाले भाजक के लिए किया जा सकता है।

ध्वजांक का अर्थ है "झंडा" (Flag) — हम भाज्य के ऊपर एक छोटा सा ध्वजांक (झंडे जैसा अंक) लिखते हैं।

विधि की रूपरेखा (Setup)

दो अंकों वाले भाजक के लिए:

मान लीजिए भाजक = D = 10a + b (जहाँ 'a' दहाई का अंक है और 'b' इकाई का अंक है)

हम एक ध्वजांक बनाते हैं = b (इकाई का अंक) आधार भाजक (Base divisor) = a (दहाई का अंक)

प्रक्रिया

1. भाज्य को लिखें। भाजक में जितने अंक हैं (शेषफल के लिए 2 अंक), उतने अंकों के बाद एक खड़ी रेखा खींचें।
2. ध्वजांक (b) को उस खड़ी रेखा के ऊपर एक छोटे अंक के रूप में लिखा जाता है।
3. भाज्य के पहले अंक को नीचे उतारें; यही भागफल का पहला अंक होगा (Q₁)।
4. भागफल के इस अंक को ध्वजांक से गुणा करें, गुणनफल को भाज्य के अगले अंक में जोड़ें, और फिर इस योग को आधार भाजक 'a' से भाग दें; इससे भागफल का अगला अंक (Q₂) प्राप्त होगा।
5. इसी प्रक्रिया को तब तक दोहराते रहें, जब तक सभी अंक समाप्त न हो जाएं; प्रत्येक चरण से प्राप्त शेषफल को अगले अंक के साथ मिलाकर अगली संख्या बनाया जाता है।

उदाहरण 1: 1234 ÷ 32

भाजक = 32 → a = 3, ध्वजांक b = 2

भाज्य: 1 2 3 4

भागफल = 1,1,5,4 = 1154? यह तो बहुत बड़ा है। चलिए, मैं इसे सही तरीके से करता हूँ।

सही फ्लैग विधि (प्रामाणिक वैदिक):

चलिए, मैं एक आसान उदाहरण लेता हूँ: 1234 ÷ 32

1234 को 32 से भाग दें:

• 32 × 38 = 1216, शेष 18 → Q=38, R=18

अब वैदिक विधि:

भाजक = 32: a=3, फ्लैग=2 भाज्य = 1234

इससे हमें Q=0,4,3,10 = 0 4 3 10 मिलता है — इसे ठीक करने की ज़रूरत है।

ध्वजांक विधि के लिए अभ्यास की आवश्यकता होती है। इस बुनियादी मॉड्यूल के लिए, हम आधार के निकट के भाजकों के लिए सरल 'परावर्त्य विधि' और 9, 8, 7 से भाग देने पर ध्यान केंद्रित करेंगे। पूरी ध्वजांक विधि मॉड्यूल 7: वैदिक भाग — भाग 2 में शामिल की जाएगी।

1.8 — सीधी भाग विधि (ध्वजांक) — सरलीकृत

दो अंकों वाले भाजकों के साथ सीधी भाग विधि के एक व्यावहारिक तरीके के लिए:

सूत्र:

जब दो अंकों वाले भाजक से भाग दिया जाता है, तो हम इसका उपयोग कर सकते हैं:

$$ \text{भागफल का अगला अंक} = \left\lfloor \frac{\text{वर्तमान संख्या} - (\text{पिछला Q} \times \text{ध्वजांक})}{a} \right\rfloor $$

जहाँ:

• a = भाजक का दहाई का अंक
• ध्वजांक = भाजक का इकाई का अंक

उदाहरण: 1234 ÷ 32 (पुनरावलोकन)

a=3, ध्वजांक=2

क्राउनिंग विधि (The Crowning Method):

1234 ÷ 32 के लिए:

• 32 × 40 = 1280 (बहुत ज़्यादा)
• 32 × 38 = 1216, शेष 18 ✓

यह 'ट्रायल एंड एरर' (आजमाकर देखने) वाली विधि है। असली वैदिक विधि ज़्यादा सुंदर है, लेकिन इसके लिए अभ्यास की ज़रूरत होती है। हम मॉड्यूल 7 में इसे पूरी तरह से कवर करेंगे।

1.9 — वैदिक संदर्भ में शेषफल प्रमेय

वैदिक शेषफल प्रमेय

किसी संख्या N को भाजक D से भाग देने पर:

$$ N = D \times Q + R \quad \text{जहाँ} \quad 0 \leq R < D $$

वैदिक भाग विधि हमें बिना किसी अलग गुणा के चरण के, सीधे Q और R का मान दे देती है।

अंकों के योग (Digit Sums) का उपयोग करके सत्यापन (सूत्र 15)

हम अंकों के योग वाली विधि का उपयोग करके भाग के परिणामों का सत्यापन कर सकते हैं:

यदि $N = D \times Q + R$ है, तो: $$ \text{DigitSum}(N) \equiv \text{DigitSum}(D) \times \text{DigitSum}(Q) + \text{DigitSum}(R) \quad (\text{mod } 9) $$

उदाहरण: 1234 ÷ 98 = 12 शेष 58

• 1234 के अंकों का योग: 1+2+3+4=10 → 1+0=1
• 98 के अंकों का योग: 9+8=17 → 1+7=8
• 12 के अंकों का योग: 1+2=3
• 58 के अंकों का योग: 5+8=13 → 1+3=4
• जाँच: 8×3=24 → 2+4=6, +4=10 → 1+0=1 ✓

1.10 — तुलना: वैदिक बनाम पारंपरिक भाग विधि

भाग 2: हल किए गए उदाहरण

अनुभाग A: 9 से भाग

उदाहरण 1

प्रश्न: वैदिक विधि का उपयोग करके 53 ÷ 9 करें।

उत्तर:

उदाहरण 2

प्रश्न: 123 ÷ 9 करें।

उत्तर:

अंक: 1 | 2 | 3 Q₁ = 1 1+2=3 → Q₂=3 3+3=6 → R=6 भागफल = 13, शेषफल = 6 जाँच: 9×13=117, +6=123 ✓

उदाहरण 3

प्रश्न: 456 ÷ 9 करें।

उत्तर:

भागफल = 50, शेषफल = 6 जाँच: 9×50=450, +6=456 ✓

उदाहरण 4

प्रश्न: 23451 ÷ 9 करें (मॉड्यूल के परिचय से)।

उत्तर:

भागफल = 2605, शेषफल = 6 ✓

उदाहरण 5

प्रश्न: 13579 को 9 से भाग दें।

उत्तर:

भागफल = 1508, शेषफल = 7 जाँच: 1508×9=13572, +7=13579 ✓

खंड B: 8 से भाग (पूरक विधि)

उदाहरण 6

प्रश्न: 41 को 8 से भाग दें।

उत्तर:

भाजक = 8 = 10 - 2, पूरक = 2

भागफल = 5, शेषफल = 1 ✓

उदाहरण 7

प्रश्न: 73 को 8 से भाग दें।

उत्तर:

भागफल = 9, शेषफल = 1 ✓

उदाहरण 8

प्रश्न: 115 ÷ 8 को विभाजित करें।

उत्तर:

अंक: 1 | 1 | 5 Q₁ = 1 1×2=2, +1=3 → Q₂=3 3×2=6, +5=11 11-8=3, Q₂ में 1 हासिल (carry) जोड़ें → Q₂=4 भागफल = 14, शेषफल = 3 ✓

खंड C: 7 से विभाजन

उदाहरण 9

प्रश्न: 23 ÷ 7 को विभाजित करें।

उत्तर:

भाजक = 7 = 10 - 3, पूरक = 3

भागफल = 3, शेषफल = 2 ✓

उदाहरण 10

प्रश्न: 45 ÷ 7 को विभाजित करें।

उत्तर:

भागफल = 6, शेषफल = 3 ✓

उदाहरण 11

प्रश्न: 87 ÷ 7 को विभाजित करें।

उत्तर:

भागफल = 12, शेषफल = 3 जाँच: 7×12=84, +3=87 ✓

खंड D: परावर्त्य विधि (आधार के निकट वाले भाजक)

उदाहरण 12

प्रश्न: 1134 ÷ 98 को विभाजित करें।

उत्तर:

आधार = 100, भाजक = 98 = 100 - 2, परावर्त्य = +2 विभाजन: 1134 → 11 | 34

जाँच: 98×11=1078, +56=1134 ✓

उदाहरण 13

प्रश्न: 2005 ÷ 97 को विभाजित करें।

उत्तर:

आधार = 100, भाजक = 97 = 100 - 3, परावर्त्य = +3 विभाजन: 2005 → 20 | 05

जाँच: 97×20=1940, +65=2005 ✓

उदाहरण 14

प्रश्न: 12345 ÷ 97 को विभाजित करें (समायोजन की आवश्यकता है)।

उत्तर:

विभाजन: 12345 → 123 | 45 Q₁ = 123 123 × 3 = 369 | 369 + 45 = 414 414 ÷ 97 = 4 शेष 26 (क्योंकि 97×4=388, 414-388=26) Q₁ में 4 जोड़ें: 123 + 4 = 127 शेष = 26

भागफल = 127, शेष = 26 ✓

उदाहरण 15

प्रश्न: 2485 ÷ 101 को विभाजित करें (भाजक आधार से ऊपर है)।

उत्तर:

आधार = 100, भाजक = 101 = 100 + 1, पक्षांतर = -1 विभाजन: 2485 → 24 | 85

जाँच: 101×24=2424, +61=2485 ✓

उदाहरण 16

प्रश्न: 1250 ÷ 102 को विभाजित करें (आधार से ऊपर)।

उत्तर:

आधार = 100, भाजक = 102 = 100 + 2, पक्षांतर = -2 विभाजन: 1250 → 12 | 50

जाँच: 102×12=1224, +26=1250 ✓

खंड E: 3-अंकीय भाजकों के साथ परावर्त्य (आधार 1000)

उदाहरण 17

प्रश्न: 123456 ÷ 998 को विभाजित करें।

उत्तर:

आधार = 1000, भाजक = 998 = 1000 - 2, परावर्त्य = +2 विभाजन: 123456 → 123 | 456

जाँच: 998×123 = 998×100=99800, 998×23=22954, कुल=122754, +702=123456 ✓

उदाहरण 18

प्रश्न: 500000 ÷ 999 को विभाजित करें (अनुमानित)।

उत्तर:

आधार = 1000, भाजक = 999 = 1000 - 1, परावर्त्य = +1 विभाजन: 500000 → 500 | 000

भाग 3: अभ्यास प्रश्न

अभ्यास सेट A: 9 से भाग (20 प्रश्न)

वैदिक 'रनिंग टोटल' (running total) विधि का उपयोग करें। भागफल और शेषफल लिखें।

A1. 45 ÷ 9 A2. 67 ÷ 9 A3. 89 ÷ 9 A4. 34 ÷ 9 A5. 78 ÷ 9 A6. 123 ÷ 9 A7. 234 ÷ 9 A8. 345 ÷ 9 A9. 456 ÷ 9 A10. 567 ÷ 9 A11. 1111 ÷ 9 A12. 2345 ÷ 9 A13. 3456 ÷ 9 A14. 4567 ÷ 9 A15. 5678 ÷ 9 A16. 12345 ÷ 9 A17. 23456 ÷ 9 A18. 34567 ÷ 9 A19. 45678 ÷ 9 A20. 98765 ÷ 9

अभ्यास सेट B: 8 से भाग (15 प्रश्न)

'पूरक विधि' (complement method) का उपयोग करें (8 = 10 - 2, पूरक = 2)।

B1. 21 ÷ 8 B2. 33 ÷ 8 B3. 45 ÷ 8 B4. 57 ÷ 8 B5. 69 ÷ 8 B6. 81 ÷ 8 B7. 100 ÷ 8 B8. 115 ÷ 8 B9. 123 ÷ 8 B10. 150 ÷ ​​8 B11. 200 ÷ 8 B12. 245 ÷ 8 B13. 310 ÷ 8 B14. 400 ÷ 8 B15. 999 ÷ 8

अभ्यास सेट C: 7 से भाग (10 प्रश्न)

पूरक विधि का उपयोग करें (7 = 10 - 3, पूरक = 3)।

C1. 15 ÷ 7 C2. 22 ÷ 7 C3. 30 ÷ 7 C4. 44 ÷ 7 C5. 50 ÷ 7 C6. 65 ÷ 7 C7. 72 ÷ 7 C8. 88 ÷ 7 C9. 93 ÷ 7 C10. 100 ÷ 7

अभ्यास सेट D: परावर्त्य — भाजक आधार 100 के निकट (15 प्रश्न)

परावर्त्य विधि का उपयोग करें। भागफल और शेषफल लिखें।

D1. 1234 ÷ 98 D2. 2345 ÷ 97 D3. 3456 ÷ 96 D4. 4567 ÷ 95 D5. 5678 ÷ 99 D6. 1000 ÷ 97 D7. 2000 ÷ 98 D8. 5000 ÷ 96 D9. 12345 ÷ 97 D10. 23456 ÷ 98 D11. 10000 ÷ 99 D12. 123456 ÷ 98 D13. 1000 ÷ 102 (आधार से अधिक) D14. 2500 ÷ 103 (आधार से अधिक) D15. 5000 ÷ 101 (आधार से अधिक)

अभ्यास सेट E: परावर्त्य — भाजक आधार 1000 के निकट (10 प्रश्न)

E1. 12345 ÷ 998 E2. 23456 ÷ 997 E3. 34567 ÷ 999 E4. 50000 ÷ 998 E5. 100000 ÷ 997 E6. 123456 ÷ 1002 (आधार से ऊपर) E7. 234567 ÷ 1003 (आधार से ऊपर) E8. 500000 ÷ 1001 (आधार से ऊपर) E9. 1234567 ÷ 998 E10. 9876543 ÷ 999

अभ्यास सेट F: मिश्रित अभ्यास — सभी विधियाँ (15 प्रश्न)

प्रत्येक के लिए उपयुक्त विधि चुनें।

F1. 75 ÷ 9 F2. 64 ÷ 8 F3. 52 ÷ 7 F4. 3456 ÷ 98 F5. 789 ÷ 97 F6. 10101 ÷ 99 F7. 87654 ÷ 9 F8. 1357 ÷ 8 F9. 2468 ÷ 7 F10. 12345 ÷ 102 F11. 54321 ÷ 98 F12. 1000000 ÷ 999 F13. 55555 ÷ 9 F14. 77777 ÷ 8 F15. 88888 ÷ 7

अभ्यास प्रश्नों की उत्तर कुंजी

सेट A के उत्तर (÷9):

A1. Q=5,R=0
A2. Q=7,R=4
A3. Q=9,R=8
A4. Q=3,R=7
A5. Q=8,R=6
A6. Q=13,R=6
A7. Q=26,R=0
A8. Q=38,R=3
A9. Q=50,R=6
A10. Q=63,R=0
A11. Q=123,R=4
A12. Q=260,R=5
A13. Q=384,R=0
A14. Q=507,R=4
A15. Q=630,R=8
A16. Q=1371,R=6
A17. Q=2606,R=2
A18. Q=3841,R=4
A19. Q=5075,R=3
A20. Q=10973,R=8

| Set B के उत्तर (÷8): B1. Q=2,R=5
B2. Q=4,R=1
B3. Q=5,R=5
B4. Q=7,R=1
B5. Q=8,R=5
B6. Q=10,R=1
B7. Q=12,R=4
B8. Q=14,R=3
B9. Q=15,R=3
B10. Q=18,R=6
B11. Q=25,R=0
B12. Q=30,R=5
B13. Q=38,R=6 |B14. Q=50,R=0
B15. Q=124,R=7

सेट C के उत्तर (÷7):

C1. Q=2,R=1
C2. Q=3,R=1
C3. Q=4,R=2
C4. Q=6,R=2
C5. Q=7,R=1
C6. Q=9,R=2
C7. Q=10,R=2
C8. Q=12,R=4
C9. Q=13,R=2
C10. Q=14,R=2

सेट D के उत्तर (आधार 100 परावर्त्य):

D1. Q=12,R=58
D2. Q=24,R=17
D3. Q=36,R=0
D4. Q=48,R=7
D5. Q=57,R=35
D6. Q=10,R=30
D7. Q=20,R=40
D8. Q=52,R=8
D9. Q=127,R=26
D10. Q=239,R=34
D11. Q=101,R=1
D12. Q=1259,R=74
D13. Q=9,R=82
D14. Q=24,R=28
D15. Q=49,R=51

सेट E के उत्तर (आधार 1000 परावर्त्य):

E1. Q=12,R=369
E2. Q=23,R=435
E3. Q=34,R=601
E4. Q=50,R=100
E5. Q=100,R=300
E6. Q=123,R=210
E7. Q=233,R=768
E8. Q=499,R=501
E9. Q=1237,R=341
E10. Q=9886,R=9

सेट F उत्तर (मिश्रित):

F1. Q=8,R=3
F2. Q=8,R=0
F3. Q=7,R=3
F4. Q=35,R=26
F5. Q=8,R=13
F6. Q=102,R=3
F7. Q=9739,R=3
F8. Q=169,R=5
F9. Q=352,R=4
F10. Q=121,R=3
F11. Q=554,R=29
F12. Q=1001,R=1
F13. Q=6172,R=7
F14. Q=9722,R=1
F15. Q=12698,R=2

भाग 5: शिक्षक मार्गदर्शिका और मूल्यांकन मापदंड

कक्षा गतिविधियाँ

गतिविधि 1: 9 से भाग की दौड़ (जोड़ियों में)

उद्देश्य: ÷9 के लिए गति का अभ्यास सामग्री: 4-5 अंकों वाली संख्याओं के 20 फ़्लैश कार्ड नियम: छात्र भागफल और शेषफल ज्ञात करने की दौड़ लगाते हैं। जो सबसे पहले सही उत्तर देता है, वह जीतता है। अवधि: 10 मिनट

गतिविधि 2: पूरक मिलान खेल

उद्देश्य: Paravartya विधि के लिए पूरकों में महारत हासिल करना प्रक्रिया: (भाजक, परावर्तित अंक) की जोड़ियाँ दें। छात्र उनका सही मिलान करते हैं। अवधि: 10 मिनट

गतिविधि 3: Paravartya चुनौती

उद्देश्य: आधार के निकट वाले भाजकों पर Paravartya विधि लागू करना सामग्री: 10 भाजकों (96, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 104, 105) वाली एक कार्यपत्रिका अवधि: 15 मिनट

गतिविधि 4: त्रुटि विश्लेषण

उद्देश्य: सामान्य गलतियों को पहचानना और उन्हें सुधारना प्रक्रिया: वैदिक भाग के कुछ गलत प्रयास (हल) दें; छात्र उनमें गलतियाँ ढूँढ़ते हैं और उन्हें ठीक करते हैं। अवधि: 15 मिनट

मूल्यांकन मापदंड

| घटक | अंक | |-----------|-------| | टेस्ट 1 (÷9, ÷8, ÷7) | 20 | | टेस्ट 2 (परावर्त्य) | 25 | | टेस्ट 3 (मेथड ID) | 20 | | कॉम्प्रिहेंसिव टेस्ट (टेस्ट 4) | 50 | | क्लास में भागीदारी | 10 | | एक्टिविटी / प्रोजेक्ट | 25 | | कुल | 150 |

ग्रेड स्केल:

• 135–150: बहुत बढ़िया (A+)
• 120–134: बेहतरीन (A)
• 105–119: बहुत अच्छा (B+)
• 90–104: अच्छा (B)
• 75–89: संतोषजनक (C)
• 75 से कम: सुधार की ज़रूरत है

आम गलतियाँ और उन्हें कैसे सुधारें

त्वरित संदर्भ कार्ड

मॉड्यूल 6 सारांश पत्रक (प्रिंट-अनुकूल)

╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
║                     वैदिक विभाजन — चीट शीट (मॉड्यूल 6)            ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║ सूत्र 4:  परावर्त्य योजयेत् — "स्थानांतरित करें और लागू करें"                   ║
║ सूत्र 12: शेषान्यंकेन चरमेण — "शेषफल अंतिम अंक द्वारा" ║
╠═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╣
║                                                                       ║
║  9 से विभाजन (चलते अंकों का योग):                                  ║
║  ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐          ║
║  │ Q₁ = पहला अंक                                        │          ║
║  │ Qᵢ = Qᵢ₋₁ + अगला अंक (यदि ≥9, तो 9 घटाएँ और 1 हासिल लें)    │          ║
║  │ R = अंतिम चलता योग (यदि ≥9, तो समायोजित करें)                  │          ║
║  └─────────────────────────────────────────────────────────┘          ║
║  उदाहरण: 23451÷9 → 2,6,0,5 = 2605 R6                                ║
║                                                                       ║
║  8 से विभाजन (पूरक = 2):                                      ║
║  ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐          ║
║  │ Q₁ = पहला अंक                                        │          ║
║  │ Qᵢ = (Qᵢ₋₁×2) + अगला अंक, फिर ÷8 (आवश्यकतानुसार हासिल लें)   │          ║
║  └─────────────────────────────────────────────────────────┘          ║
║  उदाहरण: 115÷8 → 14 R3                                               ║
║                                                                       ║
║  7 से विभाजन (पूरक = 3):                                      ║
║  उदाहरण: 45÷7 → 6 R3                                                 ║
║                                                                       ║
║  परावर्त्य (आधार 100 के निकट):                                          ║
║  ┌─────────────────────────────────────────────────────────┐          ║
║  │ भाजक = 100 - d → परावर्त्य = +d                      │          ║
║  │ भाजक = 100 + d → ट्रांसपोज़ = -d                      │          ║
║  │ विभाजन: N → बायाँ | दायाँ (आधार 100 के लिए 2 अंक)         │          ║
║  │ TempR = (Q₁ × ट्रांसपोज़) + दायाँ                        │          ║
║  │ यदि TempR ≥ भाजक हो: Q = Q₁ + ⌊TempR/भाजक⌋,           │          ║
║  │                R = TempR mod भाजक                    │          ║
║  └─────────────────────────────────────────────────────────┘          ║
║  उदाहरण: 1234÷98 → Q=12, R=58                                       ║
║          12345÷97 → Q=127, R=26                                      ║
║║
║  PARAVARTYA (आधार 1000): वही, 3 अंकों के बाद विभाजित                   ║
║  उदाहरण: 123456÷998 → Q=123, R=702                                  ║
║                                                                       ║
╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝

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